单元培优讲义：怎样通知最快（考点梳理+例题讲解+考点练习）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

2025-2026学年五年级下册数学人教版单元培优讲义 怎样通知最快 考点梳理 1 考点一、定义与原理 1 考点二、关键步骤 1 考点三、规律总结 1 考点四、易错点 2 例题讲解 2 题型一、打电话问题 2 考点练习 3 练习一、打电话问题 3 考点梳理 考点一、定义与原理 1.概念定义：《打电话问题》是人教版五年级下册数学广角中的优化策略问题，主要研究：在一定时间内，通过打电话的方式，如何设计方案能让尽可能多的人被通知到，或用最少的时间通知到指定数量的人。其本质是通过合理安排，实现信息传递效率的最大化，体现“优化思想”在实际问题中的应用。 2.核心原理：核心原理是“每个人都不空闲”，即接到通知的人需继续参与通知其他人，避免信息传递的“等待”或“闲置”。区别于“逐个通知”（线性增长，效率低），这种方式通过“已通知的人共同参与通知”，使通知人数呈指数级增长，从而大幅缩短总时间。 考点二、关键步骤 1.明确问题要素：确定需通知的总人数、每次通知所需时间（通常默认1分钟通知1人）、是否允许同时通知多人（默认每人每分钟可通知1人）。 2.设计通知方案：以“第1分钟由1人（通知者）开始通知，之后每分钟所有已接到通知的人同时通知新的1人”为最优方案。 3.记录通知过程：用图示（树状图）或表格记录每分钟通知情况，清晰呈现“已通知总人数”和“新通知人数”的变化。 考点三、规律总结 在“每人每分钟通知1人且不重复通知”的前提下，n分钟内最多能通知到的总人数为（2ⁿ - 1）人，具体推导如下： 1.第1分钟：通知者通知1人，已通知总人数=1人（2¹ - 1=1）； 2.第2分钟：已通知的1人+通知者共2人同时通知，新通知2人，已通知总人数=1+2=3人（2² - 1=3）； 3.第3分钟：已通知的3人+通知者共4人同时通知，新通知4人，已通知总人数=3+4=7人（2³ - 1=7）； 4.第n分钟：已通知总人数=前（n-1）分钟总人数 + 2ⁿ⁻¹（新通知人数），即2ⁿ - 1人。 考点四、易错点 1.混淆“新通知人数”与“已通知总人数”：新通知人数是每分钟新增的被通知者，已通知总人数是累计值（含之前所有被通知的人）。 2.忽略“通知者是否参与”：默认通知者从第1分钟开始参与通知，且后续每分钟与已通知的人共同行动，不可遗漏。 3.公式适用条件：“2ⁿ - 1”仅适用于“每人每分钟通知1人、无重复通知、所有人不空闲”的理想情况，实际问题需结合具体限制条件调整。 例题讲解 题型一、打电话问题 【例题1】（24-25五年级下·重庆·期末）某班举行“十岁成长礼”活动，由于活动比原计划提前半小时，班主任需尽快电话通知家长。如果每分钟通知1人，某班42名同学，至少需要( )分钟才能通知完。 【答案】6 【分析】第1分钟：班主任通知1人，总人数为1 第2分钟：班主任和第1位家长各通知1人，新增2人，总人数为1＋2＝3 第3分钟：班主任和3位家长各通知1人，新增4人，总人数为3＋4＝7 第4分钟：班主任和7位家长各通知1人，新增8人，总人数为7＋8＝15 第5分钟：班主任和15位家长各通知1人，新增16人，总人数为15＋16＝31 第6分钟：班主任和31位家长各通知1人，新增32人，总人数为31＋32＝63 【详解】（人） 某班举行“十岁成长礼”活动，由于活动比原计划提前半小时，班主任需尽快电话通知家长。如果每分钟通知1人，某班42名同学，至少需要6分钟才能通知完。 【练习1】（23-24五年级下·海南省直辖县级单位·期末）学校临时有急事要通知学生，李老师要尽快通知到每一个学生。如果用打电话的方式每分钟通知1人，5分钟最多可以通知( )个学生。 【答案】31 【分析】先将李老师算进去，每一分钟得到通知的人数都会是前一分钟人数的2倍，据此列式，最后减去李老师即可。 【详解】2×2×2×2×2－1 ＝32－1 ＝31（个） 5分钟最多可以通知31个学生。 考点练习 练习一、打电话问题 1．（24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）皮影戏，又称“影子戏”或“灯影戏”，是中国民间古老的传统艺术。某皮影戏剧团15名成员有紧急演出，团队负责人要打电话尽快通知到每名成员（一对一进行传达），每次通话需要1分钟，最少（    ）分钟才能通知到每个人。 A．15 B．5 C．4 D．14 【答案】C 【分析】根据最优通知，即每过一分钟，已通知到的人（包括负责人）都可以同时通知下一批人，据此逐一分析每一分钟通知的人数，从而确定通知完所有人所需的最少时间。 【详解】第1分钟：负责人通知1人； 第2分钟：负责人和已通知到的1人各通知1人，即2人，共通知到1＋2＝3人； 第3分钟：负责人和已通知到的3人各通知1人，即4人，共通知到3＋4＝7人； 第4分钟：负责人和已通知到的7人各通知1人，即8人，共通知到7＋8＝15人。 因此，最少4分钟才能通知到每个人。 故答案为：C 2．（24-25五年级下·湖南永州·期末）星期六，李老师要通知舞蹈队的32名队员参加紧急演出，如果打电话每分钟通知1人，至少需要（    ）分钟才能通知到每个人。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】老师首先用1分钟通知第一个队员，第二分钟由老师和第一个队员两人分别通知1个队员，现在通知了共1＋2＝3个队员，据此可以推出，第三分钟可以通知3＋4＝7个队员，第四分钟可以通知7＋8＝15个队员，第五分钟可以通知15＋16＝31个队员，第六分钟可以通知31＋32＝63个队员，所以要通知到32人需要6分钟。据此解答即可 【详解】第一分钟通知1人； 第二分钟最多可以通知1＋2＝3（人）； 第三分钟最多可以通知3＋4＝7（人）； 第四分钟最多可以通知7＋8＝15（人）； 第五分钟最多可以通知15＋16＝31（人）； 第六分钟最多可以通知31＋32＝63（人）； 所以要通知到32人，最少需要6分钟。 故答案为：C 3．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）疫情防控期间，社区要紧急通知31位居民做核酸检测。假设打电话通知，每分钟通知1人，被通知到的居民也会帮助通知其他人，最少( )分钟就能通知到每个人。 【答案】5 【分析】被通知到的居民会帮助通知其他人，第1分钟接到通知的人数是1人；第2分钟接到通知的人数是1＋2＝3（人），第3分钟接到通知的人数是3＋4＝7（人），以此类推，只要接到通知的人数等于或超过31人即可。 【详解】第1分钟：1人 第2分钟：1＋2＝3（人） 第3分钟：3＋4＝7（人） 第4分钟：7＋8＝15（人） 第5分钟：15＋16＝31（人） 最少5分钟就能通知到每个人。 4．（24-25五年级下·云南红河·期末）蚂蚁用触角传递信息。一只蚂蚁发现了食物，马上通知另一只蚂蚁，这两只蚂蚁再分别一对一通知其它蚂蚁……如果每通知1只蚂蚁需要10秒，那么30秒后一共有( )只蚂蚁知道了消息。 【答案】8 【分析】蚂蚁通过触角传递信息，每次通知一只蚂蚁需要10秒。已知初始有1只蚂蚁知道消息，之后每一轮通知的时间间隔为10秒，且每只已知的蚂蚁可以同时通知新的蚂蚁。因此，蚂蚁数量呈翻倍增长。 【详解】初始状态（0秒）：1只蚂蚁。 第1轮（10秒后）：已有的1只蚂蚁通知1只，此时共有1＋1＝2只。 第2轮（20秒后）：2只蚂蚁各自通知1只，新增2只，此时共有2＋2＝4只。 第3轮（30秒后）：4只蚂蚁各自通知1只，新增4只，此时共有4＋4＝8只。 30秒后一共有8只蚂蚁知道了消息。 5．（22-23五年级下·青海西宁·期末）气象台发布暴雨红色预警，陈老师需告知全班42名学生不要返校。如果为确保尽快通知到位，用一对一打电话的方式，每分钟通知1人，用6分钟的时间( )（填“能”或“不能”）通知到每名学生。 【答案】能 【分析】老师首先用1分钟通知第一名学生，第二分钟由老师和1名学生两人分别通知1名学生，现在通知了共l＋2＝3名学生，据此可以推出，第三分钟可以通知3＋4＝7名学生，第四分钟可以通知7＋8＝15名学生，第五分钟可以通知15＋16＝31名学生，第六分钟可以通知31＋32＝63名学生，所以要通知到42人，至少需要6分钟，据此解答即可。 【详解】第一分钟通知1名； 第二分钟最多可以通知1＋2＝3（名）； 第三分钟最多可以通知3＋4＝7（名）； 第四分钟最多可以通知7＋8＝15（名）； 第五分钟最多可以通知15＋16＝31（名）； 第六分钟最多可以通知31＋32＝63（名）； 42＜63所以通知42名学生，需要6分钟时间，用5分钟时间不能通知到每名学生。 气象台发布暴雨红色预警，陈老师需告知全班42名学生不要返校。如果为确保尽快通知到位，用一对一打电话的方式，每分钟通知1人，用6分钟的时间能通知到每名学生。 6．（24-25五年级下·云南楚雄·期末）孙悟空在去西天取经的路上遇到了妖怪，他每次拔一根毫毛就能变出一个孙悟空。如果变出的孙悟空也能每次拔一根毫毛变出一个孙悟空，每次变出一个孙悟空需要的时间是4秒，那么要变出32个孙悟空最短需要( )秒。 【答案】20 【分析】由题意可知：4秒钟，共有2个孙悟空，2＝21；（秒），共有4个孙悟空，4＝22；（秒）共有8个孙悟空，8＝23；（秒），共有16个孙悟空，16＝24；（秒），共有32个孙悟空，32＝25据此规律来解答此题即可。 【详解】25＝32（个） （秒） 孙悟空在去西天取经的路上遇到了妖怪，他每次拔一根毫毛就能变出一个孙悟空。如果变出的孙悟空也能每次拔一根毫毛变出一个孙悟空，每次变出一个孙悟空需要的时间是4秒，那么要变出32个孙悟空最短需要20秒。 7．（24-25五年级下·甘肃天水·期末）老师打电话通知20名学生，如果每分钟打电话通知1人，师生合作，最快要4分钟可通知完。( ) 【答案】× 【分析】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知20名学生最快需要的时间。 【详解】第1分钟通知1人； 第2分钟通知1＋1＝2（人），接到通知的一共有：1＋2＝3（人）； 第3分钟通知1＋3＝4（人），接到通知的一共有：3＋4＝7（人）； 第4分钟通知1＋7＝8（人），接到通知的一共有：7＋8＝15（人）； 第5分钟通知1＋15＝16（人），接到通知的一共有：15＋16＝31（人）； 31＞20 最快要5分钟可通知完。 原题说法错误。 故答案为：× 8．（24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）应急小队接到紧急任务，队长需要尽快将任务通知到18名队员。任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，最少需要5分钟能通知到全体队员。( ) 【答案】√ 【分析】根据倍增通知模型，每一分钟已通知的队员（包括队长）可以同时通知新队员。第1分钟通知1人，之后每分钟新增人数为前一分钟总人数的2倍。计算各分钟累计通知人数：第1分钟1人，第2分钟3人，第3分钟7人，第4分钟15人，第5分钟31人。由于第4分钟结束时仅通知15人，未达18人，需第5分钟完成剩余通知，因此最少需要5分钟。 【详解】第1分钟：队长通知1人，累计通知1人。 第2分钟：队长和1名队员各通知1人，新增2人，累计1＋2＝3人。 第3分钟：队长和3名队员各通知1人，新增4人，累计3＋4＝7人。 第4分钟：队长和7名队员各通知1人，新增8人，累计7＋8＝15人。 第5分钟：队长和15名队员各通知1人，新增16人，累计15＋16＝31人。 因第4分钟累计15人未达18人，第5分钟可完成通知，故最少需5分钟。 故答案为：√ 9．（24-25五年级下·江西九江·期末）老师有个任务要尽快通知15位学生。任务必须一对一进行传达。每分钟通知1人，请根据通知方案填一填，画一画。 照样子，画一画： 【答案】7；7；作图见详解 【分析】观察已有的方案图，分成3组，然后每组再通知4位同学。老师在用3分钟时间通知了3位组长，此时第一组已通知了2位同学，第二组通知了1位同学，所以在这3分钟共通知了6位同学。第三组还有4位同学需要传达，在与此同时，其他组均已传达完毕，所以还需要4分钟即可。 共需要通知15位同学，要分成5组，就是每个组长需通知2位同学，以此作图即可。 计算分5组通知同学共需要的时间：老师在通知5位组长时，需要5分钟，此时第一组和第二组全部通知完毕，在这5分钟共通知了9位同学，还剩下6位同学没通知，即第三、四、五组没通知，因为每组需要通知2位同学，所以还需要2分钟才能把剩下的同学通知到位。 【详解】分三组：3＋4＝7（分钟） 分五组：5＋2＝7（分钟） 分三组共需要7分钟，分五组共需要7分钟。 分五组方案图： 10．（23-24五年级下·湖北黄石·期末）暑假的一天，老师需要通知7位同学到社区参加暑期实践活动。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，至少需要（    ）分钟。请在下面的方框用示意图表示出来。 【答案】3；图形见详解 【分析】第1分钟：老师可以通知1个同学，这时已经得到通知的共有1个同学；第2分钟：老师和已经得到通知的1个同学可以通知2个同学，这时已经得到通知的共有3个同学；第3分钟：老师和已经得到通知的3个同学可以通知4个同学，这时已经得到通知的共有7个同学，据此作图且解答即可。 【详解】如图所示： 则如果用打电话的方式，每分钟通知1人，至少需要3分钟。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年五年级下册数学人教版单元培优讲义 怎样通知最快 考点梳理 1 考点一、定义与原理 1 考点二、关键步骤 1 考点三、规律总结 1 考点四、易错点 2 例题讲解 2 题型一、打电话问题 2 考点练习 3 练习一、打电话问题 3 考点梳理 考点一、定义与原理 1.概念定义：《打电话问题》是人教版五年级下册数学广角中的优化策略问题，主要研究：在一定时间内，通过打电话的方式，如何设计方案能让尽可能多的人被通知到，或用最少的时间通知到指定数量的人。其本质是通过合理安排，实现信息传递效率的最大化，体现“优化思想”在实际问题中的应用。 2.核心原理：核心原理是“每个人都不空闲”，即接到通知的人需继续参与通知其他人，避免信息传递的“等待”或“闲置”。区别于“逐个通知”（线性增长，效率低），这种方式通过“已通知的人共同参与通知”，使通知人数呈指数级增长，从而大幅缩短总时间。 考点二、关键步骤 1.明确问题要素：确定需通知的总人数、每次通知所需时间（通常默认1分钟通知1人）、是否允许同时通知多人（默认每人每分钟可通知1人）。 2.设计通知方案：以“第1分钟由1人（通知者）开始通知，之后每分钟所有已接到通知的人同时通知新的1人”为最优方案。 3.记录通知过程：用图示（树状图）或表格记录每分钟通知情况，清晰呈现“已通知总人数”和“新通知人数”的变化。 考点三、规律总结 在“每人每分钟通知1人且不重复通知”的前提下，n分钟内最多能通知到的总人数为（2ⁿ - 1）人，具体推导如下： 1.第1分钟：通知者通知1人，已通知总人数=1人（2¹ - 1=1）； 2.第2分钟：已通知的1人+通知者共2人同时通知，新通知2人，已通知总人数=1+2=3人（2² - 1=3）； 3.第3分钟：已通知的3人+通知者共4人同时通知，新通知4人，已通知总人数=3+4=7人（2³ - 1=7）； 4.第n分钟：已通知总人数=前（n-1）分钟总人数 + 2ⁿ⁻¹（新通知人数），即2ⁿ - 1人。 考点四、易错点 1.混淆“新通知人数”与“已通知总人数”：新通知人数是每分钟新增的被通知者，已通知总人数是累计值（含之前所有被通知的人）。 2.忽略“通知者是否参与”：默认通知者从第1分钟开始参与通知，且后续每分钟与已通知的人共同行动，不可遗漏。 3.公式适用条件：“2ⁿ - 1”仅适用于“每人每分钟通知1人、无重复通知、所有人不空闲”的理想情况，实际问题需结合具体限制条件调整。 例题讲解 题型一、打电话问题 【例题1】（24-25五年级下·重庆·期末）某班举行“十岁成长礼”活动，由于活动比原计划提前半小时，班主任需尽快电话通知家长。如果每分钟通知1人，某班42名同学，至少需要( )分钟才能通知完。 【练习1】（23-24五年级下·海南省直辖县级单位·期末）学校临时有急事要通知学生，李老师要尽快通知到每一个学生。如果用打电话的方式每分钟通知1人，5分钟最多可以通知( )个学生。 考点练习 练习一、打电话问题 1．（24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）皮影戏，又称“影子戏”或“灯影戏”，是中国民间古老的传统艺术。某皮影戏剧团15名成员有紧急演出，团队负责人要打电话尽快通知到每名成员（一对一进行传达），每次通话需要1分钟，最少（    ）分钟才能通知到每个人。 A．15 B．5 C．4 D．14 2．（24-25五年级下·湖南永州·期末）星期六，李老师要通知舞蹈队的32名队员参加紧急演出，如果打电话每分钟通知1人，至少需要（    ）分钟才能通知到每个人。 A．4 B．5 C．6 D．7 3．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）疫情防控期间，社区要紧急通知31位居民做核酸检测。假设打电话通知，每分钟通知1人，被通知到的居民也会帮助通知其他人，最少( )分钟就能通知到每个人。 4．（24-25五年级下·云南红河·期末）蚂蚁用触角传递信息。一只蚂蚁发现了食物，马上通知另一只蚂蚁，这两只蚂蚁再分别一对一通知其它蚂蚁……如果每通知1只蚂蚁需要10秒，那么30秒后一共有( )只蚂蚁知道了消息。 5．（22-23五年级下·青海西宁·期末）气象台发布暴雨红色预警，陈老师需告知全班42名学生不要返校。如果为确保尽快通知到位，用一对一打电话的方式，每分钟通知1人，用6分钟的时间( )（填“能”或“不能”）通知到每名学生。 6．（24-25五年级下·云南楚雄·期末）孙悟空在去西天取经的路上遇到了妖怪，他每次拔一根毫毛就能变出一个孙悟空。如果变出的孙悟空也能每次拔一根毫毛变出一个孙悟空，每次变出一个孙悟空需要的时间是4秒，那么要变出32个孙悟空最短需要( )秒。 7．（24-25五年级下·甘肃天水·期末）老师打电话通知20名学生，如果每分钟打电话通知1人，师生合作，最快要4分钟可通知完。( ) 8．（24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）应急小队接到紧急任务，队长需要尽快将任务通知到18名队员。任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，最少需要5分钟能通知到全体队员。( ) 9．（24-25五年级下·江西九江·期末）老师有个任务要尽快通知15位学生。任务必须一对一进行传达。每分钟通知1人，请根据通知方案填一填，画一画。 照样子，画一画： 10．（23-24五年级下·湖北黄石·期末）暑假的一天，老师需要通知7位同学到社区参加暑期实践活动。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，至少需要（    ）分钟。请在下面的方框用示意图表示出来。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $