第八章 立体几何初步全章综合测试卷（寒假预科讲义）-2025年高一数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步全章综合测试卷 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高一下·浙江·期中）下列四个命题中正确的是（    ） A．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 2．（5分）（23-24高一下·河北唐山·期中）已知一个圆锥的底面半径与母线长之比为，其高为，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（23-24高一下·广东汕头·阶段练习）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（5分）（23-24高一下·贵州六盘水·期中）用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（    ） A． B． C．10 D．12 5．（5分）（24-25高一·全国·假期作业）一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（23-24高一下·四川成都·期末）如图所示，在三棱锥中，平面，且是边长为的正三角形，若，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（23-24高一下·黑龙江·期末）如图所示，三棱锥中，平面平面，则（    ）    A．平面 B．∥平面 C．与平面相交但不垂直 D．平面平面 8．（5分）（23-24高二下·广西南宁·期末）如图，在三棱台中，平面 ，则与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（    ） A．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 B．绕直角三角形任一边旋转所得几何体为圆锥 C．用任何一个平面截球面，得到的截面都是圆 D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 10．（6分）（23-24高一下·河南郑州·期中）已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（   ） A．圆台的母线长为 B．圆台的体积为 C．圆台的表面积为 D．球的表面积为 11．（6分）（23-24高一下·江苏常州·期末）已知四面体的各个面都是全等的三角形，且，则下列选项正确的是（    ） A．直线所成角为 B．二面角的余弦值为 C．四面体的体积为 D．四面体外接球的直径为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为 ． 13．（5分）（23-24高一下·吉林延边·阶段练习）已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点.则蚂蚁爬行的最短路程长为 cm. 14．（5分）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，且，则直线与所成角的大小为 ．    四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课堂例题）请描述如图所示的几何体是如何形成的． 16．（15分）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 17．（15分）（23-24高一下·北京大兴·期中）如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点． (1)若四面体各棱长均为，求该四面体的表面积和体积； (2)若，，，求四面体外接球的表面积． 18．（17分）（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 19．（17分）（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）如图，在多面体中，平面 是边长为2的等边三角形．    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 立体几何初步全章综合测试卷 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高一下·浙江·期中）下列四个命题中正确的是（    ） A．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【解题思路】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义分析CD，综合可得答案． 【解答过程】根据题意，依次分析选项： 对于A，如图： 在三棱锥中，有，， 该每个面都是等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥，A错误； 对于B，底面为菱形的直四棱柱，其侧棱与底面边长相等， 该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，B错误； 对于C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，C正确； 对于D，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，D错误． 故选：C． 2．（5分）（23-24高一下·河北唐山·期中）已知一个圆锥的底面半径与母线长之比为，其高为，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件求得底面半径，再代入表面积公式求解即可． 【解答过程】设底面半径为，则母线， 可得高， 解得，， 故圆锥的表面积． 故选：C． 3．（5分）（23-24高一下·广东汕头·阶段练习）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】对于A，若，可能平行或者异面，故A错误， 对于B，若，则，故B正确， 对于C，若，则或，故C错误， 对于D，若， 一个平面内的一条直线要垂直于另一个平面内的两条相交直线， 才可以得到线面垂直，进而得到两个平面垂直，故D错误. 故选：B. 4．（5分）（23-24高一下·贵州六盘水·期中）用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（    ） A． B． C．10 D．12 【解题思路】由直观图画出原图的图像，分析求解边长，最后求解原的周长即可. 【解答过程】由直观图画出原图的图像，如图所示： ，， 所以， 所以原的周长为：. 故选：D. 5．（5分）（24-25高一·全国·假期作业）一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意可知，该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可判断出选项B正确． 【解答过程】如图所示： 因为三棱锥的各棱长均相等，所以该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心， 即可知过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是． 故选：B． 6．（5分）（23-24高一下·四川成都·期末）如图所示，在三棱锥中，平面，且是边长为的正三角形，若，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用等体积法求解，由题意求出，从而可求出，然后利用可求得答案. 【解答过程】设点到平面的距离为， 因为平面，平面， 所以， 因为是边长为的正三角形，， 所以，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，解得. 故选：B. 7．（5分）（23-24高一下·黑龙江·期末）如图所示，三棱锥中，平面平面，则（    ）    A．平面 B．∥平面 C．与平面相交但不垂直 D．平面平面 【解题思路】对于AB：根据线面位置关系分析判断；对于CD：根据面面垂直的性质定理和判定定理分析判断. 【解答过程】对于选项AB：因为平面，平面， 所以平面，故AB错误； 对于选项CD：因为，则， 且平面平面，平面平面，平面， 可知平面， 且平面，所以平面平面，故C错误，D正确； 故选：D. 8．（5分）（23-24高二下·广西南宁·期末）如图，在三棱台中，平面 ，则与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】将棱台补全为棱锥，利用等体积法求到面的距离，结合线面角的定义求与平面所成角的余弦值. 【解答过程】将棱台补全为如下棱锥，    由，易知：， 由平面平面，则， 所以，故，所以， 若点到面的距离为，又， 则，可得， 综上，与平面所成角，则，即， 则， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（    ） A．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 B．绕直角三角形任一边旋转所得几何体为圆锥 C．用任何一个平面截球面，得到的截面都是圆 D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 【解题思路】A. 利用圆台的概念判断；B.绕直角三角形的斜边旋转时判断；C.用球的截面性质判断；D.利用棱柱的概念判断. 【解答过程】A. 圆锥截去一个小圆锥，说明截面与底面平行，所以剩余部分是圆台，故正确； B.绕直角三角形的斜边旋转所得几何体为两个同底的圆锥，故错误； C.用任何一个平面截球面，得到的截面都是圆，故正确； D.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体也可能是组合体，故错误； 故选：AC. 10．（6分）（23-24高一下·河南郑州·期中）已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（   ） A．圆台的母线长为 B．圆台的体积为 C．圆台的表面积为 D．球的表面积为 【解题思路】画出圆台的轴截面，则轴截面是等腰梯形，内切圆是过球心的大圆，结合题意，分别求出圆台的母线长和内切球的半径，即可得出结论． 【解答过程】画出圆台的轴截面，如图所示： 则四边形是等腰梯形，且，，内切圆圆心即球心； 所以圆台的母线长为，选项A正确； 连接、和，则是直角三角形，且， 所以球的半径为， 所以圆台的体积为，故选项B错误； 圆台的表面积为，故选项C正确； 球的表面积为，故选项D正确． 故选：ACD． 11．（6分）（23-24高一下·江苏常州·期末）已知四面体的各个面都是全等的三角形，且，则下列选项正确的是（    ） A．直线所成角为 B．二面角的余弦值为 C．四面体的体积为 D．四面体外接球的直径为 【解题思路】对于A：由线面垂直即可判断；对于B：由线面垂直结合余弦定理即可求解；对于C：由同角的三角函数，棱锥的体积公式，三角形的面积公式即可求解；对于D：补入长方体中，求出长方体外接球半径即可求解． 【解答过程】对于A：取的中点，连接，，由题意四面体的各个面都是全等的三角形， ，， 可得，，又，，平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以，所成角为，故A正确； 对于B：取的中点，连接，，则，， 所以为二面角的平面角， 在中，，， 由余弦定理可得，故B正确； 对于C：由B可得， 由，故C不正确； 对于D：将四面体放入长方体中，如图可得长方体与四棱锥共球，所以外接球半径一样， 设外接球半径为，所以，故D正确． 故选：ABD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为 ． 【解题思路】将直观图复原为原图，求出相关线段的长，即可求得答案. 【解答过程】由题意知在直观图等腰梯形，，， 则； 将直观图复原为原图，如图示： 则， 作于，则， 故四边形的周长为． 故答案为：. 13．（5分）（23-24高一下·吉林延边·阶段练习）已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点.则蚂蚁爬行的最短路程长为 cm. 【解题思路】要求蚂蚁爬行的最短路程，需将圆锥的侧面展开，找到最短路径，利用三角形进行求解.. 【解答过程】 解： 由已知得：圆锥的底面半径为cm， 则底面圆的周长，即圆锥侧展开图扇形的弧长为：cm， 又圆锥的母线长，即圆锥侧面展开图扇形的半径为：5cm， 则侧面展开图圆心角，最短距离即为的长， 由余弦定理得：， 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，且，则直线与所成角的大小为 ．    【解题思路】延长交底面圆于点，分析可知即为异面直线与所成的角（或其补角），进而可得结果. 【解答过程】如图，延长交底面圆于点，连接，，    由，均为圆的直径知，且， 所以即为异面直线与所成的角（或其补角）． 在中，， 在中，， 所以，所以为正三角形， 所以，即直线与所成的角为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课堂例题）请描述如图所示的几何体是如何形成的． 【解题思路】根据组合体特征确定是由基本空间几何体拼接，还是挖去得到的几何体. 【解答过程】图（1）是由两个圆台拼接而成的组合体； 图（2）是由圆台挖去一个圆锥后得到的几何体； 图（3）是由一个圆柱挖去一个三棱柱后得到的几何体． 16．（15分）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【解题思路】（1）利用斜二测画法画出直观图即可； （2）作，为垂足，求出即可求解． 【解答过程】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的，轴，使， 在轴上取点，，使，， 在轴上取点，使， 连接，，则即为的直观图，如图②． （2）在图②中，作，为垂足， ，， ， ． 17．（15分）（23-24高一下·北京大兴·期中）如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点． (1)若四面体各棱长均为，求该四面体的表面积和体积； (2)若，，，求四面体外接球的表面积． 【解题思路】（1）依题意可得为棱长为的正方体，且四面体为正四面体，即可求出其表面积，利用割补法求出其体积； （2）依题意长方体的外接球即为此四面体的外接球，求出长方体的体对角线即为外接球的直径，从而得到外接球的表面积． 【解答过程】（1）若四面体各棱长均为， 则长方体为棱长为的正方体，且四面体为正四面体， 所以， ； （2）由于四面体的四个顶点均为长方体的顶点， 所以四面体外接球与长方体的外接球是同一个球， 设此四面体所在长方体的棱长分别为，，， 则，解得， 设长方体外接球的半径为，则，则， 所以外接球的表面积为． 18．（17分）（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 【解题思路】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得证. 【解答过程】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）连接，交于，连接    因为四边形是平行四边形， 所以是的中点，又因为M是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以，平面 又因为平面，平面平面， 所以， 19．（17分）（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）如图，在多面体中，平面 是边长为2的等边三角形．    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【解题思路】（1）取的中点，连接，，推导出面，为平行四边形，由此能证明面，即可得面面垂直 （2）连接，过在面内作的垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角，由此能求出二面角的平面角的余弦值． 【解答过程】（1）取的中点，的中点，连接，， 由于平面平面,故， ，，，平面， 平面， 又，,故， 四边形为平行四边形， ，平面，平面，故平面平面 （2）连接，过在平面内作的垂线，垂足为 连接．平面，平面,， 又，，平面， 平面，平面，故, 又，平面， 平面，平面，故, 为二面角的平面角， ， ， ,故 在直角中，,故 ． 二面角的平面角的余弦值为.    第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$