精品解析：天津市2025-2026学年度第一学期阶段性质量监测（二）高三数学试题

2025-2026学年度第一学期阶段性质量监测（二） 高三年级数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号； 3．本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： ·锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高． ·球的表面积公式，其中R表示球的半径， ·对于事件A，B，，那么． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量， ，则“”是“与夹角为锐角”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对x，y两变量的线性相关性做试验，分别求得样本相关系数r，如下表： 甲 乙 丙 丁 r 则试验结果中x，y两变量有更强线性相关性的是（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 已知函数的大致图象如图所示，则函数的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ）． A. B. C. D. 6. 设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 设函数，若时，的最小值为，则（ ）． A. 函数的周期为 B. 将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为奇函数 C. 当，的值域为 D. 函数在区间上的零点个数共有6个 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线l垂直于C的一条渐近线，且与C的左、右两支分别交于点A，B，若，则C的离心率为（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. i为虚数单位，若，则______． 11. 的二项展开式中，常数项为______． 12. 直线交圆于A，B两点，若的面积为2，则实数k的值为______． 13. 甲、乙、丙、丁四位同学到四个大学的实验室参观，每人只去一个大学，设事件为“4个人去的大学各不相同”，事件为“只有甲去了大学”，则______；______． 14. 如图，在等腰梯形中，，E是的中点，连接，相交于点F，连接，若，则______；______． 15. 已知函数在区间内有2个零点，则实数a的取值范围是______． 三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在 中，角 所对的边分别为 ，且，， （1）求 ； （2）求 : （3）求 的值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，与相交于点N，点M满足． （1）求证：； （2）若点B到平面的距离为； （i）求h； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点在椭圆C上，且直线的斜率与直线的斜率之积为． （1）求椭圆C的方程； （2）M为C的上顶点，直线l交C于E，Q（异于A，B）两点，记直线，的斜率分别为，，若，求M到l的距离的最大值． 19. 已知数列的前n项和．等比数列满足：，． （1）求数列，的通项公式； （2）保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中）组成新的数列，记的前n项和为． （i）求； （ⅱ）证明：． 20. 已知，，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意，都有，求a的取值范围； （3）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段性质量监测（二） 高三年级数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号； 3．本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： ·锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高． ·球的表面积公式，其中R表示球的半径， ·对于事件A，B，，那么． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的交集与补集的定义求解即可. 【详解】因为，，所以， 又因为. 故选：A. 2. 已知向量， ，则“”是“与夹角为锐角”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算以及向量共线可得且，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为向量， ， 若与夹角为锐角，等价于，解得且， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对x，y两变量的线性相关性做试验，分别求得样本相关系数r，如下表： 甲 乙 丙 丁 r 则试验结果中x，y两变量有更强线性相关性的是（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】由相关系数的绝对值的大小判断,越接近1则有更强的线性相关性. 【详解】由已知，丙的相关系数的绝对值为，是四人中最大的且最接近1， 因此丙同学的试验结果中x，y两变量有更强的线性相关性． 故选：C. 4. 已知函数的大致图象如图所示，则函数的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A，D，根据C项函数没有零点，排除C项，最终选出正确结果. 【详解】根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A，D； 对于C，当时，，函数显然不存在零点，排除C． 故选：B． 5. 设，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的性质分别分析的取值范围，再比较它们的大小即可. 【详解】，，，即. ，正弦函数在上单调递增，，即， ，，，即， ，而，故，故. 综上，. 故选：B. 6. 设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由递减数列定义可得，代入计算即可得解. 【详解】因为数列是单调递减数列， 所以恒成立， 则，即， 又，则，所以，则实数a的取值范围为. 故选：D 7. 正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由体积可算得正四棱锥的高，再由勾股定理可求得外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图，设为外接球球心，底面于点，设， 由正四棱锥的体积为8，即，解得，则， 又，所以，， 在中，，即，解得， 所以外接球的表面积为. 故选：C. 8. 设函数，若时，的最小值为，则（ ）． A. 函数的周期为 B. 将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为奇函数 C. 当，的值域为 D. 函数在区间上的零点个数共有6个 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知的最小正周期为即可判断A；由此可得，，再根据平移、诱导公式、余弦函数的奇偶性可判断B；根据正弦函数的图象及相关性质可判断CD. 【详解】由， 由时，的最小值为，即， 可得的最小正周期为，故A错误； 由，则， 将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为， 为偶函数，故B错误； 当时，，则， 所以，故C错误； 当时，， 则当，，，，，时，， 则在区间上的根的个数共有6个，故D正确. 故选：D 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线l垂直于C的一条渐近线，且与C的左、右两支分别交于点A，B，若，则C的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用双曲线的定义用表示，，再用余弦定理表示，联立中的余弦值，齐次化后即可求解. 【详解】不妨设直线与直线垂直，垂足为，如下图： 由双曲线定义可得，，故， 且有，即，， 在中，由余弦定理得， 在中，，易得，所以， 所以有，， 两边同时平方得，， ，， 同除以得，化简得，， 因为双曲线，故，. 故选：A. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. i为虚数单位，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的运算法则与共轭复数的定义计算. 【详解】， 则. 故答案为： 11. 的二项展开式中，常数项为______． 【答案】240 【解析】 【分析】根据二项式定理可得展开式的通项公式，令，可求得常数项. 【详解】的二项展开式的通项为： ，， 令，得，所以展开式中的常数项为. 故答案为：. 12. 直线交圆于A，B两点，若的面积为2，则实数k的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式和勾股定理，求出，再利用三角形面积公式建立方程，求出的值. 【详解】圆，圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，则为的边上的高， 由点到直线的距离公式得，， 由勾股定理得：， 设的面积，则， 所以， 两边平方得，，即， 所以， 因为，所以， 化简可得， 所以，解得或， 因为，所以. 故答案为：1 13. 甲、乙、丙、丁四位同学到四个大学的实验室参观，每人只去一个大学，设事件为“4个人去的大学各不相同”，事件为“只有甲去了大学”，则______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据乘法原理得每人只去一个大学共有种不同情况，再分别讨论事件的不同情况，最后根据古典概率模型与条件概率公式求解对应概率即可. 【详解】甲、乙、丙、丁四位同学到四个大学的实验室参观， 每人只去一个大学，共有种不同情况； 事件为“4个人去的大学各不相同”，共有种不同情况， 事件为“只有甲去了大学”，共有种不同情况， 事件为“甲去了大学且4个人去的大学各不相同”，共有种不同情况， 所以，，， 所以. 故答案为：； 14. 如图，在等腰梯形中，，E是的中点，连接，相交于点F，连接，若，则______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用向量的基底法设，，然后用，表示，，再根据向量数量积运算律即可得到答案. 【详解】： 设，， 等腰梯形性质得，又因为， 所以，① 又因为，② 由①②代入得， ，③ 由题目，得，， 因此， ： 已知，，， 故 ，，， 设，， 因为， 因此，， 所以， 又， 可以得， 解得，， 所以， 又， 所以，（4） 由③④代入得, , , , , 所以. 故答案为：， 15. 已知函数在区间内有2个零点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为在区间内有2个零点，且，再结合二次函数零点分布解不等式即可得答案. 【详解】因为对任意实数恒成立，且区间为有意义， 所以在区间内有2个零点，且， 因为函数的对称轴为， 所以根据二次函数零点分布有，即， 解对应不等式有：的解集为， 的解集为， 的解集为， 的解集为 又， 所以实数a的取值范围是 故答案为： 三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在 中，角 所对的边分别为 ，且，， （1）求 ； （2）求 : （3）求 的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由及正弦定理得，又， 所以， 从而， 因为，所以，所以， 所以． 【小问2详解】 由，及余弦定理得， 解得，从而． 【小问3详解】 由（1）得， 所以，， 所以 ． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，与相交于点N，点M满足． （1）求证：； （2）若点B到平面的距离为； （i）求h； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 由已知，以A为坐标原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 则 ， ，， 由得，即， 因为， 所以，即． （2）（i）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）以A为坐标原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建系，由证明； （2）（i）求出平面的法向量，由点到平面的距离公式求解；（ii）求出平面和平面的法向量，由面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）得，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，又 ， 所以点B到平面的距离为， 解得，． （ⅱ）易知平面的一个法向量为． 由（1）和（i）得，， 设平面的一个法向量为，又 ， 则，即， 令，得， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点在椭圆C上，且直线的斜率与直线的斜率之积为． （1）求椭圆C的方程； （2）M为C的上顶点，直线l交C于E，Q（异于A，B）两点，记直线，的斜率分别为，，若，求M到l的距离的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用斜率积及点在椭圆上列式计算求解得出椭圆方程； （2）先设直线方程，再联立方程组得出韦达定理，应用，进而得出，计算得出，最后计算得距离的最大值. 【小问1详解】 因为，，由题意得，， 解得，，所以椭圆方程为． 又因为点在椭圆C上，所以，解得，， 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 由E，Q不同于A，B，当直线l垂直于y轴时，与异号，不满足题意， 所以直线l不与y轴垂直，设其方程为，，， 联立，得， ，即， 则，． 又因为，， 所以，，直线的斜率， 由在C上，得，即， 因此， 因为，所以， 由 ，解得， 所以直线l的方程为，所以直线l过定点． 又因为，则当时，点M到直线l的距离取得最大值， 即点M到直线l的距离的最大值为． 19. 已知数列的前n项和．等比数列满足：，． （1）求数列，的通项公式； （2）保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中）组成新的数列，记的前n项和为． （i）求； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）， （2）（i）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据与之间的关系求数列的通项公式，根据等比数列的定义可得，即可得数列的通项公式； （2）（i）整理可得，讨论n的奇偶性，结合错位相减法求；（ⅱ）根据题意利用放缩法可得，结合裂项相消法分析证明. 【小问1详解】 因为， 当时，； 当时，，满足上式； 所以； 设等比数列的公比为， 因为，即，解得， 且，所以． 【小问2详解】 （i）因为， 当n为偶数时，则 ， 可得， 两式相减得： ， 所以； 当n为奇数时，； 综上所述：； （ⅱ）由（i）可知：， 则 所以. 20. 已知，，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意，都有，求a的取值范围； （3）若，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对进行求导，再通过导数的几何意义结合点斜式即可求出； （2）通过求的二阶导数判断的一阶导数的符号，进而求出的单调性，再求出的最小值即可求出a的取值范围； （3）通过不等式将原式化为只需证，再通过化简变形得到，对进行求导，最后令，对其进行求导即可证明. 【小问1详解】 ，所以点处的切线斜率为， 又，所以切线方程为， 即． 【小问2详解】 ， 因为在上均为增函数， 所以在上单调递增，又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以． 若对任意，都有，则， 所以，a的取值范围为． 【小问3详解】 由（2）知，当时，，故， 所以 ， 所以只需证，只需证， 只需证， 只需证， 令， 则只需证． 因为， 所以令， 因为，所以在上单调递减， 所以当时，，所以，所以在上单调递减， 又，所以， 故当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $