作业(三)不等式的性质与基本不等式-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

[每日格言]在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始 作业（三） 不等式的性质与基 1知识整合 1.不等式的主要性质 (1)对称性：a>b台b<a. (2)传递性：a>b,b>c→a>c. (3)加法法则：a>b→a+c>b十c; a>b,c>d→a+c>b+d. (4)乘法法则：a>b,c>0→ac>bc;a>b, c<0→ac<bc;a>b>0,c>d>0→ac>bd. (5)倒数法则：a>b,ab>0→1<1 (6)乘方法则：a>b>0→a”>b(n∈N,n≥2)： (7)开方法则：a>b>0→a>b(n∈N, n≥2). 2.基本不等式 Va≤ga>0,6>0. 利用基本不等式求最值或值域时要满足 “一正、二定、三相等”. 3.重要不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R). (a,b∈R). 2基础演练 1.某学生期中数学成绩x不低于90分，英语 成绩y和语文成绩之的总成绩高于200分 且不高于240分，用不等式组表示为() x>90, A. I200<y+z<240 x≥90， B. 200≤y+z<240 ,并由信心跨出第一步。 高一数学（配BSD版） 今 月 日 星期 卜不等式 历 天气 1x>90, C 200≤y+z≤240 |x≥90， D. 200<y+z≤240 2.若a>0,ab>0,则 A.b>0 B.b≥0 C.b<0 D.b∈R 3.已知a,b为不相等的实数，记M=a2一ab, N=ab一b,则M与N的大小关系为 () A.MN B.M=N C.M<N D.不确定 4.(2025·汉中市高一期末)若a>0,b>0, 且a十b=3,则 A6有最小值为 B.a6有最大值为2 C.ab有最小值为 4 D.ab有最大值为 3综合演练 1.(多选)(2025·贵阳一中高一月考)若a> b>0,c>d,则下列说法错误的是() A.a-1>b-1 B.a-d>b-c C.btcb D.ac>bd a+c a 2.(2025·广州市高一期中)若x,y均大于 零，且x十y=2,则上+4的最小值为 ) A.5 B.4 C.9 0.2 寒假作业现实是此岸，理想是彼岸，中间隔着湍急 3.已知x>0,y>0,且2+1=1，若x+2y>m y 恒成立，则实数m的取值范围是 () A.{ml-2√2<m<2√2} B.{mlm<-22或m>2√2} C.{ml-2<m<2} D.{mm<-2或m>2} 4.小港、小海两人相约两次到同一水果店购 买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每 次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的价格 不同，则 A.小海两次购买葡萄的平均价格比小 港低 B.小港两次购买葡萄的平均价格比小 海低 C.小港与小海两次购买葡萄的平均价格 一样 D.两人两次购买葡萄的平均价格无法 比较 5.如图，在直角梯形ABCD中， ∠A=90°，AD∥BC,AD=2, BC=3,E为AB上一点，且DE ⊥EC,则△DEC面积的最小值 为 此时AB= 4真题体验 1.(2025·北京卷)已知a>0,b>0,则 A.a2+62>2ab B+产品 C.a+b>√Jab 品 2.(2024·上海卷)已知a,b,c∈R,b>c,则 下列不等式一定成立的是 () A.a+b2>a十c2 B.a2+6>a2+c C.ab2>ac D.a2b-a2c 河流，行动则是架在河上的桥梁。 [每日格言] 3.(2024·北京卷)已知(c1,y1),(x2,y2) 是函数y=2的图象上两个不同的点，则 A.log2 y1+2<x十x2 2 2 B.log2 y1十丝21十x2 2 2 y1十2<x1十x2 C.log D.log:当>xtz 4.(2025·上海卷)设a,b>0,a+号-1，则 b+二的最小值为 5易误警示 易错一多次运用不等式的性质出错 [示例1]若-1<a+b<3,2<a-b<4,t= 2a+3b,则t的取值范围为 名师叮嘱… 利用几个代数式的范围求某一个代数式的范 围时，不可多次运用不等式的性质，否则易扩大范 围.可用待定系数法求解. 易错二忽略基本不等式的应用条件而 致错 [示例2]当x>0时，下列函数的最小值为 2的是 A.y=x(2√2-x) B.y=2+1 x C.y=x2+ 4 -1 x2+2 D.y=√Jx2+2+ 1 √x2+2 名师叮嘱 基本不等式求最值要保证“一正、二定、三相 等”，另外连续使用基本不等式求最值时，要保证每 次使用基本不等式时取等号的条件均能成立：寒假作业当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些什么 3.BD由题知，A中电路图，开关S闭合，灯泡L亮，而灯 泡L亮，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必 要条件；B中电路图，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L 亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；C中电路 图，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S 一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；D中电路 图，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S闭 合，故D中p是q的充要条件.故选BD. 4.BCx=1.5时，[2x]=[3]=3,但2[x]=2[1.5]= 2×1=2,故A为假命题，A错误；设[x]=[y]=k∈Z, 则≤x<k+1,k≤y<k十1，x-y<1,故B为真命 题，B正确；x=2时，[2x]=[4]=4=2[2]=2[x],故C 为真命题，C正确；x=0.5,y=0.6时，有[x]+[y]=0,但 [x+y]=[1.1]=1>[x]+[y],故D为假命题，D错 误.故选BC. 5.解析由条件p可得一1<x≤5，因为p是r的充要条 ,红- 解得t=2.因为力是q的必要不充分条件，所以 (m≥0， 1-m>-1,解得0≤m<2. 1+m≤5， 答案2{m0≤m<2} 6.证明①先证充分性：若A=B,则a=b, .a2-b2-ac十bc=0成立. ②再证必要性：若a2-b2一ac十bc=0成立， 则a2-b2-ac十bc=(a+b)(a-b)-c(a-b) =(a-b)(a十b-c)=0, 又△ABC中，a十b-c>0,∴.a-b=0,∴.a=b, .A=B. 综上可知，a2-b2-ac十bc=0的充要条件是A=B. [真题体验] 1.A由x=0→sin2x=sin0=0,则“x=0”是“sin2x=0” 的充分条件； 又当x=元时，sin2x=sin2x=0,可知sin2x=0力x=0, 故“x=0”不是“sin2x=0”的必要条件， 综上可知，“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件.故 选A. 2.B解法一因为Hx∈R,x十1≥0，所以命题p为假 命题，所以7p为真命题.因为x3=x,所以x3一x=0, 所以x(x2-1)=0,即x(x+1)(x-1)=0,解得x=-1 或x=0或x=1,所以3x>0,使得x3=x,所以命题q 为真命题，所以一q为假命题，所以7卫和q都是真命 题.故选B. 解法二（特殊值法）在命题p中，当x=一1时，|x十1 =0,所以命题p为假命题，一力为真命题.在命题q中， 因为立方根等于本身的实数有一1,0,1，所以3x>0, 使得x3=x,所以命题q为真命题，一q为假命题，所以 一p和q都是真命题.故选B. 3.C由函数y=x3单调递增可知，若a3=b3,则a=b;由 函数y=3x单调递增可知，若3a=3,则a=b.故“a3= b3”是“3a=3”的充要条件.故选C. 女 东西。学习会使你永远立于不败之地。 [每日格言] [易误警示] [示例1][解析]：一元二次方程a.x2+4x十3=0有 14=16-12a>0, 一个正根和一个负根， 3∠0， 解得a<0. a 故满足题意的a的取值集合应是集合{aa<0}的真子 集，结合选项可知选C [答案]C [示例2][解析]这是一个省略了全称量词的全称命 题，改写为“所有能被3整除的数，也能被5整除”.其否 定为“存在能被3整除的数，但不能被5整除”。 [答案]存在能被3整除的数，但不能被5整除 [示例3][解析]一p为“3x1,x2∈R,（f(x2)- f(x1)(x2-x1)<0”. [答案]C 作业（三） 不等式的性质与基本不等式 [基础演练] |x≥90， 1.D由题意可得 故选D. 200<y+z≤240. 2A由a6>0>0,得空8，即6>0，A正确：当6=0 时，ab=0,不满足题意，B、D错误；当b<0时，由a>0, 得ab<0,不满足題题意，C错误.故选A. 3.A因为M-N=(a2-ab)-(ab-b)=(a-b)2,且 a≠b,所以(a-b)2>0,即MCN.故选A. 4.D由题意可得a十b≥2√ab,当且仅当a=b时等号成 立，解得0<ab≤号 [综合演练] 1.ACD若a>b>0,则a-b>0,ab>0,所以b-1-a-1= 1-1=ab>0,故a1<b1,A错误；因为a>b>0, b a ab c>d,由不等式性质可得，a十c>b十d,即a一d>b-c, B正确；若c=0,=b,C错误；当a=2,b=1,c=-1, a十ca d=一2时，此时ac=bd=-2,D错误，故选ACD. 2.Dx,y均大于零，且x十y=2, “2+号=号(+)+)=（侵+号+）≥ (2号+)-昌 当且仅当之号即x号y=青时等号成立， x y 故是十号的最小值为号 y 3.A因为x>0,y>0,所以x+2y=(x+2y)· (径+）-+丝+4≥2号·受+4=4计4=8，当 x 且仅当工=4y,即x=4,y=2时，等号成立.因为x十2y >m2恒成立，所以m2<8,解得-2√2<m<2√2.故 选A. 4.B设两次葡萄的价格分别为a元/千克和b元/千克， 且a≠b,小海两次均购买3千克葡萄，则平均价格为 [每日格言]成功的信念在人脑中的作用就如闹钟，会 3(a十b)=ab(元/千克)，小港两次均购买50元葡 2 葡，则平均价格为500650=22（元/千克).因为 2(a十b)>0,所以小港 a+b2ab_(a+6)2-4ab(a-6)2 2a+b2(a+b) 两次购买葡萄的平均价格比小海低.故选B. 5.解析设AE=x(x>0),,DE⊥EC, ∴.∠AED+∠BEC=90°， 又，∠ECB+∠BEC=90°， ∠AED=∠ECB,又，∠A=∠B=90°， △AED△BCE,能-铝， 即管品得B= x (2+3)(x+6) ∴.△DEC的面积S= x .6 22 x =号+≥2受×夏=2X3=6,当且仅当受- 2 即x=2时等号成立， ∴△DBC面积的最小值为6，此时AB=2十号-5， 答案65 [真题体验] 1.C对于A,当a=b时，a2+b2=2ab,故A错误； 对于B.D,取a=日6=子此时日十名=2+4=6< 品 1 1 +6-2+4=6> 2 11 =4V2=2 √ab 故B、D错误； 对于C,由基本不等式可得a+b≥2√Jab>√Jab, 故C正确.故选C 2.B解法一当b>c≥0时，b>c2,当c<b≤0时，b2<c2, 所以a十b2>a十c2不一定成立，故A错误；因为b>c, a2≥0，所以a2+b>a2十c成立，故B正确；当a>0,c< b≤0时，ab2<ac2,当a<0,b>c≥0时，ab2<ac2,当a= 0时，ab2=ac2,这三种情况下ab2>ac2都不成立，故C 错误；当a=0时，a2b>a2c不成立，故D错误.综上， 选B. 解法二令a=0,b=一1，c=一2，分别代入选项A、B、 C、D可知只有a2十b>a2十c成立.故选B. 3.B因为(x1y1),(x2y2)为函数y=2的图象上两个 不同的点，所以1=25y2=2,且x1≠x2,则25≠22， (易错警示：这是一个极易忽略的点)所以y1十y2= 25+25>2√25·25=2√25+，所以十> 2 √24+3>0，所以1og2h2>1og2√24+3- 2 x十x2故选B. 2 在你需要时将你唤醒。 高一数学（配BSD版） .解析易知6+日=(+日)(a+名)=a6+话+2≥ 2函：6+2=4，当且4仅当a的=1，即a=名b=2时 取得最小值.故答案为4. 答案4 [易误警示] [示例1][解析]设t=x(a十b)十y(a-b), 2a+3b=(x+y)a+(x-y)b, 5 x十y=2解得 . =2’ x-y=3, 1 y=一2 =a+b)-a-b, .-1<a十b<3,2<a-b<4, <a+60<-2Ka0-1 [答案] 川<<劉 [示例2][解析]对于选项A,当x>22时，2√2-x<0, 此时y<0,不符合题意； 对于造项B,当>0时，=生=z十士≥2× √2X王=2，当里仅当x=子即x=1时，等号成立， “y=十1的最小值为2，符合题意； 对于选项Cy=2十年21=2+2+42一3≥ 2x,2+20×+-3=1,且仅当2+2 2+2即x=0时，等号成立，不符合题意： 4 对于选项D,y=√x2+2十 1≥ x2+2 2×W2+2X1 =2 x2+2 当且仅当2+2=1，即√2+2=1时等号成 √x2+2 立，又√x2+2=1时x不存在， .等号不成立，y的最小值不是2，不符合题意 [答案]B 作业（四）一元二次函数与 一元二次方程、不等式 [基础演练] 1.A由y=√一x2+2x十3有意义可知，-x2+2x十3≥0， 即x2-2x-3≤0，解得一1≤x≤3.故选A. 2.C由x(x-2)<0,解得0<x<2,即不等式x(x-2)<0 的解集为{x0<x<2}.由題意可得不等式x(x一2)<0 成立的一个充分不必要条件应为{x0<x<2}的真子 集，故选C