精品解析：福建莆田市2025—2026学年上学期八年级数学期末考试试卷

莆田市2025-2026学年上学期八年级期末质量调研测试 数学 （满分150分；考试时间：120分钟） 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列常见的运动图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 利用轴对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形， 故选：A． 2. 为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得，，那么的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此得到，即可求解． 【详解】解：在中，∵，， ∴． 故选：B． 3. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件，由分子为0且分母不为0即可得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解得． 故选：C． 4. 如图，，若，，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的性质，根据，得到，由即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5. 近来，中国芯片技术获得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值小于时，是负数． 【详解】解：, 用科学记数法表示为：． 故选：A． 【点睛】本题考查用科学记数法绝对值ju较小的数，表示形式为的形式，解题的关键是要注意确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．根据运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. ，原式计算错误，不符合题意；        B. ，原式计算错误，不符合题意；               C. ，原式计算错误，不符合题意；                                                       D. ，原式计算正确，符合题意． 故选：D． 7. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的常用方法（平方差公式、提公因式法、完全平方公式），解题的关键是对各选项分别进行因式分解，判断结果是否含有因式. 对每个选项运用对应的因式分解方法分解，再检查分解结果是否包含这个因式。 【详解】解：A、,结果含有因式,此选项不符合题意； B、,结果含有因式,此选项不符合题意； C、,结果含有因式,此选项不符合题意； D、,结果不含有因式,此选项符合题意； 故选：D. 8. 根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：A．已知两边和一边的对角，不能画出唯一的，故该选项符合题意； B．可根据画出唯一的，故该选项不符合题意； C．可根据画出唯一的，故该选项不符合题意； D．可根据画出唯一的，故该选项不符合题意； 故选：A． 9. 两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A. 的平分线上 B. 外角的平分线上 C. 边的垂直平分线上 D. 外角的平分线上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，掌握到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为，由题意得，且，，根据角平分线的判定定理可证平分，从而得到答案． 【详解】解：如图，作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为， 由题意得，且，， ∴平分，即点在外角的平分线上． 故选：B． 10. 如图，中，，为边上的中线，．E为边上的动点，F，G为上的动点，且的长为定值．连接，，当取最小值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质、平移的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，平移，作辅助线如解析图，可得，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合，进而问题可求解． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴， ∵， ∴， 平移，使得点F与点G重合，点C的对应点为P，作点P关于的对称点H，过点H作，交线段于点，线段交于点，连接，如图所示： 根据轴对称的性质可知：，由平移可知：， ∴，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当取最小值时，的度数为； 故选D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在平面直角坐标系中，点（-1，2）关于y轴对称的点的坐标是________． 【答案】（1，2） 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数来求解． 【详解】解：由点（-1，2）关于y轴对称的点的坐标是（1，2）， 故答案为：1，2）． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于y轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 12. 计算：1012﹣992＝_____． 【答案】400 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式进而计算得出即可． 【详解】解：1012-992=（101+99）×（101-99）=400． 故答案为400． 【点睛】此题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题关键． 13. 命题“两直线平行,内错角相等"的逆命题是一个______________命题（填“真”或“假”） 【答案】真； 【解析】 【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题，分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而得出答案． 【详解】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等， ∴其逆命题为：内错角相等，两直线平行，此逆命题是真命题； 故答案为：真． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识和命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题． 14. 计算：____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，根据运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提到“杨辉三角”（如图）．此图揭示的（n为非负整数）展开式的次数及各项系数的规律．利用规律写出的展开式为____． 的展开式 …… 展开式各项的系数 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法运算，数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其规律，解题的关键是能够发现其中的规律．根据图形中的规律，杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数都是它的上方(左右)两数之和，a的指数从左到右逐项降低，而b的指数从左到右逐项升高，即可求出的展开式． 【详解】解：根据题意，得杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数都是它的上方(左右)两数之和，a的指数从左到右逐项降低，而b的指数从左到右逐项升高， 第五行数字为：， 则． 故答案是：． 16. 如图为货车长方体货箱的平面示意图，货箱长为6.8米，高始终与水平地面垂直．现有一较重但分布均匀的正方体货物，工人师傅将货物沿坡面推送至重心处在适当位置时，无需借助工具即可将货物轻松平放进货箱．此时，正方体货物点H到直线的距离为1米，则正方体货物点G到直线的距离为____米． 【答案】5.8 【解析】 【分析】本题主要考查重心的概念及全等三角形的性质与判定，熟练掌握重心的概念及全等三角形的性质与判定是解题的关键；分别过点H、G作，垂足为点F、P，连接，交于点O，则有，由重心可知，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：分别过点H、G作，垂足为点F、P，连接，交于点O，如图所示： ∴， 根据重心的定义可知：正方形的对角线的交点即为重心，即为图中点O， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意可知， ∴正方体货物点G到直线的距离为； 故答案为5.8． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 4 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，负整数幂，先计算零指数幂，负整数幂，再计算加法即可． 【详解】解：原式 ． 18. 化简：．下面是小伊、小辰两位同学的部分运算过程： 解：原式 … 解：原式 … （1）小伊同学解法的依据是______，小辰同学解法的依据是_______；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一位同学的解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②，③； （2） 解：选择小伊同学的解法： 原式 ； 选择小辰同学的解法： 原式 ． 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据两位同学的解法分析即可； （2）结合两位同学的解法计算即可． 【小问1详解】 解：小伊同学解法的依据是分式的基本性质，小辰同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②，③； 【小问2详解】 略 19. 为了测量河两岸相对的两点A，B的距离，聪明的小贝想出了一个巧妙的办法：如图，她站在河边点A（为小贝眼睛到地面的距离，），调整帽檐，刚好看到河对岸点B．再从点A后退到点C（，），退到刚好通过帽檐能看到自己刚才的位置点A（即）．那么测量出的长就是的长．请你说明理由． 【答案】 证明；测量出的长就是的长，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】证明：略． 20. 为了满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，某小区计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩．购置充电桩的相关信息如下表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：x元/个 单价：元/个 若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价． 【答案】单枪新能源充电桩的单价为5000元，双枪新能源充电桩的单价为7500元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：单枪新能源充电桩的单价为5000元，双枪新能源充电桩的单价为7500元． 21. 如图，中，是它的角平分线．D是边上一点，延长至E，使．若，求证：． 【答案】 证明：设，则由可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及三角形外角的性质是解题的关键；设，由题意易得，则有，，然后可得，则，进而根据三线合一可进行求证． 【详解】略 22. 下面是某数学小组一份研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“轴对称”的研究报告 研究目的 探究图形关于直线对称的性质 研究方法 观察（测量、实验）——猜想——推理、验证 研究内容 【I】探究图形关于直线一次对称 （1）操作与观察：如图1，和直线，点C在直线上．求作，使与关于直线对称，其中点D与A为对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）探究与发现：观察（1）中图形，得到以下结论： ①线段，被直线垂直平分； ②； ③边上的高与边上的高相等； ④若线段，所在的直线相交，则交点在直线上． 其中正确的是_____；（写出所有正确结论的序号） （3）推理与验证：…… 【Ⅱ】探究图形关于直线两次对称 （1）操作与观察：如图2，和直线，，且其距离为n．先作关于直线对称，再作关于直线对称． 如图3，和直线，，，相交于点且其所夹锐角为．先作关于直线对称，再作关于直线对称． （2）探究与发现：图2中由沿与直线垂直的方向平移得到，平移的距离为___▲___，故如果两条对称轴平行，那么两次轴对称相当于一次平移；图3中由绕点___●___顺时针旋转得到，旋转角为___■____，故如果两条对称轴相交，那么两次轴对称相当于一次旋转． （3）推理与验证：…… 任务： （1）完成“研究内容”【I】中的第（1）题； （2）完成“研究内容”【I】中的第（2）题； （3）写出“研究内容”【Ⅱ】中“▲”处空缺的内容：_______，“●”处空缺的内容：______，“■”处空缺的内容：_________． 【答案】（1） 所作图形如图所示： （2）①③④ （3），， 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质、旋转的性质及平移的性质，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质及平移的性质是解题的关键； （1）分别作点A、B关于直线l的对称点，然后问题可求解； （2）根据（1）中作图及轴对称的性质可进行求解； （3）根据轴对称的性质及旋转的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由作图可知：直线l垂直平分，故①正确； ∴， 由题干可得与并未互补，所以不一定成立，故②错误； ∴， ∴，根据等积法可知：边上的高与边上的高相等，故③正确； 若线段，所在的直线相交，根据线段垂直平分线的判定定理可知：线段，所在的直线的交点在直线上，故④正确； 综上所述：正确的有①③④； 故答案为①③④； 【小问3详解】 解：如图2， 由轴对称的性质可知：， ∵， ∴， ∴图2中由沿与直线垂直的方向平移得到，平移的距离为，故如果两条对称轴平行，那么两次轴对称相当于一次平移； 如图3， 由轴对称的性质可知：，， ∵， ∴， ∴图3中由绕点顺时针旋转得到，旋转角为，故如果两条对称轴相交，那么两次轴对称相当于一次旋转； 故答案为，，． 23. 阅读材料：分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和，如：或．阅读下面拆分成几个不同单位分数之和的过程： 拆法一：设正整数满足：，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 拆法二：． （1）参考上述方法，直接写出拆分成几个不同单位分数相加的形式；（要求：写出三种拆分形式即可） （2）对于任意质数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式． 【答案】（1），，； （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式规律性问题， 第一小题参考阅读材料中的拆法，通过解方程或选择乘数分解分子得到三种拆分形式； 第二小题仿照拆法一，利用因式分解推导出对于任意质数  的拆分公式． 【小问1详解】 解：参考拆法一：设正整数满足：，则 ， 整理得 ， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 参考拆法二：选择分子分母同时乘 ，则 ，∵ ，且  均为  的因数，∴ ． 选择分子分母同时乘 ，则 ，∵ ，且  均为  的因数，∴ ， ∴ 可以拆分成为 ，，． 【小问2详解】 证明：设正整数满足 ， ∵  为质数且 ， ∴， ∴ ∴， ∴  的正因数对为  或 ，但， ∴ ，， ∴ 解得，． ∵  为质数，∴  为奇数， 为偶数， 和  均为整数． ∴ ． 24. 数学活动：探究两个正数平方和与积的规律 （1）通过估算下列两组中两个正数a，b积的大小，直接写出你发现的规律，并加以证明． 第一组 5 32 4 4 32 16 3 32 第二组 5 72 6 6 72 36 7 72 （2）如图，中，，．以，为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，求的最小值，并判断此时的形状． 【答案】（1） ， 证明如下： ∵， ∴，当且仅当时取等号； （2）最小值为4，此时是等腰三角形 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式、平方的非负性质，等腰三角形的判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握完全平方公式、等腰三角形的判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）根据完全平方公式可进行求解； （2）过点C作于点F，由题意易得，然后可得，，进而根据（1）中结论可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点C作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由可知：， ∴当且仅当取等号，的最小值为，此时是等腰三角形． 25. 如图1，是等边三角形，D，E分别是边，上的点，与交于点G，且． （1）求证：． （2），垂足为G，交于点H． ①如图2，若H为中点，求证：． ②如图3，请从（i），（ii）中选择一个作为条件，另一个作为结论，组成真命题，并证明． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2） ①证明：延长至点F，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵H为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②若选为条件，为结论，该命题为真命题；证明如下： 过点E作于点P，连接，如图所示： 由①可知：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 若选为条件，为结论，该命题是真命题，证明如下： 在上截取，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）①延长至点F，使得，连接，由题意易得，则有，然后可得，则可证明，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求证； ②由题意可分若选为条件，为结论，若选为条件，为结论，然后根据含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定可进行求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田市2025-2026学年上学期八年级期末质量调研测试 数学 （满分150分；考试时间：120分钟） 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列常见的运动图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得，，那么的距离可能是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 4. 如图，，若，，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 5. 近来，中国芯片技术获得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（ ） A. B. C. D. 8. 根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 9. 两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A. 的平分线上 B. 外角的平分线上 C. 边的垂直平分线上 D. 外角的平分线上 10. 如图，中，，为边上的中线，．E为边上的动点，F，G为上的动点，且的长为定值．连接，，当取最小值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在平面直角坐标系中，点（-1，2）关于y轴对称的点的坐标是________． 12. 计算：1012﹣992＝_____． 13. 命题“两直线平行,内错角相等"的逆命题是一个______________命题（填“真”或“假”） 14. 计算：____． 15. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提到“杨辉三角”（如图）．此图揭示的（n为非负整数）展开式的次数及各项系数的规律．利用规律写出的展开式为____． 的展开式 …… 展开式各项的系数 16. 如图为货车长方体货箱的平面示意图，货箱长为6.8米，高始终与水平地面垂直．现有一较重但分布均匀的正方体货物，工人师傅将货物沿坡面推送至重心处在适当位置时，无需借助工具即可将货物轻松平放进货箱．此时，正方体货物点H到直线的距离为1米，则正方体货物点G到直线的距离为____米． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 化简：．下面是小伊、小辰两位同学的部分运算过程： 解：原式 … 解：原式 … （1）小伊同学解法的依据是______，小辰同学解法的依据是_______；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一位同学的解法，写出完整的解答过程． 19. 为了测量河两岸相对的两点A，B的距离，聪明的小贝想出了一个巧妙的办法：如图，她站在河边点A（为小贝眼睛到地面的距离，），调整帽檐，刚好看到河对岸点B．再从点A后退到点C（，），退到刚好通过帽檐能看到自己刚才的位置点A（即）．那么测量出的长就是的长．请你说明理由． 20. 为了满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，某小区计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩．购置充电桩的相关信息如下表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：x元/个 单价：元/个 若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价． 21. 如图，中，是它的角平分线．D是边上一点，延长至E，使．若，求证：． 22. 下面是某数学小组一份研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“轴对称”的研究报告 研究目的 探究图形关于直线对称的性质 研究方法 观察（测量、实验）——猜想——推理、验证 研究内容 【I】探究图形关于直线一次对称 （1）操作与观察：如图1，和直线，点C在直线上．求作，使与关于直线对称，其中点D与A为对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）探究与发现：观察（1）中图形，得到以下结论： ①线段，被直线垂直平分； ②； ③边上的高与边上的高相等； ④若线段，所在的直线相交，则交点在直线上． 其中正确的是_____；（写出所有正确结论的序号） （3）推理与验证：…… 【Ⅱ】探究图形关于直线两次对称 （1）操作与观察：如图2，和直线，，且其距离为n．先作关于直线对称，再作关于直线对称． 如图3，和直线，，，相交于点且其所夹锐角为．先作关于直线对称，再作关于直线对称． （2）探究与发现：图2中由沿与直线垂直的方向平移得到，平移的距离为___▲___，故如果两条对称轴平行，那么两次轴对称相当于一次平移；图3中由绕点___●___顺时针旋转得到，旋转角为___■____，故如果两条对称轴相交，那么两次轴对称相当于一次旋转． （3）推理与验证：…… 任务： （1）完成“研究内容”【I】中的第（1）题； （2）完成“研究内容”【I】中的第（2）题； （3）写出“研究内容”【Ⅱ】中“▲”处空缺的内容：_______，“●”处空缺的内容：______，“■”处空缺的内容：_________． 23. 阅读材料：分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和，如：或．阅读下面拆分成几个不同单位分数之和的过程： 拆法一：设正整数满足：，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 拆法二：． （1）参考上述方法，直接写出拆分成几个不同单位分数相加的形式；（要求：写出三种拆分形式即可） （2）对于任意质数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式． 24. 数学活动：探究两个正数平方和与积的规律 （1）通过估算下列两组中两个正数a，b积的大小，直接写出你发现的规律，并加以证明． 第一组 5 32 4 4 32 16 3 32 第二组 5 72 6 6 72 36 7 72 （2）如图，中，，．以，为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，求的最小值，并判断此时的形状． 25. 如图1，是等边三角形，D，E分别是边，上的点，与交于点G，且． （1）求证：． （2），垂足为G，交于点H． ①如图2，若H为中点，求证：． ②如图3，请从（i），（ii）中选择一个作为条件，另一个作为结论，组成真命题，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $