作业(十四)频率与概率、事件的独立性&周期变化-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

[每日格言]忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的 ,点数的和共有36种等可能情形，其中和为5的共有4 种情形，由古典概型的概率公式可得点数和为5的概率 P=41 369 答案日 6.解析(1)设小华从抽奖箱中任取1个小球，抽得一等 奖、二等奖、三等奖、无奖分别为事件A,B,C,D,则它们 两两互斥. 由题意，得P(A)=6P(B+C)=P(B)+P(C)=6 由对立事件的概率公式，得P(D)=1一P(A+B十C)=1一 PB+c0-PA)=1-6-6-安 所以小华不能中奖的概率为子 （2)因为PA+B)=},PA+B)=PA+P(B, 所以PB)=片品言=品 又P(B+C)=P(B)+P(C)= 16” 所以P(G)=品一是-子，即小单中三等关的概率为 ，所以抽奖箱中黄球的个数为16×子=4（个）。 1 [真题体验] 1.A根据古典概率模型求出所有情况以及满足题意的 情况，即可得到概率. 甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6×6=36 (种)， 若甲、乙抽到的主题不同，则共有A=30(种)， 则共概率为阳-日放选A 2.解析设3次取出的球上的数字依次为a,b,c,则无放 回地随机取3次球的取法有A=120(种)， 2 可得a+b-2c≤3. 当c=1时，a,b需要满足“1≤a十b≤5”，所有可能情况 为(2,3)，(3,2)，共2种. 当c=2时，a,b需要满足“1≤a十b7”,所有可能情况 为(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(4,1)，(5,1)， (6,1),(3,4),(4,3),共10种. 当c=3时，a,b需要满足“3a十b≤9”，所有可能情况 为(1,2)，(2,1)，(1,4)，(4,1)，(1,5)，(5,1)，(1,6)， (6,1),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(2,6),(6,2), (4,5),(5,4),共16种. 当c=4时，a,b需要满足“5≤a十b≤11”，所有可能情况 为(1,5)，(5,1)，(1,6)，(6,1)，(2,3)，(3,2)，(2,5)， (5,2),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(3,6),(6,3), (6,5),(5,6),共16种. 当c=5时，a,b需要满足“7≤a十b≤13”，所有可能情况 为(1,6)，(6,1)，(2,6)，(6,2)，(3,4)，(4,3)，(3,6)， (6,3),(4,6),(6,4),共10种. 苦，是为了收获得不到的收获。高一数学（配BSD版） 当c=6时，a,b需要满足“9≤a十b≤15”，所有可能情况 为(4,5)，(5,4)，共2种 故共有2+10+16十16+10+2=56（种）可能情况，所 以所求概率P=20=15 567 答案名 [易误警示] [示例1][解析]无放回随机抽取2张方法有12,13， 14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56共15种， 其中数字之积为4的倍数的是14,24,26,34,45,46共6 种，所以抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概 率为P-品-号故道C [答案]C [示例2][解析]本题考查统计数据的比例分布.该校 60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，这两组数 据包含既喜欢足球又喜欢游泳的学生，而96%的学生 喜欢足球或游泳，则该校既喜欢足球又喜欢游戏的学 生数占该校学生总数的比例为60%十82%一96%= 46%,故选C. [答案]C 作业（十四）频率与概率、事件的独立性 [基础演练] 1.B由概率的意义可知该运动员投篮1000次命中的次 数估计为1000×98%=980. 2.ACD对于A,次品率描述的是次品的可能情况，故A 错误； 对于B,天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能 不下雨，故B正确； 对于C、D,概率应该是多次重复试验中事情发生的频 率在某一常数附近，此常数可为概率；做8次抛硬币的 试验，结果5次出现正面，则该实验抛一枚硬币出现正 面的频率是。，故C.D错误。 3.A由于采用有放回地摸球，则每次是否摸到白球互不 影响，故事件A1与A2是相互独立事件， A由题毫可加甲乙同时中轮的版奉为品×品-是 「综合演练] 1.D由题意知“正面朝上”的次数为0.49×100=49，故 “正面朝下”的次数为100一49=51，故选D. 2.B1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.7)=1-0.006= 0.994. 3.BCD对于A,由“若B发生时A一定发生”可知B二 A,故AB=B,所以P(AB)=P(B)=0.2,故A错误； 对于B,由事件A与事件B互斥可知P(A十B)=P(A) +P(B)=0.5,故事件A和事件B都不发生的概率为1 一P(A十B)=0.5,故B正确； 对于C,由题知P(A)=0.3,P(B)=0.8,故P(AB)= P(A)P(B)=0.24,所以事件A与事件B相互独立，故 事件A和事件B相互独立，故C正确； 寒假作业别拿自己的人生和他人做比较，你根本 对于D,若事件A和事件B相互独立，则事件A与事件 B相互独立，P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56, 故P(A十B)=1-P(AB)=0.44,故D正确. 故选BCD, 4.D易知A结论正确；若第一次摸到红球，则第二次摸 到红球的概率为号×子-0若第一次模到资球，则第 5 二次模到红球的概率为号×子=昌，所以第二次模到 红球的挺率为十品一号，故BC结论正确：两次都撲 到黄球的概率为号×号一品故D结论错民 5.B根据题意知只需考虑剩下两局的情况，甲要获胜， 则可能为第二局获胜后取得胜利，或第二局负，第三局 黄肚，所以甲我得展终胜利的凝率为分十号×日一号 6.解析(1)设“甲回答正确”为事件A,“乙回答正确”为 事件B,“丙回答正确”为事件C,则P(A)=分， P()-P(A)P()- 依题意 P(BC)=P(B)P(C)= 1 1-PA]1-P(C]=g, 即 P(B)P(C)=2' 1 解得P(B)=号，P(C)=是， 4 所以乙、两回答正确的概奉分别为号，是 (2)设“甲、乙、丙3人中不少于2人回答正确”为事件 M,M=ABC++ABC+ABC+ABC, 显然事件ABC,ABC,ABC,ABC两两互斥， P(M)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =×号×+×号×+×号×是+× 号×-品 所以甲，乙，两3人中不少于2人回答正瑰的机率是费 [真题体验] 1.ABD对于A,采用单次传输方案，若依次发送1,0,1， 则依次收到1,0,1的概率(1一)(1一a)(1一)=(1一 a)(1一)2，A正确. 对于B,三次传输方案发送1，依次收到1,0,1，概率为 (1-)B(1-)=(1-B)2,B正确. 对于C,三次传输方案发送1，则译码为1，有2个1或3 个1； 2个1概率CB(1-一)2,3个1概率(1一)3， P=C号β(1-)2+(1-)3，C错误. 对于D,三次传输方案发送0，译码为0的概率P1=Ca· (1-a)2+(1一a)3,单次传输方案发送0译码为0的概 率P2=1一a, 6 不清楚他们的人生是怎么一回事。 [每日格言] P2-P1=(1-a)-C3a(1-a)2-(1-a)3=(1-a)[1- C号a(1-a)-(1-a)2]=(1-a)(2a2-a)=(1-ax) (2a-1)a,0<a<0.5时，P2-P1<0,.P2<P1,D正 确，选ABD. 2.B因为A,B相互独立，故P(A∩B)=P(A)P(B)= 合×-子，故递B [易误警示] [示例1][解析]第一次抛掷的，点数对第二次没有影 响，故A与B相互独立，故A正确；抛掷该正四面体两 次共有16个样本点且AC={1,3),所以P(A)=}, P(C)=SP(AC)=iGP(A)P(C)≠P(AC),所以A 与C不相互独立，故B错误；A十C={(1,1),(1,2), (1,3),1,40,(2,2),(3,1D,P(A+C)=0=吾 (A与C不是互斥事件，不能用P(A+C)=P(A)+ P(C求解)，故C正确：BC=《(2,2),P(BC)=6 (B与C不相互独立，不能用P(BC)=P(B)P(C)求 解)，故D错误。 [答案]AC [示例2】[解析]根据题意，A=子×号=了y [答案]AD 第二部分新知预习 周期变化 [即学即练] 1.ABC周期函数的图象体现为“循环往复”的形式，选 项D中的图象不满足这一性质，故选ABC 2.解析由图象知周期T=2 答案2 3.解析当n∈N时，该函数的取值为10,8,10,8，…，故 周期为2. 答案2 4.CT=2,..f(8.5)=f(4X2十0.5)=f(0.5)= 27=√2，故选C. 5.ABC由函数的周期性、奇偶性、对称性，作示意图如下： V m1-------- m2----- m3- m4----8 --4 8 m5--------------2 =-6 =-2 =2 1X=6 由图中m1,m2,m3,m4,m5五条直线可知，关于x的方 程f(x)一m=0在区间[-8,8]上有根，则所有根的和 可能为0或士4或士8. [每日格言]不要谨慎地稽查人生，现在就呈现出你 6.解析因为f(x)是以4为周期的函数， 所以当x∈[4,6)时，x一4∈[0,2)， f0=f-0-+1-号， 29 当x∈[6,8)时，x-8∈[-2,0)， fx)=f(x-8)=,8+1=6 2 2 f22,xe[4,6. 所以f(x)= 26,xe[6,8. 第三部分综合提升 综合检测卷 1.BA={x∈Z-3<x<2}={-2,-1,0,1},B= {xx2+3x-4<0}={x|-4<x<1},则A∩B= {-2,-1,0}. 2.D全称量词命题的否定是存在量词命题.先改变量 词，再否定结论，故选D. 3.C由函数f(x)=x2一3mx+18在区间(0,3)上不单 调，可得0<号m<3,即0<m<2:由0<m<2,得0< 名m<3,得函数fx)=2-3mx+18在区间(0,3)上 不单调，所以“函数f(x)=x2一3mx十18在区间(0,3) 上不单调”是“0<m<2”的充要条件.故选C. 4.C小学、初中、高中三个学段的学生视力差异比较大， 因此应按照学段进行分层随机抽样，而男女生视力情况 差异不大，不能按照性别进行分层随机抽样. 5.Cf(1)=ln1+31-1-6=-5<0,f(2)=ln2+ 32-1-6=ln2-3<0,f(3)=ln3+33-1-6=ln3+ 3>0,f(x)=lnx+3x-1-6为(0，+∞)上的连续函 数，且单调递增，由零点存在定理得f(x)=lnx十 3x-1一6的零点所在区间为(2,3).故选C. 6.C令t=2x-a,则y=logt(t>0).因为t=2x-a为 增函数，函数f(x)=loga(2x-a)在[1,2]上单调递增， 所以y=logat为增函数，故a>1,又x∈[1,2]，t= 2x一a≥2一a,所以2一a>0,解得a<2.综上，a的取值 范围为(1,2). 7.C先排好3个1，并将其空位从左到右依次标记为A, B,C,D,如图所示.将2个0放入4个空位中，事件 “2个0不相邻”包含的基本事件分别为(A,B),(A,C), (A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个.事件“2个0相 邻”包含的基本事件分别为(A,A),(B,B),(C,C), (D,D),共4个，则基本事件的总数为10，因此事件 “2个0不相邻”的概牵为品-=0.6，故选C A1B1回1回 8.D由题意可知f(-3)=f(3)=f(0)=0,当x∈(-∞， -3)U(0,3)时，f(x)<0;当x∈(-3,0)U(3,+∞)时， x0, f(x)>0,故xf(x+1)≥0台x=0或 或 f(x+1)≥0,1 f+1D<0,9x=0或{>0， x0, 或 -3x+1≤0或x+1≥3， 6 最大的发挥。 高一数学（配BSD版） |x0, x+1≤-3或0≤x十1≤3， x=0或 |x0, 。或 x<0, -4≤x≤-1或x≥2，x≤-4或-1≤x≤2， 台x 2或x≤-4或-1≤x≤0，所以满足xf(x十1)≥0的x 的取值范围是(-∞，-4]U[-1,0]U[2,十∞).故 选D. 9.BD因为实数a,b,c满足a<2b<c,且a十b十c=0,所 以a+b+c=0>a+号+a=2,可得a<0, 2 a十b叶c=0<c+号十c=竖，可得c>0. 取a=-46=1c=3,则b=-日<记=日故A鳞 误.因为2b>a>2a,则a<b,故B正确.取a=一1， b=0,c=1,则ab2=cb2,故C错误.因为2b<c<2c,可 得b<c,由不等式的基本性质可得ab>ac,故D正确. 故选BD. 10.ABC因为e>0,所以er+1>0,所以函数f(x)的 定又我为R,故A正确：f)C+=1-e子由 er+l >0me+11→0<中7<1-1K1-异 1,故B正确；因为f(x)的定义域为R,且f(一x)= e-1e2-11-e =一f(x),所以函数f(x)是 ex+1+11+e* 奇函数，故C正确；因为函数y=e十1是增函数，所以 函教y=2是减函数，所以函教y=一2是增函 et+1 e*+1 数，故)=1一异是增画数，故D锋灵故 选ABC. 11.ABC甲地：5个数据由小到大排，则22,22,24，a,b, 其中24<a<b,满足进入夏季的标志；乙地：将5个数 据由小到大排，则a,b,27,c,d,其中a≤b27≤c≤d, 则27+c+d>≥81，而a+b十27+c+d=120,故a+b≤ 39,其中必有一个小于22，故不满足一定进入夏季的 标志；丙地：设5个数据为a,b,c,d,32,且a,b,c,d∈ Z,由方差公式可知，(a-26)2+(b-26)2+(c-26)2 +(d-26)2+(32-26)2=10.2×5=51,则(a-26)2 +(b-26)2+(c-26)2+(d-26)2=15=9+4+1+ 1,不妨设a-26|=3,1b-261=2,lc-26|=|d-26 =1,则a,b,c,d均大于22，满足进入夏季标准.综上， A、B、C正确. 12.解析由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为 25×35×45=35 606060192: 答案部 13.解析由题②知f(x)是偶函数.由题③知f(x)在 (0,十∞)上为增函数.由题④知f(x)的图象与x轴有 2个交点，所以函数f(x)的一个解析式可以为f(x)= x2-1(答案不唯一). 答案f(x)=x2一1（答案不唯一）寒假作业积极思考造成积极人生，消极思考造成消 作业（十四） 频率与概率、事件的 1 知识整合 1.概率的概念和性质 (1)定义：在相同条件下，大量重复进行同 一试验时，随机事件A发生的频率会在某 个常数附近摆动，即随机事件A发生的频 率具有稳定性，这时，把这个常数叫做随机 事件A的概率， (2)记法：P(A). (3)范围：0≤P(A)≤1. 2.事件的独立性 (1)定义：事件A(或B)是否发生对事件B (或A)发生的概率没有影响，这样的两个 事件叫做相互独立事件. (2)概率计算：两个相互独立事件同时发生 的概率，等于这两个事件发生的概率的积， 即P(AB)=P(A)P(B): (3)性质：如果两个事件相互独立，那么把 其中一个换成它的对立事件，这样的两个 事件仍然相互独立，即当事件A,B相互独 立时，则事件A与事件B相互独立，事件 A与事件B相互独立，事件A与事件B相 互独立. [常用结论] 1.判断事件是否相互独立的方法 (1)定义法：事件A,B相互独立台P(AB)= P(A)·P(B). (2)利用性质：A与B相互独立，则A与 B,A与B,A与B也都相互独立. 2.两个事件A,B相互独立，则有： 事件 表示 概率 A,B同时发生 AB P(A)P(B) A,B都不发生 AB P(A)P(B) A,B恰有一个发生(AB)U(AB) P(AP(B)+P(AP(B) 3 极人生。 [每日格言] 今 月 日 日 星期 独立性 台 天气 2基础演练 1.某篮球运动员投篮的命中率为98%，估算该 运动员投篮1000次命中的次数为() A.98 B.980 C.20 D.998 2.（多选)(2025·汉中高一期末)下面说法错 误的有 () A.设一批产品的次品率为0，则从中任取 10件，必有1件是次品 B.天气预报：“明天降雨概率为90%”，则 明天可能不下雨 C.随机事件发生的频率就是这个随机事 件发生的概率 D.做8次抛硬币的试验，结果5次出现正 面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 3.一袋中装有100个球，其中有20个白球， 在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸 得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件 A1与A2是 ( ) A.相互独立事件 B.对立事件 C.互斥事件 D.无法判断 4.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打 10次可中靶7次，若两人同时射击，则他 们同时中靶的概率是 B号 c 0. [每日格言]最重要的就是不要去看远方模糊的，而要 3综合演练 1.在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次， “正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下” 的次数为 A.0.49 B.49 C.0.51 D.51 2.如图所示，A,B,C表示3个开 关，若在某段时间内，它们正常 工作的概率分别为0.9,0.8， 0.7,则该系统的可靠性(3个开关只要一个开 关正常工作即可靠)为 A.0.504 B.0.994 C.0.496 D.0.064 3.（多选)(2025·南阳六校高一期末)已知事 件A,B发生的概率分别为P(A)=0.3, P(B)=0.2,则下列说法正确的是() A.若B发生时A一定发生，则P(AB)= 0.3 B.若A与B互斥，则A和B都不发生的 概率为0.5 C.若P(AB)=0.24,则A与B相互独立 D.若A与B相互独立，则P(A十B)= 0.44 4.袋子中有5个大小、质地完全相同的球，其中 2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机 摸出2个球，下列结论错误的是 A,第一次摸到红球的概率为号 B第二次摸到红球的概率为号 C.两次都摸到红球的概率为。 D,两次都摸到黄球的概率为} 3 做手边清楚的事。 高一数学（配BSD版） 5.甲、乙两人比赛，每局甲获胜的概率为， 各局的胜负之间是独立的.某天两人要进 行一场三局两胜的比赛，先赢得两局者为 胜，无平局.若第一局比赛甲获胜，则甲获 得最终胜利的概率为 () A &号 c号 D. 6.某社区举办环保知识有奖问答比赛，某场 比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道问题， 已知甲回答正确的概率是？，甲、丙都回答 错误的概率是8，乙、丙都回答正确的概率 是2，假设他们是否回答正确互不影响。 (1)分别求乙、丙回答正确的概率； (2)求甲、乙、丙3人中不少于2人回答正 确的概率」 寒假作业嘲讽是一种力量，消极的力量。赞扬也 4真题体验 1.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)在信道内传输 0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时， 收到1的概率为α(0<a<1),收到0的概 率为1一a;发送1时，收到0的概率为 (0<3<1),收到1的概率为1一B.考虑两 种传输方案：单次传输和三次传输.单次传 输是指每个信号只发送1次；三次传输是 指每个信号重复发送3次.收到的信号需 要译码，译码规则如下：单次传输时，收到 的信号即为译码；三次传输时，收到的信号 中出现次数多的即为译码（例如：若依次收 到1,0,1，则译码为1). () A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则 依次收到1,0,1的概率为(1一a)(1一)2 B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收 到1,0,1的概率为(1一)2 C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为 1的概率为β(1-3)2+(1一) D.当0<a<0.5时，若发送0，则采用三次 传输方案译码为0的概率大于采用单 次传输方案译码为0的概率 2.(2025·上海卷)已知事件A,B相互独立， 事件A发生的概率为P(A)=2,事件B 发生的概率为P(B)=号，则事件A门B发 生的概率P(A∩B)为 A.8 c.2 D.0 一种力量，但却是用心的力量。 [每日格言] 5易误警示 易错一混淆“互斥事件“独立事件”而致误 [示例1]（多选）一个质地均匀的正四面体， 四个面分别标有数字1,2,3,4.抛掷该正四 面体两次，依次记下它与地面接触的面上 的数字.A表示事件“第一次的点数是1”， B表示事件“第二次的点数是2”，C表示 事件“两次点数之和是4”，则 ( A.A与B相互独立 B.A与C相互独立 C.P(A+C)= 8 DP(BO)=高 名师叮嘱 互斥事件指不可能同时发生的两个事件，而 两个事件独立指事件A(B)的发生与否对事件 B(A)发生的概率无影响.互斥事件A,B至少有 一个发生的概率计算的加法公式P(A十B)= P(A)十P(B),而相互独立的事件A,B同时发生 的概率计算公式是P(A·B)=P(A)·P(B). 易错二混淆“放回”与“不放回”而致误 [示例2]（多选)有4把钥匙，其中2把能 打开门，如果随机取一把试着开门，把不能 打开门的钥匙扔掉，记第二次才能打开门的 概率为，如果试过的钥匙又混进去，记第 二次才能打开门的概率为2，则 A=司 BA=号 C.p2=3 DA=号 名师叮嘱 “有放回”指被抽取元素抽出后，又放回到总 体中，这样每次抽取时，被抽总体元素个数总是相 同的，每次抽取相互独立，互不影响，实质就是独 立重复试验.而“无放回”指被抽取元素抽出后，不 再放回到总体中，这样每次抽取时，被抽总体中元 素个数不相同，每次抽取不再独立，相互影响， [每日格言]知识给人重量，成就给人光彩，大多数人只是看到了光彩，而不去称量重量。高一数学（配BSD版） 第二部分 新知预习 周期变化 知识点1函数的周期性 3.函数f(n)=9+(一1)”(n∈N)的周期为 (1)一般地，对于函数y=f(x),x∈D,如 果存在一个非零常数T,使得对任意的 知识点2周期性的应用 x∈D,都有x十T∈D且满足f(x十T)= 若T为函数f(x)的周期，则f(x+kT) f(x),那么函数y=f(x)称作周期函数， f(x),其中k∈Z且≠0. 非零常数T称作这个函数的周期 [即学即练] (2)如果在周期函数y=f(x)的所有周期 4.已知函数f(x)是周期为2的周期函数，且 中存在一个最小的正数，那么这个最小正 x∈[0,1]时，f(x)=2,则f(8.5)=() 数就称作函数y=f(x)的最小正周期.若 不加特别说明，本书所指周期均为函数的 A号 B.-2 最小正周期 C.2 D.-2 [注意] 5.(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)满 (1)周期函数的三个条件：存在不为0的常数 足f(x+8)=f(x),f(x)的图象关于x=2 T;x必须是定义域内的任意值；f(x十T) 对称，且在区间[0,2]上是增函数，若关于 =f(x). x的方程f(x)=m在区间[-8,8]上有 (2)周期函数的周期不止一个 根，则所有根的和可能为 ( ) (3)周期函数不一定有最小正周期. A.0 B.士4 [即学即练] C.±8 D.±16 1.(多选)下列是定义在R上的四个函数图 象的一部分，按此规律，其中是周期函数 6.已知函数f(x)是以4为周期的函数，且当 的是 x∈[-2,2)时，f(x)=受+1，求当 x∈[4,8)时，f(x)的解析式， -4-3-2-101234 2.已知变量y与时间t(s)的图象如图所示， 则时间t至少隔 s时，y=1会重 复出现1次. 1-3-2-101234 39