单元培优讲义：专题08 数学广角——找次品（考点梳理 例题讲解 考点练习）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

2025-2026学年五年级下册数学人教版单元培优讲义 专题08 数学广角——找次品 考点梳理 1 考点一、基本概念 1 考点二、找次品的基本方法 1 考点三、找次品的最优策略 2 考点四、数学思想方法 2 例题讲解 2 题型一、分组称重法 2 题型二、最少称重次数的规律 3 考点练习 3 练习一、分组称重法 3 练习二、最少称重次数的规律 5 考点梳理 考点一、基本概念 1.次品的定义：在若干外观相同的物品中，存在一个质量不符合标准的物品（通常为“较轻”或“较重”，本单元默认次品较轻，特殊情况需额外说明），该物品即为“次品”。 2.天平的作用：作为找次品的核心工具，天平通过比较两边物体的质量关系（平衡或不平衡），判断次品所在的范围。当天平平衡时，两边物体质量相等；不平衡时，较轻（或较重）的一侧含有次品。 考点二、找次品的基本方法 1. 逐个称重法 (1)操作：将物品逐个放在天平两端称重，通过对比找出次品。 (2)特点：适用于物品数量较少的情况，但效率低，次数较多，不推荐作为常规方法。 2. 分组称重法（核心方法） (1)操作：将物品分成若干组，通过天平称重判断次品所在的组，再逐步缩小范围，直至找到次品。 (2)优势：相比逐个称重法，能显著减少称重次数，是找次品的主要方法。分组时需结合“最优策略”确定分组方式。 考点三、找次品的最优策略 1. 核心原则：尽量“平均分”成3组 (1)原因：天平称重有三种可能结果（左轻、右轻、平衡），对应次品在左组、右组或未称的组，分成3组能充分利用天平的三种状态，每次称重可排除最多数量的正品，最快缩小次品范围。 (2)具体操作： ①　若物品总数能平均分成3组（如9个、12个），则平均分成3组（如9个分成3、3、3；12个分成4、4、4）； ②　若总数不能平均分成3组（如10个、11个），则分成“相差1”的3组（如10个分成3、3、4；11个分成4、4、3），确保每组数量尽可能接近。 2. 最少称重次数的规律 (1)关系：用天平找次品时，“最少次数n”与“最多可检测物品数量”存在规律：n次最多能从3ⁿ个物品中找出1个次品（默认次品较轻）。 例如：1次最多检测3¹=3个物品；2次最多检测3²=9个物品；3次最多检测3³=27个物品；n次最多检测3ⁿ个物品。 (2)推导逻辑：每次称重将物品分成3组，n次称重可对应3ⁿ种状态组合，故最多能区分3ⁿ个物品中的次品。 考点四、数学思想方法 1.优化思想：通过对比不同分组方式（如分成2组vs分成3组），选择“最少称重次数”的策略，体现“从多种方案中寻找最优解”的优化思想。 2.逻辑推理：称重过程中，根据天平状态（平衡/不平衡）逐步排除正品，推理次品所在范围，培养“假设-验证-结论”的逻辑思维。 3.转化思想：将“找多个物品中的次品”转化为“找较少物品中的次品”，通过缩小范围降低问题复杂度（如将9个物品的问题转化为3个物品的问题）。 4.数形结合：通过画流程图（如“分组→称重→判断次品组→再分组”）或列表整理称重次数与物品数量的关系，直观辅助分析，体现“以形助数”的思想。 例题讲解 题型一、分组称重法 【例题1】（24-25五年级下·西藏拉萨·期末）科学实验课上，老师带来6个外观完全相同的小球，其中一个质量稍轻（次品）。同学们用天平称，要保证2次能找出次品小球，比较合适的分法是（    ）。 A．分成3份，（2，2，2） B．分成3份，（1，2，3） C．分成3份，（1，1，4） D．分成4份，（1，1，2，2） 【练习1】（23-24五年级下·新疆乌鲁木齐·期末）有5个零件，其中只有一个是次品，重量稍重。根据如图所示可以推断（    ）号零件一定是正品。 A．①② B．②③④ C．①⑤ D．③④⑤ 题型二、最少称重次数的规律 【例题2】（24-25五年级下·湖南怀化·期末）有20个外观一样的零件，其中一个轻一些，用天平至少称( )次才能保证找到这个次品。 【练习2】（24-25五年级下·广西柳州·期末）有5个零件，其中1个是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。 （圈出正确答案） 至少要称（    ）次。 考点练习 练习一、分组称重法 1．（24-25五年级下·浙江宁波·期末）有5个零件，其中一个是次品，次品轻一些。编号后用天平来找次品，结果如图。根据称的情况，可以推断出（    ）一定是正品。 A．③ B．④ C．①②⑤ D．无法确定 2．（24-25五年级下·湖北随州·期末）有4个外观相同的零件，其中一个略轻。用一架没有珐码的天平称了两次找出了这个次品，表示称的过程与结果的选项是（    ）。 A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 3．（23-24五年级下·广东广州·期末）有8颗外观一样的铁珠，其中有7颗一样重，另外有1颗比其他7颗稍轻些，如果用一架天平称2次就能保证找出这颗稍轻的铁珠，最合适的方法是先把这些铁珠分成（    ），然后再称。 A． B． C． D． 4．（24-25五年级下·天津南开·期末）有6盒钙片，其中一盒稍轻，用天平称要想2次保证找到次品，第一次称时有三个方案：①按（3，3）分成两份，②按（2，2，2）分成三份，③按（1，1，4）分成三份。三种方案可行的是（    ）。 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（24-25五年级下·重庆九龙坡·期末）25个乒乓球中混有1个质量较重的次品，东东用天平称，第一次称量结果如下图。他接着用天平称，如果用最少的次数保证找到这个次品，第二次称量分组方法正确的是（    ）。 A． B． C． D． 6．（24-25五年级下·重庆长寿·期末）如果8个乒乓球中有一个是次品（质量轻一些），下面是聪聪用天平找次品的过程，可以知道③号乒乓球是次品。( ) 7．（2026五年级下·全国·专题练习）有6个零件，其中有1个是次品（偏轻一些）。小红设计了如图找次品的过程：把6个物品分别标记为1、2、3、4、5、6，然后用天平称3次，可以保证找到次品。请你根据小红设计的过程，在天平两端空白的方框里和旁边的括号里填上适当的数字。 8．（24-25五年级下·河南郑州·期末）围棋是我国发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动。某棋社有6盒围棋，其中1盒少了几枚棋子。下面是笑笑找这盒围棋的过程，请帮她补充完整：在括号里填数字。 一共称（    ）次，可以保证找到这盒围棋。 练习二、最少称重次数的规律 1．（24-25五年级下·贵州黔南·期末）有9箱橙子，其中8箱质量相同，另一箱质量轻一些，用天平至少称( )次能保证找出这箱轻的橙子。 2．（24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有19颗外形一样的珠子，其中18颗质量相同，另有1颗重一些。假如用天平称，至少称( )次能保证找出这颗珠子。 3．（24-25五年级下·贵州遵义·期末）有27袋形状和外观相同的食盐，其中有一袋稍轻一些，如果用无砝码的天平来寻找这袋食盐，至少( )次就能保证找出这袋食盐。 4．（24-25五年级下·湖南衡阳·期末）“鉴宝”节目中，一位收藏者拿出了他收集的16枚古铜钱，这些古铜钱外形、质地完全相同，其中有1枚是假铜钱，质量比其他真铜钱轻一些。假如用天平称，至少称( )次能保证找出这枚假铜钱。 5．（24-25五年级下·江西抚州·期末）中医是我国的瑰宝，中药学是我国古代优秀文化遗产的重要组成部分。奶奶因病到中药馆买中药24副，每副药共计重200g。但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药，用天平至少称( )次，才能保证找到这副中药。 6．（23-24五年级下·内蒙古呼和浩特·期末）有8袋积木，其中有一袋少装了一块，是次品。假如用天平称（不用砝码），下面是第一次称的情况，请分析并填空。 (1)如果不平衡，次品在( )中；如果平衡，次品在( )中。 (2)要找到次品，最少要称( )次。 7．（24-25五年级下·重庆永川·期末）一堆药丸有35颗，不小心丢进了一颗不合格的药丸（要轻一些），为了尽快找出这颗不合格药丸，如果用天平称，至少称( )次才能保证找到。 8．（24-25五年级下·湖南·期末）王叔叔做了8个零件，里面有1个是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称2次能保证找出次品，下面是找次品的流程图。 12瓶钙片里有1瓶是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？请仿照上面的流程图，画一画，写一写。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年五年级下册数学人教版单元培优讲义 专题08 数学广角——找次品 考点梳理 1 考点一、基本概念 1 考点二、找次品的基本方法 1 考点三、找次品的最优策略 2 考点四、数学思想方法 2 例题讲解 2 题型一、分组称重法 2 题型二、最少称重次数的规律 3 考点练习 5 练习一、分组称重法 5 练习二、最少称重次数的规律 10 考点梳理 考点一、基本概念 1.次品的定义：在若干外观相同的物品中，存在一个质量不符合标准的物品（通常为“较轻”或“较重”，本单元默认次品较轻，特殊情况需额外说明），该物品即为“次品”。 2.天平的作用：作为找次品的核心工具，天平通过比较两边物体的质量关系（平衡或不平衡），判断次品所在的范围。当天平平衡时，两边物体质量相等；不平衡时，较轻（或较重）的一侧含有次品。 考点二、找次品的基本方法 1. 逐个称重法 (1)操作：将物品逐个放在天平两端称重，通过对比找出次品。 (2)特点：适用于物品数量较少的情况，但效率低，次数较多，不推荐作为常规方法。 2. 分组称重法（核心方法） (1)操作：将物品分成若干组，通过天平称重判断次品所在的组，再逐步缩小范围，直至找到次品。 (2)优势：相比逐个称重法，能显著减少称重次数，是找次品的主要方法。分组时需结合“最优策略”确定分组方式。 考点三、找次品的最优策略 1. 核心原则：尽量“平均分”成3组 (1)原因：天平称重有三种可能结果（左轻、右轻、平衡），对应次品在左组、右组或未称的组，分成3组能充分利用天平的三种状态，每次称重可排除最多数量的正品，最快缩小次品范围。 (2)具体操作： ①　若物品总数能平均分成3组（如9个、12个），则平均分成3组（如9个分成3、3、3；12个分成4、4、4）； ②　若总数不能平均分成3组（如10个、11个），则分成“相差1”的3组（如10个分成3、3、4；11个分成4、4、3），确保每组数量尽可能接近。 2. 最少称重次数的规律 (1)关系：用天平找次品时，“最少次数n”与“最多可检测物品数量”存在规律：n次最多能从3ⁿ个物品中找出1个次品（默认次品较轻）。 例如：1次最多检测3¹=3个物品；2次最多检测3²=9个物品；3次最多检测3³=27个物品；n次最多检测3ⁿ个物品。 (2)推导逻辑：每次称重将物品分成3组，n次称重可对应3ⁿ种状态组合，故最多能区分3ⁿ个物品中的次品。 考点四、数学思想方法 1.优化思想：通过对比不同分组方式（如分成2组vs分成3组），选择“最少称重次数”的策略，体现“从多种方案中寻找最优解”的优化思想。 2.逻辑推理：称重过程中，根据天平状态（平衡/不平衡）逐步排除正品，推理次品所在范围，培养“假设-验证-结论”的逻辑思维。 3.转化思想：将“找多个物品中的次品”转化为“找较少物品中的次品”，通过缩小范围降低问题复杂度（如将9个物品的问题转化为3个物品的问题）。 4.数形结合：通过画流程图（如“分组→称重→判断次品组→再分组”）或列表整理称重次数与物品数量的关系，直观辅助分析，体现“以形助数”的思想。 例题讲解 题型一、分组称重法 【例题1】（24-25五年级下·西藏拉萨·期末）科学实验课上，老师带来6个外观完全相同的小球，其中一个质量稍轻（次品）。同学们用天平称，要保证2次能找出次品小球，比较合适的分法是（    ）。 A．分成3份，（2，2，2） B．分成3份，（1，2，3） C．分成3份，（1，1，4） D．分成4份，（1，1，2，2） 【答案】A 【分析】根据找次品问题的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】把6个小球分成2、2、2三份。 第一次称：把其中两份分别放在天平秤两端，如果天平平衡，则次品在未取的那2个中；如果天平不平衡，则次品在天平轻的一端的2个中。第二次称：取有次品的那2个，分别放在天平秤两端，轻的一端就是次品。所以这种分法能保证2次找出次品。 故答案为：A 【练习1】（23-24五年级下·新疆乌鲁木齐·期末）有5个零件，其中只有一个是次品，重量稍重。根据如图所示可以推断（    ）号零件一定是正品。 A．①② B．②③④ C．①⑤ D．③④⑤ 【答案】D 【分析】根据题意可知，次品比其他正品的重量稍重，①②的总重量重于③④的总重量，说明次品在①②之间，所以③④⑤是正品。 【详解】根据分析可知，次品在①②之间，所以③④⑤号零件是正品。 故答案为：D 题型二、最少称重次数的规律 【例题2】（24-25五年级下·湖南怀化·期末）有20个外观一样的零件，其中一个轻一些，用天平至少称( )次才能保证找到这个次品。 【答案】3 【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。通过合理分组，利用天平平衡原理，逐步缩小次品所在范围，从而确定找出次品所需的最少次数。 【详解】第一次分组：把20个零件分成（7，7，6）三组。将两份7个的分别放在天平秤两端，如果天平平衡，那么次品就在未取的6个中（按照下面方法继续操作）；如果不平衡，次品就在天平轻的一端那7个里面。 若次品在7个零件中：第二次分组：把7个零件分成（3，3，1）三组。把两份3个的分别放在天平秤两端，如果天平平衡，未取的那个就是次品；如果不平衡，次品就在天平轻的一端那3个里面。第三次操作：若次品在3个零件中，把这3个中的任意2个，分别放在天平秤两端，如果天平平衡，未取的那个就是次品，如果不平衡，轻的一端就是次品。 若次品在6个零件中：第二次分组：把6个零件分成（2，2，2）三组。任取两份放在天平秤两端，如果天平平衡，次品就在未取的那2个中；如果不平衡，次品就在天平轻的一端那2个里面。第三次操作：若次品在2个零件中，把这2个分别放在天平秤两端，轻的一端就是次品。 综上，用天平至少称3次才能保证找到这个次品。 有20个外观一样的零件，其中一个轻一些，用天平至少称3次才能保证找到这个次品。 【点睛】本题主要考查了学生根据天平平衡的原理解答问题的能力。 【练习2】（24-25五年级下·广西柳州·期末）有5个零件，其中1个是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。 （圈出正确答案） 至少要称（    ）次。 【答案】图见详解；2 【分析】将5个零件拿出4个零件，分别编号1、2、3、4、5，将拿出来的1、2两个零件放在天平的左端，3、4两个零件放在天平的右端，若平衡则次品是5号的零件，若不平衡则天平向上的一端是次品。据此可得出答案。 【详解】 当天平平衡时，5号是次品； 当天平不平衡时，将轻的一边再称，加上剩下的5号，至少要称2次。 考点练习 练习一、分组称重法 1．（24-25五年级下·浙江宁波·期末）有5个零件，其中一个是次品，次品轻一些。编号后用天平来找次品，结果如图。根据称的情况，可以推断出（    ）一定是正品。 A．③ B．④ C．①②⑤ D．无法确定 【答案】C 【分析】由题意可知，天平翘起来的那边比较轻，则次品是③或④，据此解答。 【详解】由分析可知，有5个零件，其中一个是次品，次品轻一些。编号后用天平来找次品，结果如图。根据称的情况，可以推断出①②⑤一定是正品。 故答案为：C 2．（24-25五年级下·湖北随州·期末）有4个外观相同的零件，其中一个略轻。用一架没有珐码的天平称了两次找出了这个次品，表示称的过程与结果的选项是（    ）。 A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查利用天平找次品的方法。我们的思路是将4个零件合理分组，通过天平称重的结果，逐步缩小范围，找出略轻的那个零件。 【详解】1、第一次称重。 把4个外观相同的零件平均分成两份，每份2个。将这两份分别放在天平两端，此时天平会不平衡，向上翘起的那一端放的2个零件中就有略轻的那个。观察所给图片，图②符合第一次称重时天平不平衡的情况，即有一端向上翘起。 2、第二次称重。 把第一次称重时天平向上翘起那一端的2个零件，分别放在天平两端，此时天平同样会不平衡，向上翘起的那一端放的就是略轻的零件。图④符合第二次称重时天平不平衡，且一端向上翘起，从而找出略轻零件的情况。 即有4个外观相同的零件，其中一个略轻。用一架没有珐码的天平称了两次找出了这个次品，表示称的过程与结果的是②④。 故答案为：C 3．（23-24五年级下·广东广州·期末）有8颗外观一样的铁珠，其中有7颗一样重，另外有1颗比其他7颗稍轻些，如果用一架天平称2次就能保证找出这颗稍轻的铁珠，最合适的方法是先把这些铁珠分成（    ），然后再称。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 【详解】A．把8颗铁珠分成3份，即（3，3，2），第一次称，天平两边各放3颗，如果天平不平衡，次品就在较轻的3颗中；如果天平平衡，次品在剩下的2颗中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的3颗铁珠分成3份，即（1，1，1），第二次称，天平两边各放1颗，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一颗；如果天平平衡，次品是剩下的那1颗。至少称2次能保证找出这颗较轻的铁珠。符合题意。 B．把8颗铁珠分成2份，即（4，4），第一次称，天平两边各放4颗，如果天平平衡，次品在较轻的4颗中；再把有次品的4颗铁珠分成3份，即（1，1，2），第二次称，天平两边各放1颗，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一颗；如果天平平衡，次品在剩下的2颗中；再把有次品的2颗铁珠分成2份，即（1，1），第三次称，天平两边各放1颗，此时天平不平衡，次品就是较轻的那一颗。至少称3次才能保证找出这颗较轻的铁珠。不符合题意。 C．把8颗铁珠分成3份，即分成（2，2，4），第一次称，天平两边各放2颗，如果天平不平衡，次品就在较轻的2颗中；如果天平平衡，次品在剩下的4颗中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的4颗铁珠分成3份，即（1，1，2），第二次称，天平两边各放1颗，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一颗；如果天平平衡，次品就在剩下的2颗中。再把有次品的2颗铁珠分成（1，1），第三次称，天平两边各放1颗，此时天平不平衡，次品就是较轻的那一颗。至少称3次才能保证找出这颗较轻的铁珠。不符合题意。 D．每次仅能比较1颗，需多次称量。不符合题意。 故答案为：A 4．（24-25五年级下·天津南开·期末）有6盒钙片，其中一盒稍轻，用天平称要想2次保证找到次品，第一次称时有三个方案：①按（3，3）分成两份，②按（2，2，2）分成三份，③按（1，1，4）分成三份。三种方案可行的是（    ）。 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查找次品的最优策略。根据分组原则，尽可能将物品均分三组，使每次称量能最大限度缩小范围。需验证每个方案是否能在两次内确保找到次品。据此解答。 【详解】①（3，3）分组：第一次称量两组各3盒。若不平衡，次品在较轻的3盒中；第二次将3盒分成（1，1，1），称量两盒即可确定次品。可行。 ②（2，2，2）分组：第一次称量两组各2盒。若平衡，次品在剩余2盒中；若不平衡，次品在较轻的2盒中。第二次称量各1盒即可确定次品。可行。 ③（1，1，4）分组：第一次称量两组各1盒。若平衡，次品在剩余4盒中，需两次才能找出，但只剩一次称量，无法完成。不可行。 综上所述，可行方案为①②。 故答案为：A 5．（24-25五年级下·重庆九龙坡·期末）25个乒乓球中混有1个质量较重的次品，东东用天平称，第一次称量结果如下图。他接着用天平称，如果用最少的次数保证找到这个次品，第二次称量分组方法正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据第一次的称量情况可知，较重的次品在天平的右边。要用最少的次数保证找到这个次品，第二次称量分组时尽可能要将8个乒乓球平均分成3份，如果不能平均分，要让组和组之间乒乓球的数量差距在1个以内。 【详解】如果用最少的次数保证找到这个次品，第二次称量分组方法为（3，3，2），即： 故答案为：B 6．（24-25五年级下·重庆长寿·期末）如果8个乒乓球中有一个是次品（质量轻一些），下面是聪聪用天平找次品的过程，可以知道③号乒乓球是次品。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意可知，8个乒乓球中有一个是次品（质量轻一些），聪聪把8个乒乓球分成3组（3，3，2）； 第一步，用天平称量①、②、③和④、⑤、⑥（其余两个球暂不称）。图中可见天平向④、⑤、⑥一侧倾斜，说明①、②、③三个球中有质量更轻的次品。 第二步，把①、②号球放在天平两侧进行比较（③号球先放在一旁）。则1号与2号平衡，因此确定3号球就是次品；据此解答。 【详解】根据分析可知，如果8个乒乓球中有一个是次品（质量轻一些），下面是聪聪用天平找次品的过程，可以知道③号乒乓球是次品。 原题干说法正确。 故答案为：√ 7．（2026五年级下·全国·专题练习）有6个零件，其中有1个是次品（偏轻一些）。小红设计了如图找次品的过程：把6个物品分别标记为1、2、3、4、5、6，然后用天平称3次，可以保证找到次品。请你根据小红设计的过程，在天平两端空白的方框里和旁边的括号里填上适当的数字。 【答案】见详解 【分析】观察可知，如平衡，就接着称剩下的5和6，右边下沉，说明左边更轻，左边是几号，几号就是次品；如左边下沉，则右边更轻，次品在3和4之间，就再称3和4，右边下沉，左边更轻，左边是几号，几号就是次品。 【详解】根据分析完成填空，如下图： 8．（24-25五年级下·河南郑州·期末）围棋是我国发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动。某棋社有6盒围棋，其中1盒少了几枚棋子。下面是笑笑找这盒围棋的过程，请帮她补充完整：在括号里填数字。 一共称（    ）次，可以保证找到这盒围棋。 【答案】3；2；2 【分析】第一次，先把6个围棋分成两组进行称重：（1，2，3）个（4，5，6）；根据图片可知，右边下沉，说明次品在左边的（1，2，3）中； 第二次，从（1，2，3）中取出（1，2）进行称重，如果平衡，则说明3是次品；如果不平衡，左边下沉，则说明2号上次品，由此可知，需要称2次，就能找出次品，据此解答。 【详解】根据分析可知，围棋是我国发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动。某棋社有6盒围棋，其中1盒少了几枚棋子。下面是笑笑找这盒围棋的过程，请帮她补充完整：在括号里填数字。 一共称2次，可以保证找到这盒围棋。 练习二、最少称重次数的规律 1．（24-25五年级下·贵州黔南·期末）有9箱橙子，其中8箱质量相同，另一箱质量轻一些，用天平至少称( )次能保证找出这箱轻的橙子。 【答案】2 【分析】将9箱橙子平均分成3组，每组3箱，标记为A组、B组、C组。把A组和B组放在天平两端：若天平平衡，说明轻的那箱在C组；若天平不平衡，轻的那箱在较轻的一组（A组或B组）。第二次分组称重，从第一次确定的“含轻箱的3箱”中，任意取2箱放在天平两端，标记为1号箱和2号箱：若天平平衡，说明未称的3号箱是轻的那箱；若天平不平衡，较轻的一端就是轻的那箱。 【详解】第1次称：把9箱分3组（每组3箱），称其中2组。平衡则轻箱在第3组，不平衡则在轻的那组，缩小到3箱； 第2次称：从3箱中称2箱，平衡则轻箱是未称的，不平衡则是轻的那箱。 所以用天平至少称2次能保证找出这箱轻的橙子。 2．（24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有19颗外形一样的珠子，其中18颗质量相同，另有1颗重一些。假如用天平称，至少称( )次能保证找出这颗珠子。 【答案】3 【分析】将19颗珠子分成三组，尽可能平均分配。第一次称量后确定次品所在组，再逐步缩小范围，每次称量均分三组，确保最少次数。 【详解】第一次称：将19颗珠子分成三组（6，6，7）。取两组各6颗放在天平两侧： 若平衡，次品在剩余7颗中； 若不平衡，次品在较重一侧的6颗中。 第二次称：若次品在7棵颗中，将7颗分成三组（2，2，3）。称量两组各2颗： 若平衡，次品在剩余3颗中； 若不平衡，次品在较重一侧的2颗中。 若次品在6颗中，将6颗分成两组（3，3）。称量两组各3颗，次品在较重一侧的3颗中。 第三次称：若次品在3颗中：任取2颗称量，平衡则次品为未称的1颗，不平衡则次品为较重的1颗。 若次品在2颗中，直接称量2颗，较重的一颗即为次品。 综上，至少称3次可保证找到次品。 有19颗外形一样的珠子，其中18颗质量相同，另有1颗重一些。假如用天平称，至少称3次能保证找出这颗珠子。 3．（24-25五年级下·贵州遵义·期末）有27袋形状和外观相同的食盐，其中有一袋稍轻一些，如果用无砝码的天平来寻找这袋食盐，至少( )次就能保证找出这袋食盐。 【答案】3 【分析】把27袋食盐平均分成3份，每份9袋，即（9，9，9），第一次称，天平两边各放9袋，如果天平不平衡，次品就在较轻的9袋中；如果天平平衡，次品在剩下的9袋中；把有次品的9袋食盐平均分成3份，每份是3袋，即（3，3，3），第二次称，天平两边各放3袋，如果天平不平衡，次品就在较轻的3袋中；如果天平平衡，次品在剩下的3袋中；最后把有次品的3袋食盐分成（1，1，1），第三次称，天平两边各放1袋，如果天平不平衡，次品就是较轻的那1袋；如果天平平衡，次品就是剩下的那1袋。所以至少3次就能保证找出这袋食盐。 【详解】 至少3次就能保证找出这袋食盐。 4．（24-25五年级下·湖南衡阳·期末）“鉴宝”节目中，一位收藏者拿出了他收集的16枚古铜钱，这些古铜钱外形、质地完全相同，其中有1枚是假铜钱，质量比其他真铜钱轻一些。假如用天平称，至少称( )次能保证找出这枚假铜钱。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将16枚古铜钱分成（5、5、6），称（5、5），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，平衡，次品在6枚中；将6枚分成（2、2、2），称其中的（2、2），无论平衡与否，都可确定次品在其中的2枚里；将2枚分成（1、1），再称1次即可确定次品，共3次。 至少称3次能保证找出这枚假铜钱。 5．（24-25五年级下·江西抚州·期末）中医是我国的瑰宝，中药学是我国古代优秀文化遗产的重要组成部分。奶奶因病到中药馆买中药24副，每副药共计重200g。但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药，用天平至少称( )次，才能保证找到这副中药。 【答案】3 【分析】把24副中药平均分成3份，每份8副，即（8，8，8）；第一次称，天平两边各放8副，如果天平不平衡，则少放一味药的就在较轻的8副药中；如果天平平衡，则少放一味药的在剩下的8副药中； 把少放一味药的8副药分成3份，即（3，3，2），第二次称，天平两边各放3副，如果天平不平衡，则少放一味药的就在较轻的3副中；如果天平平衡，则少放一味药的在剩下的2副药中； 考虑最不利原则，少放一味药的在数量多的里面，最后把少放一味药的3副药分成（1，1，1），第三次称，天平两边各放1副，如果天平不平衡，则少放一味药的就是较轻的那1副；如果天平平衡，少放一味药的就是剩下的那1副。 所以至少称3次才能保证找出这副中药。 【详解】 用天平至少称3次，才能保证找到这副中药。 6．（23-24五年级下·内蒙古呼和浩特·期末）有8袋积木，其中有一袋少装了一块，是次品。假如用天平称（不用砝码），下面是第一次称的情况，请分析并填空。 (1)如果不平衡，次品在( )中；如果平衡，次品在( )中。 (2)要找到次品，最少要称( )次。 【答案】(1) 较轻的那3袋 ⑦⑧ (2)2 【分析】（1）分析题目，因为次品比正品轻，所以根据天平可知，如果天平不平衡，则次品在较轻的那边；如果天平平衡，则次品在剩下的2袋中，据此解答； （2）找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【详解】（1）如果不平衡，次品在较轻的那3袋中；如果平衡，次品在⑦⑧中。 （2）有8袋积木，其中有一袋是次品，比其它略轻。 第一次称重：先分成（3，3，2），天平两边各放3袋，①若天平平衡，则次品就在剩下的2袋中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那3袋中； 第一次天平不平衡时，第二次称重：把3袋分成（1，1，1），天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的那1袋；②若天平不平衡，次品是较轻的1袋； 第一次天平平衡时，第二次称重：把2袋分成（1，1），次品是较轻的那袋。 所以要找到次品，最少要称2次。 7．（24-25五年级下·重庆永川·期末）一堆药丸有35颗，不小心丢进了一颗不合格的药丸（要轻一些），为了尽快找出这颗不合格药丸，如果用天平称，至少称( )次才能保证找到。 【答案】4 【分析】把35颗药丸分成（12，12，11）。 第一次称：把两个12颗的分别放在天平秤两端，若平衡，次品在11颗那组；若不平衡，次品在较轻的12颗那组。 情况一：若在11颗组，分成（4，4，3）。 第二次称：把两个4颗的称，平衡则次品在3颗组，不平衡在较轻4颗组。 若在3颗组，第三次称：任取2颗称，平衡则剩下1颗是次品，不平衡较轻的是次品。 若在4颗组，分成（2，2），第三次称，次品在较轻2颗组，第四次称这2颗，较轻的是次品。 情况二：若在12颗组，分成（4，4，4）。 第二次称：任取两个4颗称，平衡则次品在剩下4颗组，不平衡在较轻4颗组。 第三次称：把有次品的4颗分成（2，2），称后次品在较轻2颗组。 第四次称：这2颗称，较轻的是次品。 据此解答。 【详解】综上分析所述，至少称4次才能保证找到。 8．（24-25五年级下·湖南·期末）王叔叔做了8个零件，里面有1个是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称2次能保证找出次品，下面是找次品的流程图。 12瓶钙片里有1瓶是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？请仿照上面的流程图，画一画，写一写。 【答案】3次；流程图见详解 【分析】根据题意，把12瓶钙片分成3份（4瓶、4瓶、4瓶），取其中两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则质量较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（4瓶）分成3份（1瓶、1瓶、2瓶），将1瓶的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，则较轻的一份就是次品；第三次，取含有较轻的一份（2瓶）分别放在天平两侧，即可找到较轻的；据此解答。 【详解】 答：如果用天平称，至少称3次能保证找出次品。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $