专题03 复数四则运算的六大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版高一必修第二册

专题03 复数四则运算的六大常考题型 题型一：复数的加减运算 题型二：复数的乘方及乘法运算 题型三：复数范围内方程的根 题型四：复数的除法运算 题型五：复数的求参问题 题型六：共轭复数的考点 题型一：复数的加减运算 1．若，，复数所对应的点在实轴上，则实数等于（   ） A． B．2 C． D．1 2．已知为虚数单位，设复数，，则复数的实部为 . 3．若， ． 4．已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 5．（    ） A． B． C． D． 6．已知复数，则（    ） A．为实数 B． C．的虚部为2 D．为纯虚数 7．设，均为复数，下列命题中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 8．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，复数在复平面内对应的点的坐标为.若复数满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．5 9．设复数为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．若，，则（   ） A． B． C．3 D． 题型二：复数的乘方及乘法运算 11．若复数，则（    ） A． B．3i C． D．3 12．已知i为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D．i 13．在复平面内对应的点位于第几象限（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 14．已知复数，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 15．复数的虚部为（    ） A． B． C． D．i 16．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 17．若复数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 18．若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 19．已知复数，则（   ） A．1 B． C． D．2 20．已知复数满足（为虚数单位），则（    ） A．1 B． C．i D． 题型三：复数范围内方程的根 21．已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 . 22．设为复数的共轭复数，且，则（    ） A． B． C． D． 23．记方程的三个不相等的复数根分别为，，，其中，则（   ） A． B． C． D． 24．记方程的三个不相等的复数根分别为，其中，则（    ） A． B． C． D． 25．已知复数是实系数一元二次方程的两个根，若，则的最小值为 . 26．已知复数，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．是方程的一个复数根 27．下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（    ） A． B．的虚部为 C．z是方程的一个根 D．为纯虚数 28．已知是关于的方程的根（其中，为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B． C．方程可能只有这一个根 D．设方程的另一根为，则 29．已知复数，． (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数，的值． 30．已知复数. (1)若是关于的方程的一个根，求的值； (2)若复数满足，且是纯虚数，求复数. 题型四：复数的除法运算 31．的虚部为（ ） A． B． C． D． 32．已知复数z满足，则的虚部为（    ） A．1 B．2 C． D． 33．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 34．在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 35．（ ） A． B． C． D． 36．若复数，则 . 37．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 38．若，则（   ） A．2 B． C．10 D． 39．（ ） A． B． C． D． 40．若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 题型五：复数的求参问题 41．在复平面内，是原点，已知向量，向量对应的复数分别是，，且，则（    ） A． B．1 C．或1 D．0 42．已知是关于的方程的一个解，则（   ） A．4 B．8 C．6 D．0 43．已知是实系数一元二次方程一个根，求b、c的值． 44．已知关于的实系数一元二次方程. (1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值； (2)若方程有两虚根，且，求的值. 45．已知a，b均为实数，，则 . 46．虚数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 47．若复数的实部与虚部的和为3，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 48．已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 49．已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ． 50．在复平面内，复数对应的点在第四象限，设． (1)若，求； (2)若，求． 题型六：共轭复数的考点 51．复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是 . 52．关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（    ） A．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称 B． C．必为实数，必为纯虚数 D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根 53．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 54．设复数，则的共轭复数在复平面内对应的点在第（    ） A．一象限 B．二象限 C．三象限 D．四象限 55．若复数满足，则的虚部为 （    ） A． B． C． D． 56．设复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．“”的充要条件是“” B．若，则的最大值为3 C．若，，则 D．方程在复数集中有6个解 57．已知复数是虚数单位. (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值. 58．已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 59．已知（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 60．已知复数，. (1)求； (2)若满足为纯虚数，是z的共轭复数，求. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 复数四则运算的六大常考题型 题型一：复数的加减运算 题型二：复数的乘方及乘法运算 题型三：复数范围内方程的根 题型四：复数的除法运算 题型五：复数的求参问题 题型六：共轭复数的考点 题型一：复数的加减运算 1．若，，复数所对应的点在实轴上，则实数等于（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】计算出，根据对应的点在实轴上得到方程，求出的值. 【详解】，， ， 又所对应的点在实轴上， ，． 故选：C 2．已知为虚数单位，设复数，，则复数的实部为 . 【答案】3 【分析】利用复数的加法运算和复数的定义求解. 【详解】因为复数，， 所以复数， 所以复数的实部为3， 故答案为：3 3．若， ． 【答案】 【分析】由复数相等、共轭复数概念及复数的加减运算求出，再由复数模的计算公式求解. 【详解】设，则， ， 又，则， 所以，，即，， 所以， 则． 故答案为：． 4．已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的加法计算. 【详解】， . 故选：C. 5．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的运算即可求解. 【详解】， 故选：D. 6．已知复数，则（    ） A．为实数 B． C．的虚部为2 D．为纯虚数 【答案】D 【分析】直接计算复数的和，逐项判断. 【详解】根据题意，，其虚部为，A、C错误，D正确； ，B错误. 故选：D 7．设，均为复数，下列命题中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据复数的加法、减法、乘法运算及复数的共轭复数的模对选项逐一分析，举反例可判断D. 【详解】对于A：设，，其中，，，， 则，，， 所以，故A正确； 对于B：设，，其中，，，， 则， ， 所以，故B正确； 对于C：若，则， 同理可得，故C正确； 对于D：若，取，，满足条件， 但，故D错误. 故选：ABC. 8．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，复数在复平面内对应的点的坐标为.若复数满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据复数加减的几何意义，，结合，可得，再由即可求解． 【详解】由题意知复数在复平面内对应的点的坐标为， 设复数在复平面内对应的点的坐标为，，， 则，又， 所以，即， ， ，当且仅当在线段上取等号， ，且， ，当时取等， 综上，当点在时等号同时成立，取得最小值3， 即的最小值为3． 故选：C 9．设复数为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】求得，即可得答案. 【详解】因为， 对应的点位于第四象限. 故选：D. 10．若，，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】首先求出，再根据复数模的计算公式计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：A 题型二：复数的乘方及乘法运算 11．若复数，则（    ） A． B．3i C． D．3 【答案】A 【分析】根据复数的乘方运算以及除法运算即可计算出结果. 【详解】易知，所以复数， 可得，所以. 故选：A 12．已知i为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D．i 【答案】A 【分析】应用复数的乘方计算求解. 【详解】. 故选：A. 13．在复平面内对应的点位于第几象限（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】先利用复数的性质对已知复数进行化简，进而得出该复数对应复平面内的点坐标，从而确定所在象限． 【详解】， ， 复数在复平面内对应的点为，在第二象限，故B正确． 故选：B． 14．已知复数，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出，再利用复数乘方及复数模的意义求得答案. 【详解】依题意，复数， 所以. 故选：C 15．复数的虚部为（    ） A． B． C． D．i 【答案】B 【分析】应用复数的乘方及除法运算化简，再应用虚部的定义求解. 【详解】， 所以复数的虚部为. 故选：B. 16．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用复数的乘方及除法运算求出，进而求出该复数的模. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 17．若复数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用复数模的运算性质，即可求解. 【详解】由，可得， 故选：C. 18．若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据复数的运算法则确定复数，再根据复数虚部的概念确定复数的虚部. 【详解】由题意，， 故复数z的虚部为 故选：B 19．已知复数，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用复数乘方与除法法则计算出，再计算出模长. 【详解】， 故，故. 故选：B 20．已知复数满足（为虚数单位），则（    ） A．1 B． C．i D． 【答案】C 【分析】根据复数的运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以，故， 故选：C 题型三：复数范围内方程的根 21．已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 . 【答案】 【分析】令，代入方程，利用复数相等，求出，即可求得. 【详解】由题意，令， 则， 展开并整理得， 所以，解得或， 则或， 当时，；当时，, 所以. 故答案为： 22．设为复数的共轭复数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程求出，逐项判断. 【详解】由方程得， 对于A：显然不对，A错误； 对于B：若，则；若，则；B错误； 对于C：法1，若，，则； 若，，则；C错误； 法2，是实系数二次方程的两根，所以，C错误； 对于D：法1，若，，则； 若，，则；D正确； 法2，是实系数二次方程的两根，所以，D正确； 故选：D． 23．记方程的三个不相等的复数根分别为，，，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据方程在复数上的根结合韦达定理求解复数根，，，逐项判断即可得结论. 【详解】由方程可得， 该方程的三个不相等的复数根分别为，，，其中， 所以，，是方程在复数上的两根， 则，故A，B正确； 设，则可得， 所以解得或， 故，两根为， 则，故C正确； ，故D不正确. 故选：ABC. 24．记方程的三个不相等的复数根分别为，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用因式分解可求三个复数根，再逐项计算后可得正确的选项. 【详解】因为，故， 故或，故或， 故或，而，故，故A正确； 不妨设，则，故B正确； ，故C正确； ，而， 故，故D错误. 故选：ABC. 25．已知复数是实系数一元二次方程的两个根，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】分一元二次方程的判别式大于等于0与小于0，两种情况讨论，利用实系数一元二次方程的虚根成对的性质，计算可求得的最小值. 【详解】若一元二次方程的判别式大于等于0，则方程有两个实数根，即为实数， 由，则，此时， 若一元二次方程的判别式小于0，则为两虚数根， 设、 又因为，所以，所以， 所以 当时，. 综上所述：的最小值为. 故答案为：. 26．已知复数，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．是方程的一个复数根 【答案】ABC 【分析】根据复数的乘除运算、共轭复数的概念、复数的几何意义等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故C正确； 对于D，将代入方程的左边，得， 所以不是该方程的根，故D错误． 故选：ABC． 27．下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（    ） A． B．的虚部为 C．z是方程的一个根 D．为纯虚数 【答案】AD 【分析】利用复数除法运算得，求模判断A，求虚部判断B，代入方程计算判断C，求判断D. 【详解】因为， 则，z的虚部为，为纯虚数，故AD正确，B错误， 又因为， 所以不是方程的一个根，故C错误. 故选：AD. 28．已知是关于的方程的根（其中，为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B． C．方程可能只有这一个根 D．设方程的另一根为，则 【答案】AD 【分析】根据复数相等的概念解方程即可判断AB，根据共轭复数也是对应的方程的根判断CD. 【详解】由于是关于的方程的根， 所以，即， 因为， 所以，解得，故A正确，B错误； 所以关于的方程 将代入上述方程得：， 即也是关于的方程的根，故C错误； 所以， 则，故D正确； 故选：AD 29．已知复数，． (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值； （2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值. 【详解】（1）因为 由是纯虚数得，解得. 所以当是纯虚数时，. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得. 30．已知复数. (1)若是关于的方程的一个根，求的值； (2)若复数满足，且是纯虚数，求复数. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）将代入方程中，结合复数乘法运算法则计算即可得； （2）设，结合复数模长公式及复数乘法运算法则计算即可得. 【详解】（1）由是关于的方程的一个根， 所以，即有， 化简得，则； （2）设，所以， 又，且是纯虚数， 所以，解得或， 所以或. 题型四：复数的除法运算 31．的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据复数运算，将复数化为标准形式，再根据虚部的定义确定虚部的值. 【详解】根据题意得，所以的虚部为. 故选：C 32．已知复数z满足，则的虚部为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的四则运算求出复数z，即可得，即可得答案. 【详解】由题意知复数z满足， 故， 故，则的虚部为2， 故选：B 33．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘法计算即可求解. 【详解】由，得， 即，得. 故选：A 34．在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的除法将复数转化为复数的代数形式，结合复数的几何意义得到复数对应的点坐标后即可判断. 【详解】依题意，， 所以复数对应的点为， 所以复数对应的点位于第二象限； 故选：B. 35．（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的除法计算得结果. 【详解】. 故选：A. 36．若复数，则 . 【答案】 【分析】利用复数的除法运算和复数的模的公式求解. 【详解】， 即，. 故答案为：. 37．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法法则可得，化简求即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 38．若，则（   ） A．2 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数模的公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：D 39．（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的运算法则可得答案. 【详解】原式， . 故选：C 40．若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法化简可得，根据复数的概念即可求解. 【详解】复数满足，则， 所以复数的虚部是. 故选：D 题型五：复数的求参问题 41．在复平面内，是原点，已知向量，向量对应的复数分别是，，且，则（    ） A． B．1 C．或1 D．0 【答案】B 【分析】先写出，的代数形式，根据列方程组求解. 【详解】∵向量，向量对应的复数分别是，， ∴，. 又∵， ∴，解得， 故选： 42．已知是关于的方程的一个解，则（   ） A．4 B．8 C．6 D．0 【答案】B 【分析】将代入方程中化简，利用复数相等的概念得出即可. 【详解】由题意可得，，化简整理得， 则，得， 则. 故选：B 43．已知是实系数一元二次方程一个根，求b、c的值． 【答案】，. 【分析】将代入方程计算即可. 【详解】将代入方程得：， ， 所以，解得． 故，. 44．已知关于的实系数一元二次方程. (1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值； (2)若方程有两虚根，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件得是方程的另一复数根，再结合韦达定理即可得解. （2）先设，再结合韦达定理和复数模长公式即可求解. 【详解】（1）由题意可知是方程的另一复数根， 所以， 所以. （2）设， 则由题意且， 所以， 所以， 解得. 45．已知a，b均为实数，，则 . 【答案】21 【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可. 【详解】根据可得到， 故，，求得， 所以. 故答案为：21 46．虚数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】C 【分析】求出，代入计算即可. 【详解】由已知，， 所以，， 所以，解得. 故选：C. 47．若复数的实部与虚部的和为3，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】化简复数，利用实部与虚部的和即可求出的值. 【详解】由题意， ， ∵实部与虚部的和为3， ∴，． 故选：D. 48．已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解即可； （2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可. 【详解】（1）由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； （2）若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 49．已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】计算出，从而求出，以及的值. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故答案为：. 50．在复平面内，复数对应的点在第四象限，设． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据复数除法运算和加减法运算化简，再根据复数的分类列出方程组，解之即可； （2）根据，可得等式左边化简后得复数虚部等于零，可得出关系，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】（1）设， 由，得， 即，整理得， 因为，即， 所以，解得， 所以； （2）由（1）结合， 可得，所以， 所以. 题型六：共轭复数的考点 51．复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是 . 【答案】1 【分析】根据条件等式化解复数，再求其共轭复数及其虚部. 【详解】， 所以，所以的共轭复数的虚部是1. 故答案为：1 52．关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（    ） A．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称 B． C．必为实数，必为纯虚数 D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义可判断A正确，时可排除BC，易知当一元二次方程有两实根时正确，若可得方程两根互为共轭复数，即D正确. 【详解】对于选项A，表示复数和的点关于实轴对称，故A错误： 对于选项B和选项C，当时均不成立，故BC错误； 对于选项D，若方程的可得为实数，即，符合题意； 若，则方程的两个复数根为和， 此时两根互为共轭复数，因此D正确. 故选：D 53．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 首先化简复数，再根据共轭复数的特征求虚部. 【详解】， 则，所以的虚部为. 故选：B 54．设复数，则的共轭复数在复平面内对应的点在第（    ） A．一象限 B．二象限 C．三象限 D．四象限 【答案】A 【分析】利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】由题意可知，复数的共轭复数为， 则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限. 故选：A. 55．若复数满足，则的虚部为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数，进而得到，从而求解. 【详解】由， 得， 所以，即的虚部为 故选：D． 56．设复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．“”的充要条件是“” B．若，则的最大值为3 C．若，，则 D．方程在复数集中有6个解 【答案】ABD 【分析】根据共轭复数的概念及性质，结合充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；根据复数模的几何性质，可判定B正确；根据复数乘方的运算规律，可判定C不正确；设为方程的解，得到，分、两种情况讨论，即可求解. 【详解】对于A中：若，则成立，若，可得，解得， 所以成立，所以A正确； 对于B中：若，则表示以原点为圆心，半径为的圆上的点到点的距离， 因为原点到点的距离为，所以的最大值为，所以B正确； 对于C中：若，， 则，所以C不正确； 对于D中：设为方程的解， 代入方程得，即， 若，则，即， 所以或，解得或，即是原方程的解； 若，则，即， 所以，解得或；或，解得或； 即，，，也是原方程的解. 综上可得，原方程有6个解，分别为，，，，，，所以D正确. 故选：ABD. 57．已知复数是虚数单位. (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，由其对应点的坐标列不等式求解； （2）也是方程的根，根据韦达定理先求得，再求得． 【详解】（1）由已知得到，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以， 解得，所以 （2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以是方程的另一个根，所以，所以， 所以， 所以，所以. 58．已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘方和复数的除法运算求得复数，从而可得共轭复数，即可得其虚部. 【详解】解：因为，所以，其虚部为. 故选：D. 59．已知（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数除法运算法则求，然后得到，最后根据虚部的定义判断即可. 【详解】因为，所以，虚部为. 故选：D. 60．已知复数，. (1)求； (2)若满足为纯虚数，是z的共轭复数，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据向量除法规则去求的值； （2）先求得a的值，再去求的值. 【详解】（1） （2）因为是纯虚数 所以，，所以， 所以： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $