培优03 锐角三角函数与相似三角形（专项训练）数学北师大版九年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 培优03锐角三角函数与相似三角形 》划重点·冲高分 题型1作垂线构造直角三角形 题型2求边长 锐角三角函数 题型3求对应边的比例 与相似三角形 题型4有关面积的计算 题型5动点问题 题型1作垂线构造直角三角形 1.如图，在4BC中，点D是BC的中点，DA14C,a∠BAD=AB=2而，则BC的长度为 B D 2.如图，在Ra48C中，∠8B4C=90,点F在边BC上且sin∠FAC-3E为4C上一点，且4E:EC-2, EF⊥AF,求tan∠CFE. 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,BC=10,AD⊥BC于点D,BF平分∠ABC交AC于点 1/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F,交AD于点E,则线段AE的长为一· 4.如图，在ABC中，∠4CB=90,a∠A8C-,点D在4BC外，且∠ABC=∠BDC,AE1DC交 DC延长线于点E,BD=√5，CD=14.5,则AE的长为() D B A.5 B.45 C.35 n. 如图，在ABC中，LACB=90°，AB=10,simB=点D在AB边上，AD=4,连接CD C B (I)求CD的长； (2)求sin ZDCB. 6.如图，在ABC中，AD是ABC的角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE=∠B. 2/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AD2=AB·AE ②若AB=9,AE=4,cos∠BAD=,求AD的长度及△ABD的面积 题型2求边长 - 7.如图，在△ABF中，∠F=90°，点C是斜边AB上的一点，AC=10,DC∥BF,BF:AF=3:4, ∠E=55°，AE=2,则CD的长约为()（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43） D B C A.7.6 B.7.9 C.8.3 D.8.6 8.如图，ABC中，D为B上-点，BD=4,AD=DC=8,∠BC4=5,则AC的长是() 2 D A.8 B.12V5 c.53 D.83 2 9.如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角.如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，∠A是黄金角，点D在边AC上，且点D是AC的黄金分割点(AD>CD),联结BD.如果 AB=8,那么BD的长是一 3/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 A NB 1O.如图，在平行四边形ABCD中过点A作AE⊥DC,垂足为E,连接BE,F为BE上一点，且 ∠AFE=∠D. A (I)求证：△ABF∽△BEC; ②若4D=5,AB=8,snD号E=45,求F的长。 I1.如图，ABC中，AB=AC,点D,E分别在边CB,AC的延长线上，∠ADE=∠ABC. (I)求证：AD2=AC·AE; ②)若eos∠BAC-手，BC=20,AD=12,求CE的长. 4/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12.如图，已知点D、E分别是ABC的边AC和AB的中点，连接BD、CE交于点G,连接DE, C D G 0*爱的价。 (2)如果CE⊥BD,tan ZBCG=2,AB=2V17,求DE的长. 题型3求对应边的比例 1B.图，在4BC中，s血4=分∠B=90,D为B的中点，E在线段4C,且0E, “ABBC,则 AE AC D 14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB=3,BC=4,将△AB0沿着AC翻折得到 OE △AB'O,B'O与AD相交于点E,BB'与AC相交于点F,则BB'的长为 B'E 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC 4 AB5'点D,E分别在边AB,AC上，连接DE,将ADE BD 沿DE翻折，点A的对应点为点F,线段DF恰好经过点C.若DE=EF,则 的值为 BC l6.如图，BD是矩形ABCD的对角线，tan∠ABD= 3,延长BC到E,使得CD=CE,连接AE交CD BD于点F、G,则AG:GF= D E 17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC绕顶点C逆时针旋转得到Rt△ABC,点B恰好落在 B上，若oB-},则2 CD= 18.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于 点E、F,连接BE、DF· 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B C (I)求证：四边形BFDE是平行四边形： 若EF L AB,垂足为M,an∠MBO=),求EM:MF的 19.如图，在△ABD中，AC为BD边上的高.过点C作AD的垂线，垂足为点E,若AB=17,BD=28, ∠B的余弦值为7 A E B D (I)求CE的长. (②)连接BE交边AC于点F,求BF:FE的值， 题型4有关面积的计算 一一-一。一一-一-一 20.如图，将两块直角三角板△ABC与△BCD按如图方式放置，∠ABC=90°，∠ACB=45°，∠D=30°，两 条斜边相交于点O,则△AOB与△COD的面积比为() 7/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B A.l√2 B.1:2 C.1:/3 D.1:3 21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2,点D、点E、点F分别是AC,AB,BC边 的中点，连接DE、EF,得到△AED,它的面积记作S;点D、点E、点E分别是EF,EB,FB边的中 点，连接D,E、EE,得到△EE,D,它的面积记作S,照此规律作下去，则S=一· E D E D E B FF, 22.如图，在ABC中，∠BAC=120°，点D为BC边上一点，且BD=3DC,若AD=1,则ABC的面积 的最大值为」 D C 23.如图ABC中，am∠C=分，DE14C,若CE=5,DE=1,且BEC的面积是ADE面积的10倍， 则BE的长度是() A. B.5 C.5 D.7 2 8/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 24.魏晋时期，数学家刘徽利用如图①所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，如图②，其中四边形ABCD, 四边形EFGD和四边形EAIH都是正方形，连结1G.若an∠IGD=,则正方形ABCD与正方形EAH的 面积比为 未出 E 未方 A 青入 朱入 青方 青出 B G C ① ② 25.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=74°，D为BC的中点，将线段DA绕点D逆时针旋转74°得到 线段DE,连接AE. A D (I)求∠BAE的度数； (2)若ABC的面积为25，求ADE的面积.参考数据：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan379=0.75. 26.如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O,分别过点C、D作CE∥BD,DE∥AC,CE和DE交 于点E. 9/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E (I)求证：四边形ODEC是矩形： (2)连接AE,交CD于点F,若tan ZAEC=6,CD=I0,求CE的长度及aDEF的面积. 题型5动态问题 27.如图，在ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=5,P是线段BC外一动点.BP=3,连接CP,将线段CP绕 点P逆时针旋转90°得到线段DP,连接BD,CD,AD,则BD长度的最大值为一· D B 28.创新考法结合新定义考查多解题定义：若三角形一边上的高与这边的边长相等，则称此三角形为“完美 三角形”.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,点P是BC边上一动点，若△PAB是“完 美三角形”，则BP的长为 P 29.如图，两个大小不同的三角尺放在同一平面内，直角顶点重合于点C,点E是AB上一动点（不与点A, B重合)，∠B=∠DEC=60°，AC与DE交于点F. 10/12品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 培优03锐角三角函数与相似三角形 划重点·冲高分 题型1作垂线构造直角三角形 题型2求边长 锐角三角函数 题型3求对应边的比例 与相似三角形 题型4有关面积的计算 题型5动点问题 题型1作垂线构造直角三角形 1如图.在48C中，点D是8C的市点，D414C,m∠B4D}A8=2而，则BC的长度为 【答案】213 【详解】解：如图，作DE⊥AD交AB于E, A N D .∠ADE=90°， :DA⊥AC, ∴DE∥AC, △BDE∽△BCA, BD BE BC BA :点D是BC的中点， :BD=BC, 1/41 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :BE=IAB, 2 点E是AB的中点， :DE为ABC的中位线， :DE=TAC,AE=BE=1AB=10, 2 2 在RtADE中，tan∠EAD=DE-L, AD3' 设DE=x,则AD=3x, AD2+DE2=AE2, (3x2+x2=(10,解得x=1, DE=1,AD=3, AC=2, “CD=VAC2+AD2=V22+32=V3, .BC 2CD=213, 故答案为：2√13. 2.如图，在RaA8C中，∠B4C=90,点F在边8C上且sm∠FAC-E为AC上一点，且4E:8C=2 ,EF⊥AF,求tan∠CFE. B 【答案】22 3 【详解】解：过点C作CH⊥AF交AF的延长线于H,如图： B F EF上AE,sin∠FAC=? E 在RtAEF中，sin∠FAC=EF=!」 AF=3 设EF=k,AE=3k, 2/41 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理得：AF=√AE2-EF2=2√2k, :EF⊥AF,CH⊥EF, .EFCH, AF:FH=AE:EC=2:I,∠CFE=∠HCF, 2V2k:FH=2:1, :FH=2k, .AH=AF+FH=32k, EFCH, △AEF∽△ACH, :AF:AH =EF CH, .2V2k:3√2k=k:CH, CH=1.5k, 在RtCFH中，tan∠HCF-F-2k_22 CH 1.5k 3 ∴.tan∠CFE=tan∠HCF= 2√2 3 【点晴】此题主要考查了锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握 正切函数的定义，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理是解决问题的关键 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,BC=I0,AD⊥BC于点D,BF平分∠ABC交AC于点 F,交AD于点E,则线段AE的长为一· 【答案】3 【分析】 【详解】解：如图，过点F作FM⊥BC交BC于点M, :在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,BC=10, B ·AC=VBC2-AB2=V102-62=8, 3/41 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB 3 :cOS∠ABD BC=5'sin∠ABD BC-5,tanc=4B_3 AC 4 AC 4' :AD⊥BC, 则在Rt△ADB中，∠ADB=90°， ·c0 SZABD= BD AB sin∠ABD=AD AB 即BP=3AD4 65’65' S万=2，AD=24 :BF平分∠ABC, :FM FA, 在Rt△BMF和Rt△BAF中， 「FM=FA BF=BE :Rt△BMF≌RtABAF(HL), .BM AB=6, :MC=BC-BM=10-6=4, 在Rt△FMC中，∠FMC=90°， 期c是子-} 44 ·FM=3, :AD⊥BC,FM⊥BC, ·AD∥FM, ·△BDE∽ABMF, 18 ED BD FM BM ,即ED 36 :ED=5' 9 :AE=AD-ED= 49 553. 故答案为：3. 4.如图，在ABC中，∠ACB-90,an∠ABC=),点D在ABC外，且∠ABC=∠BDC,AE上DC交 DC延长线于点E,BD=V5,CD=14.5,则AE的长为() 4/41 厨学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B A.5 B.4v5 C.35 D. 25 【答案】D 【详解】解：如图，过点B作BF⊥DC于点F, E。C D B :∠ABC=LBDC, tan∠BDF=tan∠ABC=)了 BF 1 :.DF =tan∠BDF= 2 .DF =2BF, :BF2+DF2=5BF2=BD2=5,BD=5, BF=1(负值舍去)， DF=2,CF=CD-DF=14.5-2=12.5, :∠ACB=90°， LACE+LBCF=90°， AE⊥DC, .∠AEC=90°， .LACE+∠CAE=90°， .ZCAE ZBCF △AEC∽△CFB, AE_AC CF CB =tan∠ABC= 21 4A-C 25 4 故选：D 5/41 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 5.如图，在4BC中，∠ACB=90°，4B=10,sinB=号，点D在4B边上，4D=4,连接CD. D (I)求CD的长； (2)求sim∠DCB. 【答案】（①）2145 29v145 145 【分析】 【详解】(I)解：如图，过点D作DE⊥BC交BC于点E, ：∠4CB=90,AB=10,sinB 5 E B :4C=ABsin B=10x亏=6， 3 BC=AB2-AC2=8, :AD=4, :BD AB-AD=6, :DE⊥BC,∠ACB=90°， ·DE∥AC, ·△BDE∽△BAC, DE BE BD ,即DE-6，BE6 AC BC BA 6=10’8=101 ·DE=18 ，BE= 24 16 则CE=BC-BE= 5 在Rt DCE中，CD=VCE2+DE2 9图- 6/41 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则CD的长为2145 5 5'CD=2145 (2)解：由(1)知，DE=18 5 在Rt DCE中，sin∠DCB=DE_914s CD145 6.如图，在ABC中，AD是ABC的角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE=∠B. D (1)求证：AD2=AB·AE Q若4B=9,AE=4,ca∠B4D-子求40的长度及△ABD的面积 【答案】(1)见解析； (2)AD=6,SA4BD=9V5. 【分析】 【详解】(1)证明：：AD是ABC的角平分线， .∠EAD=∠DAB, 又：∠ADE=∠B, △ADE∽△ABD, AEAD AD AB ,即AD2=AB·AE; (2)解：作DF⊥AB于点F,如图： D AD2=AB.AE,AB=9,AE=4, .AD=6, 在Rt4ADF中，AF=ADc0s∠BAD=6X3=4, DF=VAD2-AF2=V62-42=2V5, 5.m54BDr=×9x25=5. 7/41 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 一一。一一。一一一一 题型2求边长 7.如图，在△ABF中，∠F=90°，点C是斜边AB上的一点，AC=10,DC∥BF,BF:AF=3:4, ∠E=55°，AE=2,则CD的长约为()（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43） D EA A.7.6 B.7.9 C.8.3 D.8.6 【答案】C 【详解】解：如图，设直线DC交AF于点M. B EA :DC∥BF, ∠CMA=∠F=90°，△AMC∽△AFB, CM BF 3 AM AF4 设CM=3xx>0),则AM=4x, 在Rt△AMC中，根据勾股定理得(3x)+(4x=10, x=2, CM=6,则AM=8, EM=AE+AM=2+8=10, 在Rt△EDM中，：tanE=DM EM DM=EM.tan55°≈10×1.43=14.3， 8/41 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DC=DM-CM=14.3-6=8.3. 故选：C. 8.如图， 4BC中，D为4B上一点，BD=4,4D=DC=8,m∠BCA=5,则4C的长是() 2 A.8 B.125 c.155 D.85 2 【答案】D 【分析】 【详解】解：过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF⊥AC于点F,如图： ∴.DE‖BF E :∠AED=LAFB=90°，∠A=∠A ∴△AED∽△AFB AE AD AF AB :AD=DC=8,DE⊥AC ·AE=EC 设FC=x,AE=EC=y,则EF=EC-FC=y-x 2y-x3 在Rt△BFC中， :sin∠BCA= 2 .∠BCA=609 :.BF =3x .DE BF ∴.△ADE∽△ABF 9/41 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :40-D,即2 8 DE AB BF .DE 2v5 x 在RtAADE中，由勾股定理得 AE+DE=AD y2+ 3x =82 联立少 2 2y-x 解得：x=2√5，y4V3 :AC=2y=2×45=85. 故选：D 9.如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角，如图，在Rt△ABC中， LABC=90°，∠A是黄金角，点D在边AC上，且点D是AC的黄金分割点(AD>CD),联结BD.如果 AB=8,那么BD的长是 D A B 【答案】45-4 【分析】 【详解】解：：点D是AC的黄金分割点， :CD-AD-5-1 AD AC2 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A是黄金角， ÷sin/A=BC-5-1 AC 2 :AD、BC AC AC .AD =BC. 10/41