怎样通知最快讲义（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年人教版数学五年级下册

怎样通知最快 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、核心概念 1 二、方法步骤 1 三、规律总结 2 四、易错点分析 2 考点讲练 3 考点一：打电话问题 3 综合训练 7 知识梳理 一、核心概念 “怎样通知更快”是人教版数学五年级下册“数学广角”中的内容，主要研究在最短时间内通过打电话（或类似方式）通知一定数量的人，核心目标是找到“最优通知策略”，即如何让已通知的人同时参与通知，减少时间浪费。 二、方法步骤 1. 逐一通知法（基础方法） 问题背景：假设一个合唱队有15人，老师要尽快通知到每一个队员，每分钟只能通知1人，且通知后对方可参与后续通知。 步骤：老师第1分钟通知1人，第2分钟老师再通知1人（已通知的1人未参与），以此类推，直到通知完所有人。 时间计算：需15分钟（通知15人，每分钟1人）。 缺点：未利用已通知人员的“空闲时间”，效率最低。 2. 分组通知法（改进方法） 思路：将总人数分成若干组，老师先通知组长，再由组长通知组内成员，减少老师的重复通知。 示例：15人分3组（每组5人），老师第1分钟通知3个组长（此时3人被通知）；第2分钟3个组长各通知1人（共通知3+3=6人）；第3分钟3个组长和已通知的3人各通知1人（共通知6+6=12人）；第4分钟通知剩余3人，总时间4分钟。 缺点：若分组不均（如一组人多、一组人少），或组长等待老师通知完所有组长后才开始通知组员，会浪费时间（如分5组每组3人，需5分钟，比分3组慢）。 3. 最优通知法（树形图法，最快策略） 核心原则：每分钟所有已通知的人（包括老师）同时通知1个未通知的人，确保“不重复、不空闲”。 步骤（以15人为例，老师也算1个通知者）： 第1分钟：老师通知1人，共通知1人（总人数：1）； 第2分钟：老师和已通知的1人同时通知，各通知1人，新增2人，共通知1+2=3人； 第3分钟：3个已通知的人同时通知，新增4人，共通知3+4=7人； 第4分钟：7个已通知的人同时通知，新增8人，共通知7+8=15人（刚好完成）。 树形图表示：用树状图记录每分钟通知的人，第一层（老师）→第1分钟1人→第2分钟2人→第3分钟4人→第4分钟8人，每层人数呈“2ⁿ⁻¹”规律（n为分钟数）。 三、规律总结 第n分钟通知到的总人数公式：若每分钟所有已通知的人都参与通知，第n分钟能通知到的总人数为，减去老师后即通知到的人数）。 例：n=1时， 总人数与时间的关系：若要通知N人，所需最少时间n满足 需4分钟。 关键原则：不重复通知（避免同一人被多人通知）、不空闲（已通知的人每分钟都要参与通知）。 四、易错点分析 混淆“通知到的人数”与“总人数”：公式 是“通知到的人数”（不含老师），若题目中“总人数”包含老师，需用。 忽略已通知者参与通知：如误将“老师单独通知”当作最优方法，未让已通知的人参与，导致时间计算错误。 分组不合理：分组时若组数过多或每组人数不均，会比最优通知法耗时更长（如15人分15组，需15分钟，与逐一通知相同）。 应用场景 学校通知：班主任通知班级学生参加活动，需快速通知50人，根据规律 公司通知：经理通知30名员工开会，，需5分钟。 团队通知：教练通知20名队员集训，需5分钟。 考点讲练 考点一：打电话问题 【典例精讲】合唱队有7人，暑假老师要通知合唱队的队员去演出，若每分钟通知一个人，至少需要多少分钟才能通知到每个队员？请画出分析图。 【答案】3分钟；见详解 【分析】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知7人至少需要的时间。 【详解】如图： 第1分钟通知1人； 第2分钟通知2人，接到通知的一共有：1＋2＝3（人）； 第3分钟通知4人，接到通知的一共有：3＋4＝7（人）； 答：至少需要3分钟才能通知每个队员。 【点睛】明确每次已通知的人数加上老师是下一次要通知的人数。 【变式训练】一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？请你用画图的方式设计一个打电话的方案。 【答案】3分钟；图见详解。 【分析】老师首先用1分钟通知第一个队员，第二分钟由老师和1个队员两人分别通知1个队员，现在通知了共l＋2＝3个队员，据此可以推出，第三分钟可以通知3＋4＝7个队员，所以要通知到7人，需要3分钟，据此解答即可。 【详解】第一分钟通知1人； 第二分钟最多可以通知1＋2＝3（人）； 第三分钟最多可以通知3＋4＝7（人）； 即需要3分钟能全部通知到位。 答：全部通知完至少需要3分钟。 如图： 【点睛】解答本题的关键是明确已通知的队员的人数加上老师是下一次要通知的队员人数。 【变式训练】疫情突发，医院要求所有护士全部到岗。某科宣护士长知道消息后，需要尽快通知15名护士。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，你帮护士长设计一个用时最少的打电话方案。你设计的方案需要用时多少分钟？用文字或画图把方案表示出来。 【答案】4分钟，表格见详解 【分析】本题可采用如下方案：护士长先通知1名护士，然后再与这名护士生一起给另2名护士打电话，然后这2名护士再与前面已通知的护士（包括护士长）一起给其他护士打电话，依次类推，进行计算即可求解。 【详解】 分钟 1 2 3 4 新接到电话人数 1 2 4 8 接到电话总人数 1 3 7 15 答：需要用时4分钟。 【点睛】根据乘方的知识，让先得到通知的护士与护士长一起通其他护士是最快最好的办法。 【变式训练】某医院的一个医疗救护队共有7人，新冠疫情期间有一个紧急救援任务，值班领导需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少花几分钟就能通知到每个人？请你画图表示打电话的方案。 【答案】3分钟；画图见详解。 【分析】如下图，从第1分钟到第n分钟所有接到通知的队员和值班领导的总人数看：第1分钟，共有2人，2＝21；第2分钟，共有4人，4＝22；第3分钟共有8人，8＝23；第4分钟，共有16人，16＝24；第5分钟，共有32人，32＝25；……由此推得：到第n分钟，所有接到通知的队员和值班领导的总人数为2n人，所有接到通知的队员的总人数为（2n－1）人。 【详解】解：设最少花n分钟就能通知到每个人。 2n－1＝7 2n＝7＋1 2n＝8 n＝3 答：最少花3分钟就能通知到每个人。 画图如下：    【点睛】明确打电话的最优方案及其中蕴涵的规律是解决此题的关键。 综合训练 1．蚂蚁之间通过触角传递信息，每两只蚂蚁之间传递一次信息需要2秒钟，经过12秒，最多有多少只蚂蚁知道信息？（    ） A．24 B．36 C．48 D．64 【答案】D 【分析】根据题意中的通知方案可知： 第1个2秒，一只蚂蚁通知了另一只蚂蚁，共通知到2只蚂蚁，2＝1×2； 第2个2秒，2只蚂蚁通知了另2只蚂蚁，共通知到4只蚂蚁，4＝2×2； 第3个2秒，4只蚂蚁通知了另4只蚂蚁，共通知到8只蚂蚁，8＝2×2×2； 第4个2秒，8只蚂蚁通知了另8只蚂蚁，共通知到16只蚂蚁，16＝2×2×2×2； …… 规律：第n个2秒，通知到的蚂蚁只数为2n只； 据此规律解答。 【详解】规律：第n个2秒，通知到的蚂蚁只数为2n只； 12÷2＝6（个） 当n＝6时，2×2×2×2×2×2＝64（只） 经过12秒，最多有64只蚂蚁知道信息。 故答案为：D 2．蚂蚁是社群性昆虫，它们通过触角接触来传递信息。1只蚂蚁发现食物，现要将信息传递给同伴，若2只蚂蚁之间5秒完成一次信息传递，其他15只蚂蚁全部收到信息最少需要（    ）秒。 A．15 B．20 C．25 D．75 【答案】B 【分析】根据题目中的通知方案可知：第一个5秒，一只蚂蚁通知另一只蚂蚁，共通知到（1×2）只蚂蚁；第二个5秒，2只蚂蚁通知另2只蚂蚁，共通知到（2×2）只蚂蚁；第三个5秒，4只蚂蚁通知另4只蚂蚁，共通知到（2×2×2）只蚂蚁……由此可知，第几个5秒，通知到的蚂蚁只数为几个2相乘，据此解答。 【详解】15＋1＝16（只） 16＝2×2×2×2 5×4＝20（秒） 蚂蚁是社群性昆虫，它们通过触角接触来传递信息。1只蚂蚁发现食物，现要将信息传递给同伴，若2只蚂蚁之间5秒完成一次信息传递，其他15只蚂蚁全部收到信息最少需要20秒。 故答案为：B 3．一个救援队的队长接到紧急任务，需尽快将任务以一对一进行传达给63名队员，每分钟通知1人，最少（    ）分钟可以通知到所有队员。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知63名队员最少需要的时间。 【详解】第1分钟通知1人； 第2分钟通知1＋1＝2（人），接到通知的一共有：1＋2＝3（人）； 第3分钟通知1＋3＝4（人），接到通知的一共有：3＋4＝7（人）； 第4分钟通知1＋7＝8（人），接到通知的一共有：7＋8＝15（人）； 第5分钟通知1＋15＝16（人），接到通知的一共有：15＋16＝31（人）； 第6分钟通知1＋31＝32（人），接到通知的一共有：31＋32＝63（人）； 最少6分钟可以通知到所有队员。 故答案为：B 4．打一个电话要1分钟，周老师要通知参加演出的15名同学进行集训，如果用打电话的最佳方案，那么至少要（    ）分钟。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据打电话的最佳方案，即每次通知的人都帮助通知其他人，逐一分析每一分钟通知的人数，从而得出通知15名同学所需的最少时间。 【详解】周老师通知1名同学，此时通知到的同学有1名； 周老师和第1分钟通知的1名同学分别通知1名同学，此时通知到的同学有1＋2＝3名； 周老师和之前通知到的3名同学分别通知1名同学，此时通知到的同学有3＋4＝7名； 周老师和之前通知到的7名同学分别通知1名同学，此时通知到的同学有7＋8＝15名，刚好通知完15名同学。 因此，用打电话的最佳方案，至少要4分钟。 故答案为：B 5．皮影戏，又称“影子戏”或“灯影戏”，是中国民间古老的传统艺术。某皮影戏剧团15名成员有紧急演出，团队负责人要打电话尽快通知到每名成员（一对一进行传达），每次通话需要1分钟，最少（    ）分钟才能通知到每个人。 A．15 B．5 C．4 D．14 【答案】C 【分析】根据最优通知，即每过一分钟，已通知到的人（包括负责人）都可以同时通知下一批人，据此逐一分析每一分钟通知的人数，从而确定通知完所有人所需的最少时间。 【详解】第1分钟：负责人通知1人； 第2分钟：负责人和已通知到的1人各通知1人，即2人，共通知到1＋2＝3人； 第3分钟：负责人和已通知到的3人各通知1人，即4人，共通知到3＋4＝7人； 第4分钟：负责人和已通知到的7人各通知1人，即8人，共通知到7＋8＝15人。 因此，最少4分钟才能通知到每个人。 故答案为：C 6．学校舞蹈队共有50人，暑假期间有一个紧急演出，老师要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少花（    ）分钟，就能通知到每个人。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】第1分钟，老师通知1个队员； 第2分钟，老师和已经通知的队员分别通知1个队员，新接到通知的队员人数为2人，接到通知的队员总人数为2＋1＝3（人）； 第3分钟，老师和已经通知的队员分别通知1个队员，新接到通知的队员人数为3＋1＝4（人），接到通知的队员总人数为4＋3＝7（人）； 第4分钟，老师和已经通知的队员分别通知1个队员，新接到通知的队员人数为7＋1＝8（名），接到通知的队员总人数为8＋7＝15（名）； 第5分钟，老师和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为15＋1＝16（人），接到通知的队员总人数为15＋16＝31（人）； 第6分钟，老师和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为31＋1＝32（人），接到通知的队员总人数为31＋32＝63（人），由此可知，6分钟可以通知到每个人。 【详解】根据分析可知，学校舞蹈队共有50人，暑假期间有一个紧急演出，老师要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少花6分钟，就能通知到每个人。 故答案为：B 7．李老师要通知本班20人参加数学竞赛，如果通话一次按1分钟计算，至少需要( )分钟才能通知每个学生。 【答案】5 【分析】第1分钟，老师通知1名学生； 第2分钟，老师和已经通知的学生分别通知1名学生，新接到通知的学生人数为2人，接到通知的学生总人数为2＋1＝3（人）； 第3分钟，老师和已经通知的学生分别通知1名学生，新接到通知的学生人数为3＋1＝4（人），接到通知的学生总人数为4＋3＝7（人）； 第4分钟，老师和已经通知的学生分别通知1名学生，新接到通知的学生人数为7＋1＝8（人），接到通知的学生总人数为8＋7＝15（人）； 第5分钟，老师和已经通知的学生分别通知1名学生，新接到通知的学生人数为15＋1＝16（人），接到通知的学生总人数为15＋16＝31（人）；由此可知，5分钟可以通知到位。 【详解】根据分析可知，李老师要通知本班20人参加数学竞赛，如果通话一次按1分钟计算，至少需要5分钟才能通知每个学生。 8．原定周六小记者社会实践活动临时取消，老师要通知45名同学，以打电话的方式通知，每人每分钟只能通知一名未接到通知的同学，至少要( )分钟全部接到通知。 【答案】6 【分析】根据题意，老师首先用1分钟通知1名学生；第2分钟，老师和已通知的1名学生分别通知1名学生；第3分钟，老师和已通知的3名学生分别通知1名学生；第4分钟，老师和已通知的7名学生分别通知1名学生；第5分钟，老师和已通知的15名学生分别通知1名学生；第6分钟，老师和已通知的31名学生分别通知1名学生。通过这样的方式逐步分析每分钟通知的人数情况，进而判断通知完45名同学所需的时间，据此解答。 【详解】第1分钟：通知1人，共1人接到通知。 第2分钟：1＋2＝3（人），共3人接到通知。 第3分钟：3＋4＝7（人），共7人接到通知。 第4分钟：7＋8＝15（人），共15人接到通知。 第5分钟：15＋16＝31（人），共31人接到通知。 第6分钟：31＋32＝63（人），共63人接到通知。 因为31＜45＜63，所以至少要6分钟全部接到通知。 9．合唱队共有30名队员，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每名队员。如果用打电话的方式一对一进行传达，每1分钟通知1人，那么最少需要( )分钟才能通知到每名队员。 【答案】5 【分析】第1分钟老师通知1名队员；第2分钟老师和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为2名，接到通知的队员总人数为2＋1＝3名；第3分钟老师和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为3＋1＝4名，接到通知的队员总人数为4＋3＝7名；第4分钟老师和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为7＋1＝8名，接到通知的队员总人数为8＋7＝15名；第5分钟老师和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为15＋1＝16名，接到通知的队员总人数为16＋15＝31名，据此解答。 【详解】第1分钟接到通知的队员总人数：1名 第2分钟接到通知的队员总人数：1＋2＝3（名） 第3分钟接到通知的队员总人数：3＋4＝7（名） 第4分钟接到通知的队员总人数：7＋8＝15（名） 第5分钟接到通知的队员总人数：15＋16＝31（名） 因为31名＞30名，所以最少需要5分钟才能通知到每名队员。 10．疫情防控期间，社区要紧急通知31位居民做核酸检测。假设打电话通知，每分钟通知1人，被通知到的居民也会帮助通知其他人，最少( )分钟就能通知到每个人。 【答案】5 【分析】被通知到的居民会帮助通知其他人，第1分钟接到通知的人数是1人；第2分钟接到通知的人数是1＋2＝3（人），第3分钟接到通知的人数是3＋4＝7（人），以此类推，只要接到通知的人数等于或超过31人即可。 【详解】第1分钟：1人 第2分钟：1＋2＝3（人） 第3分钟：3＋4＝7（人） 第4分钟：7＋8＝15（人） 第5分钟：15＋16＝31（人） 最少5分钟就能通知到每个人。 11．学校器乐队共有31人，有一个临时演出任务，老师想用打电话的方式尽快通知到每一位队员，如果每分钟通知1人，最少用( )分钟就能通知到每一位队员。 【答案】5 【分析】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知31人最少需要的时间。 【详解】第1分钟通知1人； 第2分钟通知1＋1＝2（人），接到通知的一共有：1＋2＝3（人） 第3分钟通知1＋3＝4（人），接到通知的一共有：3＋4＝7（人） 第4分钟通知1＋7＝8（人），接到通知的一共有：7＋8＝15（人） 第5分钟通知1＋15＝16（人），接到通知的一共有：15＋16＝31（人） 所以，最少用5分钟就能通知到每一位队员。 12．合唱队有30人，暑假期间有一个紧急演出。老师需要打电话尽快通知到每一个队员，如果每分钟通知1人，每名学生接到通知后马上通知其他人，至少需要( )分钟可以通知到每一个人。 【答案】5 【分析】第1分钟：只有老师1人能通知，通知1人，累计通知1人，此时共1＋1＝2人可参与下一分钟通知。 第2分钟：老师＋已通知的1人一起通知，共通知2人，累计通知1＋2＝3人，此时共3＋1＝4人可参与下一分钟通知。 第3分钟：4人一起通知，共通知4人，累计通知3＋4＝7人，此时共7＋1＝8人可参与下一分钟通知。 第4分钟：8人一起通知，共通知8人，累计通知7＋8＝15人，此时共15＋1＝16人可参与下一分钟通知。 第5分钟：16人一起通知，共通知16人，累计通知15＋16＝31人，31人＞30人，可通知到所有队员。 【详解】第1分钟：1＋1＝2（人） 第2分钟：累计通知：1＋2＝3（人），参与通知：3＋1＝4（人） 第3分钟：累计通知：3＋4＝7（人），参与通知：7＋1＝8（人） 第4分钟：累计通知：7＋8＝15（人），参与通知：15＋1＝16（人） 第5分钟：累计通知：15＋16＝31（人） 31人＞30人 所以至少需要5分钟可以通知到每一个人。 13．孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化需要的时间是2秒钟。如果要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？把你的想法画出来。 【答案】8秒；图见详解 【分析】变化前：只有1个孙悟空； 第2秒：1个孙悟空拔毫毛变成1个新的孙悟空，变化出1个孙悟空； 第4秒：原有1个孙悟空和变化出的1个孙悟空，共2个孙悟空，2个孙悟空各拔毫毛变成1个新的孙悟空，共变化出1＋2＝3个孙悟空； 第6秒：原有1个孙悟空和变化出的3个孙悟空，共4个孙悟空，4个孙悟空各拔毫毛变成1个新的孙悟空，共变化出3＋4＝7个孙悟空； 第8秒：原有1个孙悟空和变化出的7个孙悟空，共8个孙悟空，8个孙悟空各拔毫毛变成1个新的孙悟空，共变化出7＋8＝15个孙悟空。 所以最短需要8秒钟。 【详解】如图： 2×4＝8（秒） 答：最短需要8秒。 14．五年级组织趣味游戏，其中一个项目是“快乐传递”。一位已经知道信息的同学要尽快将信息通知到13个组员。每人每次只能通知1人，通知1人用时1分钟。请设计一个最快的通知方案（可以用文字、画图等进行说明）。最快的方案需要多少时间？ 【答案】 4分钟 【分析】通知方案：采用“接力通知”的方式，每一分钟让已知道信息的所有人（包括最初的通知者和之前已通知的组员）同时去通知新的组员，确保每分钟通知的人数最大化。已知初始有1人，每分钟每个已通知的人可通知1人，每过1分钟，已通知人数翻倍，计算各分钟累计被通知人数，找到覆盖13人的最短时间。 【详解】第1分钟：初始1人通知1人，累计被通知1人； 第2分钟：2人（初始1人＋第1分钟1人）各通知1人，新增2人，累计被通知1＋2＝3人； 第3分钟：4人（前两轮共4人）各通知1人，新增4人，累计被通知3＋4＝7人； 第4分钟：8人（前三轮共8人）各通知1人，新增8人，累计被通知7＋8＝15人。 因第4分钟结束时累计被通知人数可达15人，超过所需13人，故最快需4分钟。 答：最快的方案需要4分钟。 15．王老师有事要用打电话的方式通知同学。如果每分钟打电话通知1人，那么3分钟最多通知几个同学？（请用画图的方法表示出你的想法。） 【答案】7人 【分析】老师先用1分钟通知1个学生； 再用1分钟让老师和这名学生同时通知两名学生； 最后再利用1分钟让老师和这三名学生同时通知四名学生。 最后相加即可。 【详解】1＋2＋4＝7（人） 第一分钟：； 第二分钟： 第三分钟： 答：3分钟最多通知7个同学。 16．魔术师表演“天女散花”节目。他先将一大张纸对折后撕开，再将撕开的纸叠在一起对折后又撕开……像这样连续撕了10次后，将所撕纸片撒满舞台，此时舞台上一共有多少张纸片？ 【答案】1024张 【分析】每对折一次，纸片的张数就是原来的2倍，可列算式为，据此解答即可。 【详解】 ＝4×2×2×2×2×2×2×2×2 ＝8×2×2×2×2×2×2×2 ＝16×2×2×2×2×2×2 ＝32×2×2×2×2×2 ＝64×2×2×2×2 ＝128×2×2×2 ＝256×2×2 ＝512×2 ＝1024（张）； 答：此时舞台上一共有1024张纸片。 【点睛】解决本题的关键是根据对折，找到规律，每对折一次，纸片的张数就是原来的2倍。 17．一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员．如果用打电话的方式，每分钟通知1人，全部通知完至少需要几分钟？请你用画图的方式帮老师设计一个打电话的方案． 【答案】3分钟 【分析】根据题意可得：第一分钟通知到1个队员；第二分钟最多可通知到3个队员；第三分钟最多可通知到7个队员；据此画图即可. 【详解】 根据上图可得，全部通知完至少需要3分钟。 答：全部通知完至少需要3分钟。 【点睛】本题主要考查优化知识，通过画图的方法可以简洁、直观的呈现出来。 18．市艺术操表演队一共126人，为了联络方便，设计了这样一种联络方式．一旦有表演活动，由导演同时通知2名队员，这2名队员再分别同时通知2名队员，依此类推，每名队员再同时通知2名队员．如果每名队员同时通知2名队员需要1分钟，6分钟能通知到所有队员吗？ 【答案】能 【详解】1分钟通知了2人，2分钟共通知了2×2+2=6人 3分钟共通知了6+6×2=18人 4分钟共通知了18+18×2=54人 5分钟共通知了54+54×2=162人 因为162＞126     所以6分钟能通知到所有队员． 19．一片均匀生长的草地，如果有15头牛吃草，那么8天可以把草全部吃完；如果起初这15头牛在草地上吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完．如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，再过多少天可以把草吃完？ 【答案】4天 【分析】设每头牛每天吃“1”份草，则15头牛8天吃：15×8＝120（份），15头牛吃了2天，又来了2头牛总共7天共吃，2×15＋17×5＝115（份），那么8－7＝1（天）共长草5份，原来有草：120－5×8＝80（份），15头牛2天吃草：15×2＝30（份），还剩80＋5×2－30＝60（份）．那么又来了5头牛，新长出的草5头牛吃，20－5头牛可吃原有的草：60÷（20－5），计算即可。 【详解】解：设每头牛每天吃“1”份草． 则15头牛8天吃：15×8＝120（份） 15头牛吃了2天，又来了2头牛总共7天共吃： 2×15＋17×5 ＝30＋85 ＝115（份） 那么8－7＝1（天）共长草120－115＝5（份） 原来有草：120－5×8 ＝120－40 ＝80（份） 15头牛2天吃草：15×2＝30（份），还剩80＋5×2－30＝80＋10－30＝60（份） 那么又来了5头牛，20头牛可吃：60÷（20－5）＝60÷15＝4（天） 答：再过4天可以把草吃完。 【点睛】这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草的份数为本题解答的突破口。 20．一片匀速生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草两相当于3只羊每天的吃草量．请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？ 【答案】48只 【分析】根据“一头牛一天的吃草量等于3只羊一天的吃草量，”那么36只羊的吃草量就等于（36÷3）12头牛的吃草量；设每头牛每天吃草1份，根据“18头牛吃40天，或供12头牛与36只羊吃25天，即12＋12＝24头牛吃25天”可以求出草每天生长的份数：（18×40－24×25）÷（40－25）＝8（份）；再根据“18头牛吃40天，”可以求出草地原有的草的份数：（18－8）×40＝400（份）；由于草每天生长8份，可供16天吃完，需要牛的头数是（400＋8×16）÷16＝33（头），然后减去17头牛，得到的差转化成羊的只数即可；问题得解。 【详解】解：设每头牛每天吃草1份，把36只羊转化为牛的头数为： 36÷3＝12（头） 草每天生长的份数： （18×40－24×25）÷（40－25） ＝（720－600）÷（40－25） ＝120÷15 ＝8（份） 草地原有的草的份数： （18－8）×40＝400（份） 16天吃完，需要牛的头数是： （400＋8×16）÷16 ＝（400＋128）÷16 ＝528÷16 ＝33（头） （33－17）×3 ＝16×3 ＝48（只） 答：这片草地让17头牛与48只羊一起吃，刚好16天吃完。 【点睛】本题是典型的牛吃草问题，这种问题关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数；可以利用两种假设条件求出；本题需要注意把羊的只数转化为牛的头数便于解答。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怎样通知最快 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、核心概念 1 二、方法步骤 1 三、规律总结 2 四、易错点分析 2 考点讲练 3 考点一：打电话问题 3 综合训练 7 知识梳理 一、核心概念 “怎样通知更快”是人教版数学五年级下册“数学广角”中的内容，主要研究在最短时间内通过打电话（或类似方式）通知一定数量的人，核心目标是找到“最优通知策略”，即如何让已通知的人同时参与通知，减少时间浪费。 二、方法步骤 1. 逐一通知法（基础方法） 问题背景：假设一个合唱队有15人，老师要尽快通知到每一个队员，每分钟只能通知1人，且通知后对方可参与后续通知。 步骤：老师第1分钟通知1人，第2分钟老师再通知1人（已通知的1人未参与），以此类推，直到通知完所有人。 时间计算：需15分钟（通知15人，每分钟1人）。 缺点：未利用已通知人员的“空闲时间”，效率最低。 2. 分组通知法（改进方法） 思路：将总人数分成若干组，老师先通知组长，再由组长通知组内成员，减少老师的重复通知。 示例：15人分3组（每组5人），老师第1分钟通知3个组长（此时3人被通知）；第2分钟3个组长各通知1人（共通知3+3=6人）；第3分钟3个组长和已通知的3人各通知1人（共通知6+6=12人）；第4分钟通知剩余3人，总时间4分钟。 缺点：若分组不均（如一组人多、一组人少），或组长等待老师通知完所有组长后才开始通知组员，会浪费时间（如分5组每组3人，需5分钟，比分3组慢）。 3. 最优通知法（树形图法，最快策略） 核心原则：每分钟所有已通知的人（包括老师）同时通知1个未通知的人，确保“不重复、不空闲”。 步骤（以15人为例，老师也算1个通知者）： 第1分钟：老师通知1人，共通知1人（总人数：1）； 第2分钟：老师和已通知的1人同时通知，各通知1人，新增2人，共通知1+2=3人； 第3分钟：3个已通知的人同时通知，新增4人，共通知3+4=7人； 第4分钟：7个已通知的人同时通知，新增8人，共通知7+8=15人（刚好完成）。 树形图表示：用树状图记录每分钟通知的人，第一层（老师）→第1分钟1人→第2分钟2人→第3分钟4人→第4分钟8人，每层人数呈“2ⁿ⁻¹”规律（n为分钟数）。 三、规律总结 第n分钟通知到的总人数公式：若每分钟所有已通知的人都参与通知，第n分钟能通知到的总人数为，减去老师后即通知到的人数）。 例：n=1时， 总人数与时间的关系：若要通知N人，所需最少时间n满足 需4分钟。 关键原则：不重复通知（避免同一人被多人通知）、不空闲（已通知的人每分钟都要参与通知）。 四、易错点分析 混淆“通知到的人数”与“总人数”：公式 是“通知到的人数”（不含老师），若题目中“总人数”包含老师，需用。 忽略已通知者参与通知：如误将“老师单独通知”当作最优方法，未让已通知的人参与，导致时间计算错误。 分组不合理：分组时若组数过多或每组人数不均，会比最优通知法耗时更长（如15人分15组，需15分钟，与逐一通知相同）。 应用场景 学校通知：班主任通知班级学生参加活动，需快速通知50人，根据规律 公司通知：经理通知30名员工开会，，需5分钟。 团队通知：教练通知20名队员集训，需5分钟。 考点讲练 考点一：打电话问题 【典例精讲】合唱队有7人，暑假老师要通知合唱队的队员去演出，若每分钟通知一个人，至少需要多少分钟才能通知到每个队员？请画出分析图。 【变式训练】一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？请你用画图的方式设计一个打电话的方案。 【变式训练】疫情突发，医院要求所有护士全部到岗。某科宣护士长知道消息后，需要尽快通知15名护士。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，你帮护士长设计一个用时最少的打电话方案。你设计的方案需要用时多少分钟？用文字或画图把方案表示出来。 【变式训练】某医院的一个医疗救护队共有7人，新冠疫情期间有一个紧急救援任务，值班领导需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少花几分钟就能通知到每个人？请你画图表示打电话的方案。 综合训练 1．蚂蚁之间通过触角传递信息，每两只蚂蚁之间传递一次信息需要2秒钟，经过12秒，最多有多少只蚂蚁知道信息？（    ） A．24 B．36 C．48 D．64 2．蚂蚁是社群性昆虫，它们通过触角接触来传递信息。1只蚂蚁发现食物，现要将信息传递给同伴，若2只蚂蚁之间5秒完成一次信息传递，其他15只蚂蚁全部收到信息最少需要（    ）秒。 A．15 B．20 C．25 D．75 3．一个救援队的队长接到紧急任务，需尽快将任务以一对一进行传达给63名队员，每分钟通知1人，最少（    ）分钟可以通知到所有队员。 A．5 B．6 C．7 D．8 4．打一个电话要1分钟，周老师要通知参加演出的15名同学进行集训，如果用打电话的最佳方案，那么至少要（    ）分钟。 A．3 B．4 C．5 D．6 5．皮影戏，又称“影子戏”或“灯影戏”，是中国民间古老的传统艺术。某皮影戏剧团15名成员有紧急演出，团队负责人要打电话尽快通知到每名成员（一对一进行传达），每次通话需要1分钟，最少（    ）分钟才能通知到每个人。 A．15 B．5 C．4 D．14 6．学校舞蹈队共有50人，暑假期间有一个紧急演出，老师要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少花（    ）分钟，就能通知到每个人。 A．5 B．6 C．7 D．8 7．李老师要通知本班20人参加数学竞赛，如果通话一次按1分钟计算，至少需要( )分钟才能通知每个学生。 8．原定周六小记者社会实践活动临时取消，老师要通知45名同学，以打电话的方式通知，每人每分钟只能通知一名未接到通知的同学，至少要( )分钟全部接到通知。 9．合唱队共有30名队员，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每名队员。如果用打电话的方式一对一进行传达，每1分钟通知1人，那么最少需要( )分钟才能通知到每名队员。 10．疫情防控期间，社区要紧急通知31位居民做核酸检测。假设打电话通知，每分钟通知1人，被通知到的居民也会帮助通知其他人，最少( )分钟就能通知到每个人。 11．学校器乐队共有31人，有一个临时演出任务，老师想用打电话的方式尽快通知到每一位队员，如果每分钟通知1人，最少用( )分钟就能通知到每一位队员。 12．合唱队有30人，暑假期间有一个紧急演出。老师需要打电话尽快通知到每一个队员，如果每分钟通知1人，每名学生接到通知后马上通知其他人，至少需要( )分钟可以通知到每一个人。 13．孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化需要的时间是2秒钟。如果要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？把你的想法画出来。 14．五年级组织趣味游戏，其中一个项目是“快乐传递”。一位已经知道信息的同学要尽快将信息通知到13个组员。每人每次只能通知1人，通知1人用时1分钟。请设计一个最快的通知方案（可以用文字、画图等进行说明）。最快的方案需要多少时间？ 15．王老师有事要用打电话的方式通知同学。如果每分钟打电话通知1人，那么3分钟最多通知几个同学？（请用画图的方法表示出你的想法。） 16．魔术师表演“天女散花”节目。他先将一大张纸对折后撕开，再将撕开的纸叠在一起对折后又撕开……像这样连续撕了10次后，将所撕纸片撒满舞台，此时舞台上一共有多少张纸片？ 17．一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员．如果用打电话的方式，每分钟通知1人，全部通知完至少需要几分钟？请你用画图的方式帮老师设计一个打电话的方案． 18．市艺术操表演队一共126人，为了联络方便，设计了这样一种联络方式．一旦有表演活动，由导演同时通知2名队员，这2名队员再分别同时通知2名队员，依此类推，每名队员再同时通知2名队员．如果每名队员同时通知2名队员需要1分钟，6分钟能通知到所有队员吗？ 19．一片均匀生长的草地，如果有15头牛吃草，那么8天可以把草全部吃完；如果起初这15头牛在草地上吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完．如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，再过多少天可以把草吃完？ 20．一片匀速生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草两相当于3只羊每天的吃草量．请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $