假期作业三 不等式性质与基本不等式-【快乐假期】2024-2025学年高一数学寒假作业（北师大版2019）

三0022 温故而知新，可以为师矣。 三、不等式性质与基本不等式 完成日期： 月 《思维整合室 自测自查 w包zheng he shr 1.<>> <>>> 知识梳理 2.≥a=b 3.算术平均值几何平均值 1.不等式的性质 性质1：a>b台b a. 4.I)va<a时b 2 (2)a>0且b>0(3)a=b 性质2：a>b,b>c→a C. 性质3：a>b→a+c b+c. 5.(1)最大值 (2)最小值2√p 性质4：①a>b,a>0→ac bc. ②a>b,c<0→ag bc. 要点记忆 性质5：a>b,c>d→a+c b+d. 应用基本不等式的常用技巧 性质6：a>b>0,c>d>0→ac bd. 性质7：a>b>0→a" b(n∈N,n2). 在利用基本不等式求最值时，除注意“一 性质8：a>b>0→a 5(n∈N,n≥2). 正、二定、三相等”的条件外，最重要的是构建 2.对于任意实数a,b有a2+ 2ab, “定值”，恰当变形、合理拆分项或配凑项是常 当且仅当 时等号成立 用的解题技巧.除此之外还有以下特殊技巧： 3对任意两个正实数Q6,生叫微a,6的 (1)常值代替 这种方法常用于“已知ax十by=m(a,b, ,√ab叫做a,b的 4.基本不等式 ,y均为正数)，求}十号的最小值“和 (1)形式： “已知9+b=1(a,b,x,y均为正数)，求 (2)成立的前提条件： (3)等号成立的条件：当且仅当 时取 x十y的最小值”两类题型 等号. (2)构造不等式 5.基本不等式与最值 当和与积同时出现在同一个等式中时，可利 已知x、y都是正数， 用基本不等式构造一个不等式从而求出和或 (1)若x十y=s(和为定值)，则当x=y时，积 积的取值范围。 xy取得 (3)利用基本不等式求最值的关键是获得定值 (2)若xy=p(积为定值)，则当x=y时，和 x十y取得 条件，解题时应对照已知和欲求的式子运 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定 用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法 积最大. 创设应用基本不等式的条件. 7 快乐假期 c900 《技能捉升台 Ji ncng tl sheng tal 7.若规定 =ad一bx(a,b∈R,a≠b).则 d -b 技能提升 与 的大小关系为 b b 6 1.据天气预报可知明天白天的最高温度为 —b -a (填“>=”或“”). 13℃，则明天白天的气温1与13℃之间存 6 a 6 b 在的不等关系是 8.若a>0,b>0,a十b=2,则下列不等式对一 A.t≤13℃ B.t<13℃ 切满足条件的a,b恒成立的是 (写 C.t=13℃ D.t>13℃ 出所有正确命题的序号). 2.已知a>b>0,则下列不等式中正确的是 ①ab≤1；②，a+b≤√2：③a2+b≥2：④a ( +b≥3. 9.已知下列结论：①若a>|b,则a2>b;②若 A.lal<bl B.1<I ab C.-a>-6 D.a2<6 u>b,则日<名：③若a>6,则u>6:④若a 3.若0<a<b且a十b=1,则下列四个数中最 <0,-1<b<0,则ab>a.其中正确的是 大的是 (只填序号即可). A号 B.a2+62 10.当0<x<号时y=2x(65-3x)的最大值 C.2ab D.a 为 4若函数f)=x+2(x>2)在x=a处 1.已知。>6>0<d<0.求证 取最小值，则a等于 ( A.3 B.1+3 C.1+√2 D.4 5.(多选)若a,b,c为实数，则下列命题正确的 是 () A.若ac2>bc2,则a>b B.若a<b<0,则a2<b C若a>>0,则}<分 D.若a<b<0,c>d>0,则ac<bd 6.(多选)已知a>0,b>0,且a十b=1,则 Aa2+6>号 Bg>号 C.log2a+logb≥-2D.√a+b≤2 8 三022 高一数学的) 12.(1)已知0<x<号，求y=2x-5的最 (2)已知x>0y>0,且x+y=1,求8+2 大值； 的最小值 高老冲浪 1.(2024·新课标I卷，8)已知函数f(x)的定 义域为R,f(x)>f(x一1)+f(x一2)，且当 x<3时，f(x)=x,则下列结论中一定正确 的是 () A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000 D.f(20)<10000 2.（2024·天津卷，5)若a=4.20.8,b=4. 2.3,c=log.20.2,则a,b,c的大小关系为 () A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a ·9飞曼快乐假翻 c900= 10.解析：由x2一8.x一20≤0，得一2≤x≤10，由x2一2x十1一 m≤0(m>0),得1-n≤x≤1十m(m>0). 6.ABD[对于A选项√2 ≥-+> 2 图为p是g的充分不必要条件，所以p>g且q中p. 正确：对于B选项，由a十b=1且a>0,b>0,可得a一b=2a 即{x-2≤x≤10}是{x1一m≤x≤1+m,m>0)的真 子集， -1>-1,因光2>号正确：对于C选项，a+6=1≥ 11>0 >0, 2aa≤→10gab≤1og}=-2,错误：对于D选项， 所以1一m<一2或1+m>10, 1+m≥10 1一m一2， 解得m≥9. 所以实效m的取值范国为{mm≥9}. =2ah,a2+6-2ab= b 答案：{mm≥9} 11,解：(1)存在量词命题.x=2时，x一2=0成立.所以命题是 (a-b)2>0(a≠b). 真命题. 答案：> (2)全称量词命题.邻边不相等的矩形的对角线不垂直，所 8解桥：因为a>0.6>0,a+b=2,所以ah≤（士）=1，所以 以全称量词命题“矩形的对角线垂直平分”是假命题。 (3)全称量词命题，三角形中，两边之和大于第三边，所以全 ①恒成立；va+V万≤2/ @+b=2,所以②不恒成立： 2 称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题。 (4)存在量词命题.3是素数也是奇数，所以存在量词命题 口+6≥a+b》=2,所以③恒成立：当a=6=1时，a十6 2 “有些素致是奇数”是真命题 =23,所以④不恒成立」 12.解：由x2-x-2>0,解得x>2,或x<-1, 答案：①③ 令A={xlx>2,或x<-1}, 9.解析：对于①，固为a>b≥0，所以a2>b,即①正确：对于 由r+p0,得B=x<-卡1 ②，当a=2,b=一1时，显然不正确： 对于③，显然正确：对于④，因为a<0,一1<<0， 当BA时，即-是≤-1，即p>4, a6-a=a(h-1)>0,所以ab>a,即④正确. 光时<-专≤-1p--2>0, 答案：①③④ .当p≥4时，4红十p<0是2-x-2>0的充分条件. 10.解折：0<r<号2>0,5-3x>0y=2x(5-3)= 高考冲浪 1.B[由x=0不成立知p假，x=1时成立知g真，所以 选B.] 3=5-3,即=(0<<号)时，等号底立，故所求 2.C[根据立方的性质和指数函敏的性质，a=b→a=b→3 =3,3=3→a=b→a3=b,所以二者互为充要条件.] 画数的最大值为票。 假期作业三 答案得 技能提升台技能提升 11.证明：c<d<0,-c>-dD0. 1.A[:明天白天的最高温度为13℃， ,.明天白天的气温1与13℃之间存在的不等关系是t≤13℃ 0<-<-又a>6>0->->0 故速A] 2.B[a>b>0da>w1,是<2-a<-ba>8只 有选项B正确，故选B.] 两地月案以-1得，侣<，. 3B[。+8=a+6-2ab≥(a+b-2·(空）=合 12.解：(1)y=2.x-5.x2=x(2-5.x) a2+6-2ab=(a-b)2>0(a≠b),.d2+b>2ab(a≠b). =吉5r2-50 :0<a<b且a+b=1.a<分.a+b最大.门 0<号∴5r<2,2-5>0 4A[当>2时，-2>0.则f)=十2=-2)+ 5r2-5r)<(5+号5y=1.∴≤号当且仅当5 2 六2*-2…5+2-4 =2-5x,即x=号时=号 1 当且仅当一2=己2>2)时，即当=3时，等号成立，因 2)x>0.y>0.且x+y=1. 此a=3,故选A.] +号-（+号）+-10++号>10+ z y 5.ACD[对于A,若a>c2,则a>b,故正确：对于B,根据 不等式的性质，若a<b<0,则a>b,故错误；对于C,若a ≥6>0，则品>治即名>故正确：对于D.06>a 当且仅当y-二即=号y一合时等号成立， 2 y >0.∴.ae<bc,又e>d,b<0.∴.bc<bd,.ac<bd,故 正确.] :8+2的最小值是18 r y ·42. 三022 高考冲浪 9.解析：花坛的宽度为xm,所以绿草坪的长为(800一2x)m,宽为 1.B[由题意可知，当x<3时，f(x)=x,所以可知f(1)=1, f(2)=2, （0-2r1m,根搭题意得(800-2r)·(60-2r)≥号×800 又因为x∈R,f(x)>f(x-1)十f(x一2)，所以f(3) ×600, f1)+f(2)=3.f(4)>f(2)+f(3)>5,同理可得，f(5)> 整理得x2-700.x十60000≥0，解得x≥600（含去）或x≤ 8.f(6)>13,f(7)>21.f(8)>34,f(9)>55,f(10)>89. 100.由题意知0x<300,所以0≤100. f(15)>987,f(16)>1597,…,故选择：B.] 当0<x≤100时，绿草坪的而积不小于总而积的二分之一， 2.B[因为y=4.2在R上递增，且-0.3<0<0.3，所以0< 答案：{x|0<x≤1001 4.200<4.2°<4.201， 10.解析：当0≤x≤2时.x2一2a.r十a十2≥0恒成立， 所以0<4.21<1<4.2，即0<a<1<b, 则函数y=x2-2ax十a十2在0≤x≤2时的最小值恒大于 周为y=og.2r在(0，十o∞)上递增，且0<0.2<1， 等于0. 所以log.20.2<10g.z1=0,即c<0, 二次函数y=x2-2ar十a+2图象的对称轴为直线x=a. 所以>a>c.] 当a≥2时，函数y=x2-2ax十a十2(0≤x≤2)在x=2时取得 假期作业四 最小值，且最小值为6-3a,故6-3≥0，即a≤2，则a=2: 技能提升台技能提升 当a≤0时，函数y=x-2a.x十a+2(0≤x≤2)在x=0时 1.C[由x十x-2>0,可得(x+2)(x一1)>0. 取得最小值，且最小值为2十a,故2十a≥0，则一2≤a≤0： 所以x<-2或x>1, 当0<a<2时，函数y=x2-2ax十a十2(0≤x≤2)在x=a 故不等式的解集为{xx<一2或x>1},故选C.] 时取得最小值，且最小值为一a+a十2，则-a2十a+2≥0， 2.C[利用“△"判断，在不等式x2+6.x+10>0中，△=62一40 则0<a<2. <0,∴该不等式的解集为R,其他可类似判断.故选C.] 3.B[由题意得，a<0,方程a.r十x+2=0的两个根为一1， 综上，实数a的取值范围是{a|一2≤a≤2)， 答案：{a-2≤a≤21 2-=-1+2a=-1,故后-1=0.故选B.] 11.解：原不等式可化为(x-a)(x一a)>0. 4.B[由题意可知x[30-2(x-15)]>400,则-2x2十60x 当a<0时，a<a,解集为{xr<a或x>a”}: 400>0,即x2一30.x十2000，，(x-10)(x一20)<0，解得 当a=0时，a=a,解集为{xx≠0： 10<x<20.又每遵最低售价为15元，.15≤x<20.故选B.] 当0<a<1时，a<a,解集为{xx<a2或x>a}: 5.AD[因为关于x的不等式ax十bx十c≤0的解集为{xx 当a=1时，a=a,解集为{xx≠1}： ≤-2或x≥3}，所以a<0且方程ax十bx十c=0的两个极 当a>1时，a<a,解集为{xxr<a或x>a. 为-2,3.即3×(-2)-后8+(-2)=-名，所以c 综上所迷，当a<0成a>1时， 解集为{xx<a,或x>a: 一6a,b=一a.因此选项A正确： 当0<a<1时，解集为{.xx<a或x>a}: 因为c=-6a,a<0,所以由a.r十c>0,得a.x-6a>0,解得x 当a=0时，解集为{xx≠0}： <6,因此选项B不正确： 当a=1时，解集为{.xx≠1 由c=-6a,b=一a可知8a+4b十3=8a-4a-18a=-14a >0,因此选项C不正确： 12.解：若不等式mx2-2x一m+1<0恒成立， 因为c=-6a,b=-a,所以cx2十br+a<0→-6a,x2一a.x+ 即函数f(x)=m.x2-2x-m十1的图象全部在x抽下方. a<0>6x十x-1<0,解得-号<<行，因光选项D正 当m=0时1-2r<0,则x>2,不满足题意： 确.故选AD.门 当m≠0时，函数f(x)=m.x一2x一m十1为二次函数，需 a=0, 满足开口向下且方程mx一2x一m十1=0无解， 6.BD[选项A,假设结论成立，则3b十3=0，无解，故选项A 即∫m<0. b>0, 1△=4-4m(1-m)<0, 错误： 不等式组的解集为空集，即m不存在， 选项B,当a=1,b=0时，不等式x2十3>0恒成立，则解集 综上可知不存在这样的实数m 是R,故选项B正确：选项C,当x=0时，a+r+3=3>0,则 高考冲浪 解集不可能为②，故选项C错误： a<0. kc[由+y-y=1得(-)+()- 选项D,假设结论成立，则。-b+3=0,解得a。1·符 1b=2, (9a+3b+3=0. [z=5 3 sin 0+cos 0 合题意，故选项D正确，故选BD.] 7.解析：由x2-2.x-3≥0，得x≤-1或x≥3：由x2-2x一3< 5,得-2<x<4.-2<r≤-1或3≤x<4. .原不等式的解集为{x-2<r≤-1或3≤x<4} 故x+y=8sim0+cos0=2sin(0+看）∈[-2,2].故A 答案：{x-2<x≤-1或3≤x<4} 错，B对： 8.解析：①当m=0时，3≠0恒成立，满足条件.②当m≠0时， 则4=16mi-12m<0,解释0<m<是 熔上，实数m的取值范国是{m0≤m<受}》 3cos 20+ 2 sin (20 3= -9)+号∈[2] 答案：{m0<m<是} 其中tan= 3,故C对，D错.] 3 ·43·