专题02 平行线中的常用辅助线的作法（举一反三专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

专题02 平行线中的常用辅助线的作法（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 考卷信息： 本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行线中的常用辅助线的作法的理解！ 【题型1 过拐点作平行线】 1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，M是平面内一点，连接MB，MC，的平分线与的平分线交于点N．若，则的度数为（   ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是过拐点作平行线转化角的关系． 过点作，过点作，证明，，再根据角平分线得出从而得出答案． 【详解】解：解：如图，过点作，过点作， ∵； ∴， ∴，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴ ∵的平分线与的平分线交于点N． ，， ∴ ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点的位置不同，分别画出图形，从中探求出与的关系，再作出选择． 【详解】解：，， ∴， ∵平分， ∴， 如图所示，过点P作， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 即，故A是可能的； 如图所示，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，故C成立，故D不可能成立； 如图所示，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故B成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，平行公理，解题关键是掌握平行线的性质和判定，角平分线的概念． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，，点在直线上，点，在直线上，．将射线绕点以的速度逆时针转动，同时射线绕点以的速度逆时针转动，设转动时间为秒.在转动过程中，当射线与射线第一次互相垂直时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线与旋转．熟练掌握平行线的判定和性质，旋转的性质，垂直性质，是解题的关键． 设点D，Q的对应点为， 射线与交于点G，过G作，由，得， 得，由，得，当射线与射线第一次互相垂直时， ，得，即可得出答案． 【详解】解：设点D，Q的对应点为， 射线与交于点G，过G作，如图 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当射线与射线第一次互相垂直时，， ∴， ∴， 解得． 故选：D． 4．（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图，，在的两边上分别过点和点向同方向作射线和，且． （1）若，则的度数为 ． （2）若和的平分线所在的直线交于点（与不重合），则的度数为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作，而，可得，证明，，再进一步解答即可； （2）分两种情况当为锐角时，过点作，过点作，利用平行线的性质可得，，再结合角平分线即可求得；当为钝角时，，，再根据角平分线及平行线性质得． 【详解】解：（1）过点作，而， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）①当为锐角时，如图所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ，即， ，， ，， ，即， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， ②当为钝角时，如图所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ，， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， 综上所述或 故答案案为：或． 5．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查平行线的拐点模型，过点H作，设，，则，，分别表示出、，即可分析出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∴， ∴③错误； ， ∴④正确． 综上所述，正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 6．如图，两条平行直线，被直线所截，点位于两平行线之间，且在直线右侧，点是上一点，位于点右侧．小明进行了如下操作：连接，，在平分线上取一点，过点作，交直线于点．记，，，则 （用含，的代数式表示）． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，根据平行线的判定与性质探究角之间的关系是解题的关键． 设，由平分，得，，然后分当点在的右侧，且在上方时，当点在的左侧时，且在上方时，当点在直线的下方时三种情况分析即可． 【详解】设，因为平分，所以，，根据小明的操作有以下三种情况： 当点在的右侧，且在上方时，过点作，如图所示： 因为， 所以， 所以，， 又因为， 所以， 同理：， 因为， 所以， 因为，，， 所以，， 得：，代入得， 所以； 当点在的左侧时，且在上方时，如图所示： 同理：，， 因为， 所以，， 得：，代入得：； 当点在直线的下方时，过点作，如图所示： 同理：，即， 因为，， 所以，，， 因为， 所以，将代入得， 所以， 综上所述：或或， 故答案为：或或． 7．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，点和点分别在和上，点在和之间，连接和．，过点作射线，过点作射线．且，，点和点分别在和上，连接，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线进行角度的和差计算是解题的关键．分别过点作，表示出，求出，即可解答． 【详解】解：如图，分别过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论是 （填序号）． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，角度的相关计算．由已知条件可得出，过点H作，由平行线的性质可得出②，设，则，，可判断③④． 【详解】解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴②正确． 设，则，， 由②知， 作， ， ， ∴，无法判断是否为， ∴③错误； ∴， ∴④正确． 综上所述，错误答案为③． 故答案为：③． 9．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，直线，点在直线上，点，在直线上，点为直线上方一点，连接、、、，与交于点，的角平分线交射线于点，交于点，交于点，连接，，平分，，，若，则 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得出，，过点作，由平行线的判定与性质可得，，，结合可得，由推得，结合即可求解． 【详解】解：平分， ， ， ， 平分， ， 过点作， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是角平分线的有关计算、平行线的判定与性质、几何图形中角度计算问题，解题关键是结合示意图正确找出角之间的关系． 10．（24-25七年级下·吉林松原·期中）如图，，点M在直线，之间，是的平分线，连接，，在的延长线上取点N，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线，角的和差等知识，解题的关键是掌握平行线的性质．过作，过作，设，可得，由 ，可得，从而，又，即知，故． 【详解】解：过作，过作，如图： 设，则， ， ∵平分， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证．年5月日，抖空竹经中华人民共和国国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录． 【特殊与一般】小明在观察“抖空竹”时发现，可将某一时刻的情形抽象成数学问题． 如图①，已知， （1）若，则__________°． （2）若，则__________．（用含、的代数式表示） 【拓展与探究】小明继续思考，在平面内，已知射线、，若，点为、外一点（不同于图①），连接、．请补全图形，并探究与、之间的数量关系． 【迁移与应用】根据以上启发，请你利用平行线的性质证明“四边形内角和是”． （要求：画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程） 【答案】（1）（2）【拓展与探究】或或 或 【迁移与应用】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据题意，作，利用平行线的性质，求出和的度数，即可得到结果； （2）根据题意，仿照（1）的解答，即可得到结果； 【拓展与探究】根据题意，画出图形，利用平行线的性质，得到或或 或； 【迁移与应用】利用上一题的结论，证得即可． 【详解】解：（1）如图①，过点，作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：20； （2）如图①，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【拓展与探究】如下图，过点，作， ， ， ， ， ， ； 如下图，过点，作， ， ， ， ， ， ； 如图，， ， ； 如下图， ， ； 如下图，延长交于， ， ， ； 综上所述，或或 或； 【迁移与应用】已知：如图④，四边形， 求证：， 证明：分别过、两点，作， 由【拓展与探究】知：，， 即， ， ， ， ， 即． 12．如图1，一个直角三角板的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于点E、F．    (1)如图1，若，请判断直线a与b的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在问题（1）的条件下，若N为上一点，且，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)．理由见解析 (2)．理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质； （1）根据，，求得，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）如图，过点C作，等量代换得到，求得，于是得到． 【详解】（1）解：．理由： ∵，， ∴， ∴． （2）解：．理由： 如图，过点C作，    ∵， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 13．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质、余角与补角、新定义等问题． （1）根据k倍补角的定义求解即可； （2）①过点E作，所以，进而求出的度数； ②分类讨论，点F在右侧或者左侧，画出图形，利用k倍角定义建立方程从而得出关于k的关系式，即可得解． 【详解】（1）解：∵是的5倍补角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图1，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴，即； ②∵，， ∴， 由①得， ∴， ∴， 分以下两种情况讨论： 如图2，若点F在右侧， 则； 如图3，若点F在左侧，连接并延长， ∵ 是 的外角， ∴， 同理可得， ∴ ； 综上所述，或． 14．已知直线，点A在上，点B在上． (1)如图1，点C在上方，连、，求证：； (2)如图2，点C在与之间，连、，延长交于点D，点S在直线上 ①当点S在点D的左边时，则、、、之间有何数量关系？请说明理由； ②当点S在点D的右边时，直接写出、、、之间的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2)①，理由见详解；② 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练利用平行线的判定及性质探究角之间的关系是解题的关键． （1）过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可得证； （2）①过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，，即可求解； ②当在线段上（不与重合）时，过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质，，，即可求解； 当在的右边时，同理可求． 【详解】（1）证明：过作， ， ， ，， ； （2）解：①； 理由如下：过作， ， ， ， ， ， ； ②当在线段上（不与重合）时， 过作， ， ， ， ， ， ； ； 当在的右边时， 过作， 同理可求：； 综上所述：． 15．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）（1）如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，，．． ． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ． （2）如图2，已知，点分别在直线上，点在两平行线之间，求、和之间的数量关系． （3）如图3，在图2的条件下，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点作，由平行线的性质得，，则； （2）过点作，由平行线的性质得，再由平角的定义即可求解； （3）过点作，由平行线的性质得，则 ，再由（2）得，则，进而求解即可． 【详解】解：（1）过点作，如图1所示： ， ． ． ． 故答案为：； （2）过点作，如图2所示： ， ． ， ， ， 和之间的数量关系为：； （3） 分别是和的平分线， ，， 过点作，如图3所示： ， ． ， ， 由（2）得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型2 连接两点或延长线段】 1．已知，如图，AB∥CD，则图中α、β、γ三个角之间的数量关系为（     ） A．α-β＋γ=180° B．α＋β－γ=180° C．α＋β＋γ=360° D．α－β－γ=90° 【答案】B 【分析】延长CD交AE于点F，利用平行证得β=∠AFD；再利用三角形外角定理及平角定义即可得到答案. 【详解】如图，延长CD交AE于点F ∵AB∥CD ∴β=∠AFD ∵∠FDE+α=180° ∴∠FDE=180°-α ∵γ+∠FDE=∠ADF ∴γ+180°-α=β ∴α＋β－γ=180° 故选B 【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形外角定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键. 2．如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为    A．30° B．35° C．36° D．45° 【答案】C 【分析】延长FB交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可. 【详解】解：如图延长FB交CD于G    ∵BF∥ED ∴∠F=∠EDF 又∵DF 平分∠CDE， ∴∠CDE=2∠F， ∵BF∥ED ∴∠CGF=∠EDC=2∠F， ∵AB∥CD ∴∠ABF=∠CGF=2∠F， ∵BF平分∠ABE ∴∠ABE=2∠ABF=4∠F， 又∵∠F 与∠ABE 互补 ∴∠F +∠ABE =180°即5∠F=180°，解得∠F=36° 故答案选C. 【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键. 3．图1是一盏可折叠台灯．图为其平面示意图，底座于点，支架，为固定支撑杆，是的两倍，灯体可绕点旋转调节．现把灯体从水平位置旋转到位置（如图中虚线所示），此时，灯体所在的直线恰好垂直支架，且，则∠的度数为（       ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，延长交于点，则，得到，在四边形中，利用四边形的内角和为，列出等式，即可求出的度数． 【详解】解：延长交于点，延长交于点，如图： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在四边形中，有 ， ， 解得：； 故选：B． 【点睛】本题考查了四边形的内角和的应用，同角的补角相等，邻补角的定义，几何图形中角度的和差关系，解题的关键是正确的作出辅助线，利用四边形的内角和为进行解题． 4．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，，，平分交于点，点是射线上任一点，连结、，若，，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况讨论：①当点F在线段上时，由平行线的性质和角平分线的定义可得，则可得，进而可得，再结合即可求出的度数．②当点F在线段的延长线上时，延长线段交于G点，由平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理可得，，再结合即可求出的度数． 本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识，并且分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①如图，当点F在线段上时， ， ， ∵平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得； ②如图，当点F在线段的延长线上时，延长线段交于G点， ， ， 又，， ， ∵平分， ， ， ， ， 中，， 中，， 又， 解得． 故选：C． 5．如图，E在线段的延长线上，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到，等量代换得到，求得平分；故②正确；根据平行线同旁内角互补得，再根据题目已知，得，又根据，得，但根据现有条件无法证明，故③错误；设，得到，根据角平分线的性质即可得到结论． 【详解】∵， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分；故②正确； 延长交于P，延长交于Q，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵的余角比大， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； 设 ， ， ∴ ＋， ∵平分， ∴ ＋， ∵平分， ∴， ∴， ∴＋ ＋＋， ∴ ， ∴，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键． 6．如图，把一块三角放角的顶点放在长方形的边上，保持点的位置不动，在转动三角板时，若与长方形的边平行，则的度数为 ． 【答案】或． 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．结合长方形的性质，根据平行线的性质分情况求解即可． 【详解】解：在长方形中，，，， 如图1，时， ， ， ； 如图2，时， ， ； 如图3，，的延长线交于点时， ， ， ， ， ； 如图4，，的延长线交于点时， ， ， ， ， ， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 7．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，，分别平分和，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质求角度，角平分线的计算，正确构造平行线是解题的关键． 延长交射线于点，过点分别作，则，那么，由角平分线得到，，则，再由得到内错角相等求解即可． 【详解】解：如图，延长交射线于点，过点分别作， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴ ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．如图，ABCD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GEMP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的结论有 (写出所有正确结论的序号)．    【答案】①③④ 【分析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由邻补角的性质可判断②，如图，延长EG交AB于K, 先求解∠KEG=45°, 从而可判断③④，于是可得答案． 【详解】解：由题意得： ∠GEF=60°,∠GFE=30°,∠EGF=90°=∠MPN,∠PMN=∠PNM=45°, ∴∠MPG=∠EGP=90°, ∴EGPM, 故①符合题意； ∵∠EFG=30°, ∴∠EFN=180°−30°=150°, 故②不符合题意； 如图，延长FG交AB于K,    ∵ABCD, ∴∠GKE=∠PNM=45°, ∴∠KEG=90°−45°=45°, ∴∠BEF=180°−45°−60°=75°, ∠AEG=∠PMN=45°, 故③④符合题意； 综上：符合题意的有①③④ 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的判定与性质，三角板中角度计算问题，掌握以上基础知识是解本题的关键． 9．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）将一副三角尺和按如图所示方式摆放，已知，，，将三角尺沿射线平移，平移的过程中，的延长线与射线相交于点，作的平分线，交直线于点，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查图形的平移，平行线的判定与性质，先证明，得到，再根据和的位置分情况讨论，分别画出图形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 当在右边时，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴； 当在左边时，交线段于点，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在左边时，交直线于点，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或或． 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，，，，则n的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角的计算，准确识图，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．设和交于点，连接，延长交于，设，，则，，，，，根据得，由三角形内角和定理得①，②，由①②即可求出的值． 【详解】解：设和交于点，连接，延长交于，如图所示： 设，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ①， ， ， 在中，， ， 在中，， 在中，， ， 即， ， 即， ， ， ②， ①②得：， ． 解得：． 故答案为：2.6． 11．（2024七年级下·江苏·专题练习）将一副三角板如图1所示摆放，，，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边，平行，则所有满足条件的的值为   ． 【答案】15或105或60 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据题意画出旋转后的图形，由已知条件，利用平行线的旋转，求出旋转角之间的关系，列出方程解答即可．解题关键是根据题意，画出旋转后的图形． 【详解】解：由题意得：，， （1）当时， 如图所示：延长交于点， ①在上方， ，，， ， ， ， ， ， 即，； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ， 即， 解之得：； 如图：当时， 延长交于点， ①在上方，度， ，， ， ， ， ， ， 即，解之得：； ②在下方，度， ，，， ， ， ， ， ， 即，解之得：（舍去）， 综上可知：所有满足条件的的值为：15或105或60， 故答案为：15或105或60． 12．如图，已知，点在上，点为平面内一点，，过点作，平分，平分，若，．则 ． 【答案】 【分析】延长交于点，结合所给的条件，则可找到，通过角之间关系的转化，可以得到，从而可得，再结合可求得的度数，则可求的度数．本题主要考查了平行线的性质，垂线，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形，找到已知条件与所求角之间的关系． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ，， ， 平分， ，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ，整理得：， ， ， 在中，， ， ， 即， ， 解得：， ． 故答案为：． 13．光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用．例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理． （1）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，．平面镜AB与BC的夹角∠ABC=α，则α= ． （2）如图③，若α=108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD=β（90°＜β＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出β= ．（可用含x的代数式表示）    【答案】 90° 162°或90°＋x． 【分析】（1）根据平面镜成像原理入射角等于反射角，由光线ab，可知同旁内角互补，进一步求得α的度数； （2）分两次反射和三次反射进行讨论，两次反射的情况可利用（1）的结论，三次反射的情况画图进行分析． 【详解】解：（1）过点P作PG⊥AB，QG⊥BC，PG与QG相交于点G， ∵平面镜成像原理入射角等于反射角， ∴∠EPG＝∠QPG，∠PQG＝∠FQG， ∵ab， ∴∠EPQ＋∠PQF＝180°， ∴2（∠QPG＋∠PQG）＝180°， ∴∠QPG＋∠PQG＝90°， ∵∠QPG＋∠PQG＋∠PGQ＝180°， ∴∠PGQ＝90°， ∵PG⊥AB，QG⊥BC， ∴∠PBQ＋∠BQG＋∠QGP＋∠GPB＝360°， ∴∠PBQ＝360°－90°－90°－90°＝90°， 即α＝90°； 故答案为：90° （2）若经过两次反射，如图③所示，延长AB、DC相交于点E， 由（1）知，∠E＝90°， ∵α＝108°， ∴∠BCE＝α－∠E＝108°－90°＝18°， ∴β＝180°－∠BCE＝108°－18°＝162°， 若经过三次反射，标记各反射点，如图④所示，作FMa，则FMab， ∵∠BHF＝∠AHR＝x， ∴∠BFH＝∠CFG＝180°－α－x＝180°－108°－x＝72°－ x， ∴∠RHF＝180°－2x，∠HFG＝180°－2∠BFH＝180°－2（72°－x）＝36°＋2x， ∵FMab， ∴∠RHF＋∠HFG＋∠FGS＝∠RHF＋∠HFM＋∠GFM＋∠FGS＝360°， ∴∠FGS＝360°－（36°＋2x）－（180°－2x）＝144°， 则∠CGF＝（180°－∠FGS）÷2＝18°， 由∠CGF＋∠CFG＋β＝180°， 得到β＝180°－∠CGF－∠CFG＝180°－18°－（72°－ x）＝90°＋x， 综上，β的度数为162°或90°＋x． 故答案为：162°或90°＋x． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握平面镜成像入射角等于反射角是解题的关键． 14．如图，，E是线段上一点，F是线段的延长线上一点，的平分线交于点G，交线段的延长线于点I，过点D作于点H．且．下列结论： ①； ②； ③； ④若，则． 正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 根据平行线的性质及三角形外角的性质，垂直的定义，角平分线的定义对每一项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 故①结论正确； 如图，延长交于点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴②结论正确； ∵ ， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴③结论正确； 若，则， ∵是的外角， ∴， 而与不一定相等， ∴不一定成立， ∴④不正确； 综上所述，正确结论的序号是①②③， 故答案为：①②③． 15．已知如图，直线，点在直线上，点在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线交于点．请解答下列问题： (1) °； (2)当时，求的度数； (3)将线段向右平行移动，其他条件不变，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质以及分类讨论，根据题意作出平行线，再由平行线的性质及三角形外角、对顶角的性质即可得出结论． （1）根据角平分线的定义，即可得到， （2）过点作，根据两直线平行，内错角相等可得，根据角平分线的定义求出，，然后求解即可； （3）过点作，然后分类讨论：①点在直线和之间，根据角平分线的定义求出，，再由两直线平行同旁内角互补，求出，最后由求解即可；②若点在直线的上方，利用外角知识求解即可；③点在直线的下方，利用外角知识求解即可． 【详解】（1）解： ，平分， 故答案为： （2）过点作， ， ， ， 平分，平分， ， （3）点在点的左边时，若点在直线和之间，则过点作， 平分，平分， ， ， ， 点在点的左边时，若点在直线的上方， 平分，平分， ， ， ， 点在点的左边时，若点在直线的下方， 平分，平分， ， ， ， 综上所述，将线段向右平行移动，其他条件不变，的度数为：，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行线中的常用辅助线的作法（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 考卷信息： 本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行线中的常用辅助线的作法的理解！ 【题型1 过拐点作平行线】 1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，M是平面内一点，连接MB，MC，的平分线与的平分线交于点N．若，则的度数为（   ） A．30° B．40° C．50° D．60° 2．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，，点在直线上，点，在直线上，．将射线绕点以的速度逆时针转动，同时射线绕点以的速度逆时针转动，设转动时间为秒.在转动过程中，当射线与射线第一次互相垂直时，的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图，，在的两边上分别过点和点向同方向作射线和，且． （1）若，则的度数为 ． （2）若和的平分线所在的直线交于点（与不重合），则的度数为 ． 5．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 6．如图，两条平行直线，被直线所截，点位于两平行线之间，且在直线右侧，点是上一点，位于点右侧．小明进行了如下操作：连接，，在平分线上取一点，过点作，交直线于点．记，，，则 （用含，的代数式表示）． 7．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，点和点分别在和上，点在和之间，连接和．，过点作射线，过点作射线．且，，点和点分别在和上，连接，，则的值是 ． 8．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论是 （填序号）． 9．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，直线，点在直线上，点，在直线上，点为直线上方一点，连接、、、，与交于点，的角平分线交射线于点，交于点，交于点，连接，，平分，，，若，则 ．（用含的式子表示） 10．（24-25七年级下·吉林松原·期中）如图，，点M在直线，之间，是的平分线，连接，，在的延长线上取点N，连接，若，，则的度数为 ． 11．空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证．年5月日，抖空竹经中华人民共和国国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录． 【特殊与一般】小明在观察“抖空竹”时发现，可将某一时刻的情形抽象成数学问题． 如图①，已知， （1）若，则__________°． （2）若，则__________．（用含、的代数式表示） 【拓展与探究】小明继续思考，在平面内，已知射线、，若，点为、外一点（不同于图①），连接、．请补全图形，并探究与、之间的数量关系． 【迁移与应用】根据以上启发，请你利用平行线的性质证明“四边形内角和是”． （要求：画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程） 12．如图1，一个直角三角板的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于点E、F．    (1)如图1，若，请判断直线a与b的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在问题（1）的条件下，若N为上一点，且，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 13．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 14．已知直线，点A在上，点B在上． (1)如图1，点C在上方，连、，求证：； (2)如图2，点C在与之间，连、，延长交于点D，点S在直线上 ①当点S在点D的左边时，则、、、之间有何数量关系？请说明理由； ②当点S在点D的右边时，直接写出、、、之间的数量关系． 15．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）（1）如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，，．． ． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ． （2）如图2，已知，点分别在直线上，点在两平行线之间，求、和之间的数量关系． （3）如图3，在图2的条件下，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数． 【题型2 连接两点或延长线段】 1．已知，如图，AB∥CD，则图中α、β、γ三个角之间的数量关系为（     ） A．α-β＋γ=180° B．α＋β－γ=180° C．α＋β＋γ=360° D．α－β－γ=90° 2．如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为    A．30° B．35° C．36° D．45° 3．图1是一盏可折叠台灯．图为其平面示意图，底座于点，支架，为固定支撑杆，是的两倍，灯体可绕点旋转调节．现把灯体从水平位置旋转到位置（如图中虚线所示），此时，灯体所在的直线恰好垂直支架，且，则∠的度数为（       ）． A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，，，平分交于点，点是射线上任一点，连结、，若，，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 5．如图，E在线段的延长线上，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，把一块三角放角的顶点放在长方形的边上，保持点的位置不动，在转动三角板时，若与长方形的边平行，则的度数为 ． 7．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，，分别平分和，若，则的度数是 ． 8．如图，ABCD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GEMP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的结论有 (写出所有正确结论的序号)．    9．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）将一副三角尺和按如图所示方式摆放，已知，，，将三角尺沿射线平移，平移的过程中，的延长线与射线相交于点，作的平分线，交直线于点，则的度数为 ． 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，，，，则n的值为 ． 11．（2024七年级下·江苏·专题练习）将一副三角板如图1所示摆放，，，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边，平行，则所有满足条件的的值为   ． 12．如图，已知，点在上，点为平面内一点，，过点作，平分，平分，若，．则 ． 13．光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用．例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理． （1）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，．平面镜AB与BC的夹角∠ABC=α，则α= ． （2）如图③，若α=108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD=β（90°＜β＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出β= ．（可用含x的代数式表示）    14．如图，，E是线段上一点，F是线段的延长线上一点，的平分线交于点G，交线段的延长线于点I，过点D作于点H．且．下列结论： ①； ②； ③； ④若，则． 正确结论的序号是 ． 15．已知如图，直线，点在直线上，点在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线交于点．请解答下列问题： (1) °； (2)当时，求的度数； (3)将线段向右平行移动，其他条件不变，求的度数（用含的代数式表示）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $