第八章 立体几何初步重难点检测卷 -（寒假衔接课堂）2025年高一数学寒假衔接讲义（人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）在底面边长为1的正四棱柱中，侧棱长等于2，则（    ） A．在正四棱柱的棱上到异面直线和距离相等的点有且只有一个 B．在正四棱柱的棱上到异面直线和距离相等的点有且只有两个 C．在正四棱柱的棱上到异面直线和距离相等的点有且只有三个 D．在正四棱柱的棱上到异面直线和距离相等的点有且只有四个 【答案】D 【分析】分类逐个讨论，计算距离及其变化趋势，进而判断即可 【详解】 如图，为、的公垂线，故公垂线的中点到异面直线和距离相等的点， 明显地，点到异面直线和距离也相等； 设为棱上某点到的距离，为该点到的距离， 在，，，上，有，，无交集，排除； 在上，，即，有交集，故有一个交点， 在上，，，有交集，存在一点，与的交点， 故有4个点，有且只有4个点满足. 故答案选：D. 【点睛】关键点睛：设为棱上某点到的距离，为该点到的距离，对棱柱内每条棱进行判断即可，属于中档题 2．（2023·辽宁·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，利用平面上两点间的线段距离最短，通过解三角形求解即可． 【详解】如图．沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如下图所示： 则即为的周长的最小值，又因为， 所以，在中，，由勾股定理得： ． 故选：C． 3．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直观图与原图的关系，可确定直观图（三角形）的底和高，从而求得直观图的面积，得出答案. 【详解】 如图所示，正三角形的边长为，则高为， 根据斜二测画法的知识，则直观图中三角形的高为，底边长为， 所以直观图的面积为. 故选：C. 4．（24-25高三上·天津·阶段练习）若圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积时，圆锥轴截面顶角的度数为（    ） A．90° B．60° C．150° D．120° 【答案】D 【分析】设圆锥底面半径为，母线长，则圆锥的高为，可得，进而求线与底面所成的角，即得结果. 【详解】 如上图为圆锥的轴截面图形，设圆锥底面半径为，母线长，则圆锥的高为， 由圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积，可得，，解得， 由图可知圆锥底面与母线所成角为即，， 所以圆锥轴截面顶角的度数为 故选：D 5．（2021·内蒙古乌兰察布·一模）四棱锥P﹣ABCD中，AB=CD，，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则=（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】延长CB，DA交于E，连接EM与PB交点为Q，根据三角形的中位线的性质和已知条件可得出点Q为的重心，由此可得选项. 【详解】延长CB，DA交于E，连接EM与PB交点为Q，因为，所以， 又B为SC中点，又M为PC的中点，所以点Q为的重心，所以， 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与平面的位置关系，关键在于得出点Q为的重心，由此得以解决问题. 6．（23-24高三下·河南·阶段练习）过三棱柱任意两个顶点的直线中，其中异面直线有（    ）对 A．15 B．24 C．36 D．54 【答案】C 【分析】依据异面直线定义结合三棱柱的特征性质即可求得异面直线的对数. 【详解】三棱柱中，与异面的直线有， 与异面的直线有, 与异面的直线有, 与异面的直线有, 与异面的直线有, 与异面的直线有, 与异面的直线有,与异面的直线有, 与异面的直线有,与异面的直线有, 与异面的直线有,与异面的直线有, 所以异面直线有对， 故选： C. 7．（2024高三·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（   ） ① 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ② 如果两条相交直线与另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等； ③ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④ 如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】略 8．（24-25高二上·北京·期中）如图1，在矩形中，，点在AB边上，且.如图2，将沿直线DE向上折起至位置，连结.记二面角的大小为，当时，下面四个结论中错误的是（   ） A．存在某个位置，使 B．存在某个位置，使平面平面 C．存在某个位置，直线与平面所成角为 D．存在某个位置，使平面与平面的交线与平面DEC平行 【答案】D 【分析】根据面面垂直与线面垂直的性质与判定，结合线面角的定义，逐项检验，可得答案. 【详解】对于A，当时，平面平面，因为平面平面， ，平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B，当时，由A可知平面， 因为平面，所以平面平面，故B正确； 对于C，当时，由A可知平面，在矩形中，， 已知直线与平面所成角等于， 在中，，，则，可得， 易知，故C正确； 对于D，设平面平面，假设平面， 因为平面平面，平面平面， 所以，，由图可知与不平行，则此与假设矛盾，故D错误. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（2024高一下·全国·专题练习）（多选）下列说法不正确的是（　　） A．棱台的两个底面相似 B．棱台的侧棱长都相等 C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【答案】BCD 【分析】根据题意，由棱台、棱锥、棱柱的定义，依次分析选项，即可得到答案. 【详解】由棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，知A正确，B，C不正确；棱柱的侧棱都相等且互相平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确. 故选：BCD 10．（21-22高一下·河南·阶段练习）在等腰梯形ABCD中，，，，以CD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（    ）． A．等腰梯形ABCD的高为1 B．该几何体为圆柱 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 【答案】AC 【分析】根据该几何体的结构特征为一个圆柱挖去上下两个圆锥逐项求解判断. 【详解】因为在等腰梯形ABCD中，，，， 所以等腰梯形ABCD的高为1， 该几何体的结构特征为一个圆柱挖去上下两个圆锥，A正确，B错误． 该几何体的表面积， 体积，C正确，D错误． 故选：AC 11．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的是（ ） A．直线与直线垂直； B．直线与直线相交； C．直线与直线平行； D．直线与直线异面； 【答案】AD 【分析】画出正方体，，，故，A 正确；根据相交推出矛盾得到B错误；根据，与相交得到C错误；排除共面的情况得到D正确，得到答案. 【详解】 如图所示的正方体中，，，故，故A 正确； 若直线与直线相交，则四点共面，即在平面内，不成立，故B错误； ，与相交，故直线与直线不平行，故C错误； ，与不平行，故与不平行， 若与相交，则四点共面，在平面内，不成立， 故直线与直线异面，故D 正确. 故选：AD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（23-24高一下·河南郑州·期末）降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：）.气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表： 日降雨量 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若该圆台的上､下底面积之比为，母线长为，且侧面积等于上､下底面积之和，若在某日的一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，水深恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为 . 【答案】小雨 【分析】根据题意，由圆台的侧面积公式可求出圆台高，再计算其体积，即可得到结果. 【详解】设上口半径为，下口半径为，桶深为，水面半径为， 根据题意，且， 解得，则， 降水量的体积， 降水深度为，属于小雨等级. 故答案为：小雨． 13．（22-23高一下·云南昆明·期末）如图，正方体中，，，分别是棱，，的中点.下列四个结论：①；②平面；③平面平面；④.其中正确结论的编号是 . 【答案】①②④ 【解析】对于①，根据，，可得； 对于②，延长交的延长线于，连，通过证明可证平面； 对于③，平面与平面所成二面角不是直角可知平面与平面不垂直； 对于④，可证平面，从而可得. 【详解】 对于①，在正方体中，，，所以，故①正确； 对于②，延长交的延长线于，连，则， 所以，又平面，平面，所以平面，故②正确； 对于③，平面与平面不垂直；故③不正确； 对于④，在正方体中，因为，，所以， 因为，，所以，因为， 所以平面，又平面，所以，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了直线与直线的平行关系，考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与平面垂直的判定与性质，考查了平面与平面垂直，属于中档题. 14．（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，点P在平面内，则三棱锥的体积为 . 【答案】 【分析】易证面面，得到点到面的距离相等，然后由求解. 【详解】解：如图所示： ∵，面，面， ∴面， ∵，面，面， ∴面， 又∵，面， ∴面面， 点在平面内，则点到面的距离相等， 所以三棱锥的体积为：， ， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（22-23高一下·全国·课后作业）如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为的正三角形，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．（结果不取近似值） 【答案】． 【分析】结合圆锥的侧面展开图，根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得到，利用勾股定理，即可求解. 【详解】如图所示，根据题意可得为边长为的正三角形， 所以，所以圆锥底面周长， 根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，可得， 故，则，所以， 所以小猫所经过的最短路程是． 16．（2024高一下·全国·专题练习）（1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形； （2）在（1）中若轴且,求原平面图形的面积． 【答案】（1）答案见解析；（2）3 【分析】（1）根据斜二测画法的规则进行作图即可； （2）根据斜二测画法的规则：平行轴的线段长度不变，平行轴的线段长度减半，由此可求出原的面积. 【详解】（1）画法：①画直角坐标系，在x轴上取，即； ②在题图中，过作轴，交轴于，在x轴上取，过D作 轴，并使； ③连接，则即为原来的图形，如图． （2）∵，∴. 又且， ∴,, ∴. 17．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）是边长为6的正方形. (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知半球的半径，圆柱的底面圆半径，高.结合球的表面积公式与圆的面积公式，矩形的面积公式可求该几何体的表面积. （2）利用球的体积公式与圆柱的体积公式可求几何体的体积. 【详解】（1）由题意可知半球的半径，圆柱的底面圆半径，高. 由球的表面积公式可得半球的曲面面积， 由圆的面积公式可得圆柱底面圆的面积， 由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积， 故该几何体的表面积. （2）由球的体积公式可得半球的体积. 由圆柱的体积公式可得圆柱的体积. 故该几何体的体积. 18．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得证. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）连接，交于，连接    因为四边形是平行四边形， 所以是的中点，又因为M是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以，平面 又因为平面，平面平面， 所以， 19．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，已知平面平面，，垂足为A，，垂足为B，直线，，试判断直线a与直线l的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】利用线面垂直的判定定理证明平面EAB，平面EAB，从而得证. 【详解】直线a与直线l的位置关系：． 理由：∵平面平面，∴． 又∵，∴． 同理．又，平面EAB，平面EAB ∴平面EAB． ∵，，∴． 又，，，平面EAB，平面EAB ∴平面EAB，∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 立体几何初步重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）在底面边长为1的正四棱柱中，侧棱长等于2，则（    ） A．在正四棱柱的棱上到异面直线和距离相等的点有且只有一个 B．在正四棱柱的棱上到异面直线和距离相等的点有且只有两个 C．在正四棱柱的棱上到异面直线和距离相等的点有且只有三个 D．在正四棱柱的棱上到异面直线和距离相等的点有且只有四个 2．（2023·辽宁·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·天津·阶段练习）若圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积时，圆锥轴截面顶角的度数为（    ） A．90° B．60° C．150° D．120° 5．（2021·内蒙古乌兰察布·一模）四棱锥P﹣ABCD中，AB=CD，，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则=（    ） A．1 B． C．2 D． 6．（23-24高三下·河南·阶段练习）过三棱柱任意两个顶点的直线中，其中异面直线有（    ）对 A．15 B．24 C．36 D．54 7．（2024高三·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（   ） ① 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ② 如果两条相交直线与另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等； ③ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④ 如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高二上·北京·期中）如图1，在矩形中，，点在AB边上，且.如图2，将沿直线DE向上折起至位置，连结.记二面角的大小为，当时，下面四个结论中错误的是（   ） A．存在某个位置，使 B．存在某个位置，使平面平面 C．存在某个位置，直线与平面所成角为 D．存在某个位置，使平面与平面的交线与平面DEC平行 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（2024高一下·全国·专题练习）（多选）下列说法不正确的是（　　） A．棱台的两个底面相似 B．棱台的侧棱长都相等 C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 10．（21-22高一下·河南·阶段练习）在等腰梯形ABCD中，，，，以CD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（    ）． A．等腰梯形ABCD的高为1 B．该几何体为圆柱 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 11．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的是（ ） A．直线与直线垂直； B．直线与直线相交； C．直线与直线平行； D．直线与直线异面； 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（23-24高一下·河南郑州·期末）降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：）.气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表： 日降雨量 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若该圆台的上､下底面积之比为，母线长为，且侧面积等于上､下底面积之和，若在某日的一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，水深恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为 . 13．（22-23高一下·云南昆明·期末）如图，正方体中，，，分别是棱，，的中点.下列四个结论：①；②平面；③平面平面；④.其中正确结论的编号是 . 14．（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，点P在平面内，则三棱锥的体积为 . 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（22-23高一下·全国·课后作业）如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为的正三角形，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．（结果不取近似值） 16．（2024高一下·全国·专题练习）（1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形； （2）在（1）中若轴且,求原平面图形的面积． 17．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）是边长为6的正方形. (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积. 18．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 19．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，已知平面平面，，垂足为A，，垂足为B，直线，，试判断直线a与直线l的位置关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$