2026年中考第一轮复习讲义（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第12课时：《反比例函数及应用》

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第12课时 反比例函数及应用 一、核心知识 （一）反比例函数的定义与表达式 定义：形如____________（k 为常数，且______k≠0______）的函数叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。 三种等价表达式： 一般式：______（k≠0）______； 乘积式： xy = k（k≠0） ； 负指数式： y = k（k≠0） 。 自变量取值范围：x______≠0______（分母不能为 0），函数值 y 也不为 0。 （二）反比例函数的图象与性质 图象形状：反比例函数的图象是______双曲线______，有两个分支，关于______原点______对称。 核心性质（由 k 的符号决定）： 当 k > 0 时： 图象分布在第______一、三______象限； 在每个象限内，y 随 x 的增大而______减小______； 当 k < 0 时： 图象分布在第______二、四______象限； 在每个象限内，y 随 x 的增大而______增大______； 图象特征： 双曲线无限接近 x 轴和 y 轴，但______永远不会与坐标轴相交______（x≠0，y≠0）； |k | 越大，双曲线的分支离原点越______远______；|k | 越小，分支离原点越近。 （三）反比例函数中 k 的几何意义（高频考点） 基本模型：过双曲线上任意一点 P (x, y) 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 A、B，则： 矩形 OAPB 的面积 = OA×OB = |x|×|y| = |k| ； 三角形 OAP（或 OBP）的面积 = ×|x|×|y| = |k| 。 拓展模型：过双曲线上两点作坐标轴的垂线，形成的同底等高三角形或梯形面积，可通过 | k | 的关系求解。 （四）反比例函数与其他函数的关联 与一次函数的交点：联立反比例函数与一次函数解析式，解方程组可得交点坐标，交点个数可能为______0 个、1 个或 2 个______（取决于方程组的解的情况）； 与方程的关联：反比例函数 的图象上点的坐标是方程 xy = k 的解； 与不等式的关联：根据反比例函数与一次函数的图象位置关系，可求解不等式 > mx + b（或 < 0） 的解集。 （五）反比例函数的应用 常见应用场景： 行程问题：路程一定时，速度 v 与时间 t 成反比例（v = ，s 为定值）； 工程问题：工作量一定时，工作效率 p 与工作时间 t 成反比例（p = ，w 为定值）； 几何问题：矩形面积一定时，长 a 与宽 b 成反比例（ab = S，S 为定值）； 其他场景：总价一定时，单价与数量、压强一定时，压力与受力面积等。 解题步骤：审（找定量关系）→ 设（函数表达式）→ 列（代入已知条件求 k）→ 解（根据题意求解未知量）→ 验（检验解的合理性）→ 答。 二、核心能力 （一）反比例函数解析式求解 题型 1：已知一点坐标求解析式解题思路 直接将点坐标代入 （或 xy = k），求出 k 的值，即可得到解析式。 题型 2：已知 k 的几何意义求解析式解题思路 根据几何图形面积求出 | k|，再结合图象所在象限确定 k 的符号，进而写出解析式。 题型 3：与一次函数综合求解析式解题思路 先根据一次函数的条件求出一次函数解析式，再联立交点坐标求反比例函数的 k 值。 （二）反比例函数图象与性质分析 题型 1：由 k 的符号判断图象或由图象求 k 的范围解题思路 k>0 对应一、三象限，k<0 对应二、四象限，结合选项排除错误答案；若图象过特定点，可列不等式确定 k 的范围。 题型 2：增减性应用解题思路： 先判断 k 的符号，确定增减性，再根据自变量的大小关系（注意 “同一象限” 这个前提）判断函数值的大小。 （三）k 的几何意义应用 题型 1：求图形面积解题思路 识别图形类型（矩形、三角形、梯形），直接利用 k 的几何意义公式计算，注意多象限图形需结合 | k | 分析。 题型 2：由面积求 k 的值解题思路 根据图形面积求出 | k|，再根据图象所在象限确定 k 的正负，注意多个交点时需分情况讨论。 （四）反比例函数与一次函数综合 题型 1：求交点坐标解题思路 联立两个函数解析式，解二元方程组，注意检验解是否使反比例函数的分母不为 0。 题型 2：求不等式解集解题思路： 结合图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方（或下方）对应的 x 的取值范围，注意分象限讨论。 （五）反比例函数实际应用 题型 1：定量关系类应用（行程、工程、几何）解题思路 确定题目中的定量（如路程、工作量、面积），设反比例函数表达式，代入已知条件求 k，再根据题意求解未知量。 题型 2：综合应用（结合一次函数、不等式）解题思路： 先列反比例函数表达式，再结合一次函数表示的变量关系（如涨价后的单价、提高后的效率），列不等式或方程求解最优方案。 三、易错警示 忽略 “同一象限” 前提 错误：认为反比例函数 中，x₁< x₂时， y₁> y₂（未强调 x₁、x₂在同一象限）； 提醒：增减性仅在 “每个象限内” 成立，若 x₁、x₂分属不同象限，需先判断象限再比较函数值。 k 的几何意义混淆 错误：将三角形面积直接等同于 | k|（正确应为| k|； 提醒：牢记 “矩形面积 =|k|，三角形面积 =| k|”，避免面积公式记错。 交点求解忽略检验 错误：联立反比例函数与一次函数后，解得的 x 值未检验是否使反比例函数分母为 0； 提醒：反比例函数中 x≠0，需排除使分母为 0 的解。 符号判断错误 错误：由图象在一、三象限误判 k<0（正确应为 k>0）； 提醒：k 的符号与象限的对应关系需牢记，可通过特殊点坐标验证。 实际应用忽略自变量取值范围 错误：行程问题中解得时间为负数未舍去； 提醒：实际问题中自变量（时间、长度、速度）需为正数，需筛选符合题意的解。四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·成都模拟）若是反比例函数，则必须满足（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】此题暂无解析 【解答】根据反比例函数的定义．即，只需令，所以． 故选． 2.（24-25·湖南模拟）函数和在同一坐标系中的图象可以大致是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据反比例函数和一次函数的图象和性质，进行判断即可． 【解答】解：当时，经过第一、三象限，经过第二、三、四象限， 故、不符合题意； 当时，经过第二、四象限，经过第一、二、三、象限， 故符合题意，不符合题意； 故选：． 3.（23-24·四川中考）已知关于的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】首先根据一元二次方程无实数根确定的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置． 【解答】解：方程无实数根， 解得则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， 函数与函数的图象不会相交，则交点个数为， 故此题答案为． 4.（23-24·四川中考）如图，等腰三角形中反比例函数的图象经过点、及的中点轴与轴交于点．则的值为（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】过作的垂线垂足为与轴交于点，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果． 【解答】解：过作的垂线垂足为与轴交于点，如图， 在等腰三角形中是中点， 设 由中点为故等腰三角形中， 的中点为 即 由在反比例函数上得 解得 由题可知 ． 故此题答案为． 5.（24-25·河北中考）在反比例函数中，若，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解． 【解答】解：，，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时， 当时，， 故选：． 6.（24-25·山东模拟）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A. B. C.当时， D.当时， 【答案】D 【解析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可． 【解答】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值， ， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 综上，只有选项正确， 故选：． 7.（25-26·全国同步）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了双曲线的解析式，点的坐标与线段长度，解题的关键是得出双曲线的解析式． 把点的坐标代入，可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点和点的横坐标，代入解析式可得纵坐标，作差即可． 【解答】解：点在双曲线上， ， 双曲线， “双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且， 点的横坐标为，点的横坐标为， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， ， 故选：． 8.（24-25·山东模拟）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，先证明，，设，可得，，求解，过作于，再进一步求解即可． 【解答】解：菱形的顶点在轴正半轴上，， ，， ， 设， ， ， 解得：， 过作于， ， ， ， ； 故选：  9.（23-24·江苏中考）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例的图象交于点，则的值为（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】过作轴于，过作轴于，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【解答】解：过作轴于，过作轴于， ，，， ，，， ，即，（负值舍去）， 故此题答案为． 10.（24-25·山东模拟）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可． 【解答】解：延长交于点， 设， ， ， 轴，轴， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， ， ， ，， 反比例函数经过、两点， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，即， ， 故选：． 11.（24-25·江西模拟）如图，在平面直角坐标系中，点、点都在双曲线上，且点在点的右侧，点的横坐标为，，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键； 过作轴于，过作轴于，直线与交于点， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可． 【解答】解：过作轴于，过作轴于，直线与交于点，如图所示： 则， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第二象限， ， ，， ，，， ， ，， ， ， 双曲线经过，则, ， 解得：（舍），， 故选． 12.（24-25·安徽模拟）密度计常用来测量液体的密度．如图是一款自制的木棒密度计，将木棒依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值，并测量木棒浸入液体的深度，再利用收集的数据画出与的关系图象，如图所示．根据图象判断，下列说法正确的是（   ） A.密度越大，深度越大 B.若，则 C.密度均匀增加时，深度的变化量相同 D.密度计的刻度线越往上，对应的密度越小 【答案】D 【解析】此题考查了反比例函数的应用．直接观察函数图象，即可求解． 【解答】解：、观察图象得：密度越大，深度越小，故本选项错误，不符合题意； 、观察图象得：若，则，故本选项错误，不符合题意； 、观察图象得：密度均匀增加时，深度的变化量不相同，故本选项错误，不符合题意； 、根据题意得：密度计的刻度线越往上，对应的密度越小，故本选项正确，符合题意； 故选：  13.（25-26·吉林模拟）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．①函数解析式为；②当时，；③当时，；④当电压一定时，电流随电阻的增大而减小．上述说法正确的是（    ） A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 【答案】A 【解析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 将代入求出的值，再根据反比例函数的图象与性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：设，将代入可得， ，故①正确； 当，，故②错误； 当，， ， 在第一象限内，随着的增大而减小， 时，，故③正确，且④正确， 综上所述，说法正确的是①③④； 故选：． 14.（24-25·贵州中考）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为．有以下结论： ①线段的长为； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求出点的坐标进而求出的长，判断①，联立两个函数解析式，求出点坐标，判断②，图象法判断③即可． 【解答】解：点的横坐标为， ， ， 过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点， ； ；故①正确； 联立，解得：或（舍去）； 点的坐标为，故②正确； 由图象可知，当，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误； 故选．   15.（24-25·全国模拟）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】B 【解析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【解答】解：四边形是矩形， 又是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， 在直线上，则重合， 与的面积不可能相等，故②不正确， 等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：．  （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·广西模拟）在平面直角坐标系中，若函数 的图像经过点和，则的值为___1___． 【答案】1 【解析】根据反比例函数图像上的点的两个坐标的积等于定值，得，解答即可．本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质，并列出等式是解题的关键． 【解答】∵ 函数 的图像经过点和， ， ， 故答案为：1． 17.（25-26·山东月考）已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么______（答案不唯一）_______（请写出一个符合条件的值）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据点，在反比例函数的图象上，且，得到在同一象限内随着的增大而减小，进而得到图象过一，三象限，得到，即可． 【解答】解：点，在反比例函数的图象上， 又，， 在同一象限内随着的增大而减小， 双曲线过一，三象限， ， （答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）．  18.（25-26·山东月考）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接．若，则_________________． 【答案】 【解析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点作轴于，过点作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【解答】解：如图所示，过点作轴于，过点作轴， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ， ， ， ， 故答案为：． 19.（24-25·达州模拟）如图，点是双曲线上的动点，过点作轴的平行线交双曲线于点，作轴于点，连接，若四边形为平行四边形，则的值是_____12_______． 【答案】 【解析】延长交轴于点，过作轴，结合反比例函数的几何意义即可得到答案； 【解答】解：延长交轴于点，过作轴， 点是双曲线，轴， ，， 四边形为平行四边形， ， 轴，轴，轴， ， 点在上， ， 解得：， 故答案为； 20.（24-25·内蒙古模拟）小明要把一篇文章录入电脑，所需时间与录入文字的速度（字）之间的函数关系如图所示．如果小明要在内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为_____200_______字． 【答案】 【解析】根据录入的时间录入总量录入速度即可得出函数关系式；根据反比例函数的性质即可得到结论求解即可． 【解答】解∶设， 把代入，得， ， ， 当时，， ， 在第一象限内，随的增大而减小， 小明录入文字的速度至少为字． 故答案为：200  21.（25-26·甘肃模拟）如图，是反比例函数图象上的一点，过点向轴作垂线交于点，连接．若图中阴影部分的面积是，则此反比例函数的解析式为___________． 【答案】． 【解析】根据反比例函数系数的几何意义可知，的面积，再根据图象所在象限求出的值即可． 【解答】解：依据比例系数的几何意义可得， 面积等于， 即， ， 由于函数图象位于第一、三象限，则， 反比例函数的解析式为； 故答案为． 22.（24-25·广东模拟）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化，已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，点在图象上，当时，气体的密度________6________． 【答案】 【解析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，由函数与方程的关系，通过待定系数法求出关系式，将代入函数解析式求解即可． 【解答】解：设与体积的函数解析式为，将代入， 得， 解得， ， 将代入，得， 故答案为：6 23.（24-25·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，分别以点，点为圆心，画半径为的和．当，分别与轴相切时，切点分别为点和点，连接，，则阴影部分图形的面积和为______________．（结果保留） 【答案】 【解析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则点的纵坐标为，代入解析式求得的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和． 【解答】解：当，分别与轴相切时，切点分别为点和点， 轴，轴， 半径为， ， 点的纵坐标为， 把代入，求得， ， ，， ， ， 第一象限中阴影的面积， 同理，第三象限中阴影的面积， ． 故答案为：． 24.（24-25·山东模拟）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是____________． 【答案】 【解析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【解答】解：点的坐标为， 点的横坐标为， 点的坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为， 同理点的横坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 四个点一个循环， 余， 点的坐标与点相同，是， 故答案为：．  25.（25-26·全国同步）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点作直线交轴于点，连接，则的面积是_____20_______． 【答案】 【解析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，求出的值，设，根据，利用勾股定理求出的值，进而求出的长，进而求出的面积即可． 【解答】解：直线与双曲线交于，两点， ， ， ， 设， 则：，，， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， 的面积是； 故答案为：20 （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）  26.（24-25·贵州模拟）已知反比例函数为常数，的图象经过． （1）求这个函数的表达式； （2）若将点先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，且点和点(、两点不重合)）都在该反比例函数的图象上，求的值． 【答案】 【解析】（1）将点代入反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，再根据坐标的平移得到点的坐标，将点代入反比例函数解析式，得到关于的一元二次方程，求解即可． 【解答】（1）解：将点代入反比例函数得，， 解得：， 即这个函数的解析式为； （2）解：点在该反比例函数的图象上， ， ， 点先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点， ， 点在该反比例函数的图象上， ， 解得，或（舍去）． 的值为5  27.（23-24·重庆中考）如图，在中点为上一点，过点作交于点．设的长度为点的距离为的周长与的周长之比为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；请分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】； 函数图象见解答随增大而增大随增大而减小； 【解析】此题暂无解析 【解答】（1）解： （2）解：如图所示，即为所求.由函数图象可知随增大而增大随增大而减小. （3）解：由函数图象可知，当时的取值范围． 28.（23-24·山东中考）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： ________ ________ ________ （1）求、的值，并补全表格； （2）结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 【答案】，补全表格见解析 的取值范围为或； 【解析】（1）根据表格信息建立方程组求解的值，再求解的值，再补全表格即可； （2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图像可得答案. 【解答】（1）解：当时，，即， 当时，，即， ， 解得：， 一次函数为， 当时，， 当时，，即， 反比例函数为：， 当时，， 当时，， 当时，， 补全表格如下： （2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，， 当的图像在的图像上方时，的取值范围为或； 29.（23-24·四川中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴相交于点与反比例函数的图象相交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直线与反比例函数和的图象分别交于点，且求点的坐标． 【答案】一次函数解析式为反比例函数解析式为 【解析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先利用反比例函数比例系数的几何意义得到进而得到；再证明推出设则求出可得解方程即可得到答案． 【解答】 （1）解：把代入中得解得反比例函数解析式为； 把代入中得 一次函数解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴于，设与轴交于，直线与反比例函数和的图象分别交于点， ； 轴，点在反比例函数的图象上， 设则 解得或（舍去）， 经检验是原方程的解，且符合题意， ． 30.（25-26·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当时，请根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）过直线上的点作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 【答案】； 【解析】（1）先根据点利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围； （3）根据题意得出，，根据反比例函数的几何意义得出，则，即可求解． 【解答】 （1）解：反比例函数的图象过点 ， 故反比例函数的表达式为 把点代入反比例函数得，，解得 点的坐标为 一次函数的图象经过 、两点 ，解得 故一次函数的表达式为； （2） ，即一次函数图象在反比例函数图象的上方 ； （3）点横坐标为，代入 解得： 当时，代入，得 解得： 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ， ， ， ． 31.（24-25·新疆模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若点是轴负半轴上一点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，连接，．当时，求点的坐标； （3）当时，请直接写出不等式的解． 【答案】反比例函数表达式为：；一次函数的解析式为 或 【解析】（1）先将代入，求出，再将代入求出，再将，的坐标分别代入，即可求出，； （2）利用点坐标和三角形的面积公式列方程求解即可 （3）由题意可知反比例函数值大于等于一次函数值，由图像交点，两点，得解集∶ 或． 【解答】（1）解∶ 代入，得， 反比例函数为∶， 将将代入， 得 ．则 将，代入， 得解得 一次函数为∶ （2）解：中，当时，， ． ，点在上且， ． 解得． ， ． 点的坐标． （3）解：由，则， 即反比例函数值大于等于一次函数值． 由图像交点，两点， 得解集∶ 或 32.（24-25·山东模拟）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）点的注意力指标数是____24_____； （2）当时，求注意力指标数随时间（分）的函数解析式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 【答案】 张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于 【解析】（1）设的解析式为：，将代入即可求解； （2）当时，设的解析式为，代入两点的坐标即可求解； （3）分别求解当时，；当时，；即可判断； 【解答】（1）解：设的解析式为：， 由得， ， 由图可知：点的注意力指标数是． （2）解：当时，设的解析式为， ， ． ． （3）解：张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 理由：当时，，解得； 当时，反比例函数解析为， 当时，，解得． 当时，注意力指标数都不低于． 而， 张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 33.（24-25·湖北模拟）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 拉力的大小 （1）表格中的值是__100_____； （2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （3）根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【答案】 见解答 当的长增大时，拉力减小，理由见解析 【解析】（1）根据表格中的数据找出规律，求出的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【解答】1）解：根据表格中的数据发现： ， 因此点与点的距离与拉力的乘积不变， ； （2）解：与之间的函数图象，如图所示： （3）解：由函数图象可知：是的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，随的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小． 34.（24-25·山东模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求一次函数的表达式以及点的坐标． （2）利用图象，直接写出关于的不等式的解集． （3）如图，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式． 【答案】， 或 【解析】（1）根据题意把代入，求得反比例函数解析式，把代入反比例函数解析式求得，再利用待定系数法求得一次函数的表达式，利用一次函数解析式求出其与轴交点，即可解题； （2）根据函数图像确定一次函数图像在反比例函数图像上方的自变量的取值范围即可； （3）利用一次函数解析式得到点坐标，过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点，结合旋转的性质和等腰三角形性质证明，利用全等三角形性质得到坐标，设旋转后直线的解析式为，利用待定系数法求得旋转后所得直线的函数表达式即可． 【解答】 （1）解：把代入，得：，解得：， 把代入得：， 把，代入得： ，解得：， 所以一次函数的表达式为， 把代入，得，， ； （2）解：由图知，不等式的解集为：或； （3）解：把代入，得， ， 过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点， ， ，， ， 由旋转的性质可得：， ， ， ， ， ，， ， ， 设旋转后直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， 所以旋转后直线的解析式为． 35.（24-25·黑龙江模拟）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． （1）如图，点是线段的中外比点，，，求的长． （2）如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 【答案】 见解答 当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点，证明过程见解析 【解析】（1）设，根据题意，得，解分式方程，即可求解； （2）①作线段的垂直平分线，交于点；②过点作，且；③连接；④以点为圆心，为半径，画弧，交于点；⑤以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为线段的中外比点． 设，根据勾股定理求得，继而求得，，分别代入、，即可求证点为线段的中外比点； （3）当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，分三种情况讨论：①当时，证得，设点，则，根据点、在反比例函数的图象上，可构建方程，解得，分别求得、、、、、的值，即可求证．设直线的函数解析式为，利用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立方程组，求得点的坐标，即可求证；②当，同理可证点，，分别为，，的中外比点；③当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符． 【解答】（1）解：设，则， 根据题意，得：，即， 整理，得：，解得：，， ， 舍去， ． （2）解：如图所示，点为所求． 设， 根据题意，得：，， ， ，， ，， ， 点为线段的中外比点． （3）解：当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，理由如下： 第一种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， ，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第二种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第三种情况：当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在． 综上所述，当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第12课时 反比例函数及应用 一、核心知识 （一）反比例函数的定义与表达式 定义：形如___________（k 为常数，且___________）的函数叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。 三种等价表达式： 一般式：___________； 乘积式： ； 负指数式： 。 自变量取值范围：x___________（分母不能为 0），函数值 y 也不为 0。 （二）反比例函数的图象与性质 图象形状：反比例函数的图象是____________，有两个分支，关于___________对称。 核心性质（由 k 的符号决定）： 当 k > 0 时： 图象分布在第____________象限； 在每个象限内，y 随 x 的增大而____________； 当 k < 0 时： 图象分布在第____________象限； 在每个象限内，y 随 x 的增大而___________； 图象特征： 双曲线无限接近 x 轴和 y 轴，但____________（x≠0，y≠0）； |k | 越大，双曲线的分支离原点越____________；|k | 越小，分支离原点越近。 （三）反比例函数中 k 的几何意义（高频考点） 基本模型：过双曲线上任意一点 P (x, y) 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 A、B，则： 矩形 OAPB 的面积 = = ； 三角形 OAP（或 OBP）的面积 = 。 拓展模型：过双曲线上两点作坐标轴的垂线，形成的同底等高三角形或梯形面积，可通过 | k | 的关系求解。 （四）反比例函数与其他函数的关联 与一次函数的交点：联立反比例函数与一次函数解析式，解方程组可得交点坐标，交点个数可能为____________（取决于方程组的解的情况）； 与方程的关联：反比例函数 的图象上点的坐标是方程 的解； 与不等式的关联：根据反比例函数与一次函数的图象位置关系，可求解不等式 的解集。 （五）反比例函数的应用 常见应用场景： 行程问题：路程一定时，速度 v 与时间 t 成反比例（v = ，s 为定值）； 工程问题：工作量一定时，工作效率 p 与工作时间 t 成反比例（p = ，w 为定值）； 几何问题：矩形面积一定时，长 a 与宽 b 成反比例（ab = S，S 为定值）； 其他场景：总价一定时，单价与数量、压强一定时，压力与受力面积等。 解题步骤：审（找定量关系）→ 设（函数表达式）→ 列（代入已知条件求 k）→ 解（根据题意求解未知量）→ 验（检验解的合理性）→ 答。 二、核心能力 （一）反比例函数解析式求解 题型 1：已知一点坐标求解析式解题思路 直接将点坐标代入 （或 xy = k），求出 k 的值，即可得到解析式。 题型 2：已知 k 的几何意义求解析式解题思路 根据几何图形面积求出 | k|，再结合图象所在象限确定 k 的符号，进而写出解析式。 题型 3：与一次函数综合求解析式解题思路 先根据一次函数的条件求出一次函数解析式，再联立交点坐标求反比例函数的 k 值。 （二）反比例函数图象与性质分析 题型 1：由 k 的符号判断图象或由图象求 k 的范围解题思路 k>0 对应一、三象限，k<0 对应二、四象限，结合选项排除错误答案；若图象过特定点，可列不等式确定 k 的范围。 题型 2：增减性应用解题思路： 先判断 k 的符号，确定增减性，再根据自变量的大小关系（注意 “同一象限” 这个前提）判断函数值的大小。 （三）k 的几何意义应用 题型 1：求图形面积解题思路 识别图形类型（矩形、三角形、梯形），直接利用 k 的几何意义公式计算，注意多象限图形需结合 | k | 分析。 题型 2：由面积求 k 的值解题思路 根据图形面积求出 | k|，再根据图象所在象限确定 k 的正负，注意多个交点时需分情况讨论。 （四）反比例函数与一次函数综合 题型 1：求交点坐标解题思路 联立两个函数解析式，解二元方程组，注意检验解是否使反比例函数的分母不为 0。 题型 2：求不等式解集解题思路： 结合图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方（或下方）对应的 x 的取值范围，注意分象限讨论。 （五）反比例函数实际应用 题型 1：定量关系类应用（行程、工程、几何）解题思路 确定题目中的定量（如路程、工作量、面积），设反比例函数表达式，代入已知条件求 k，再根据题意求解未知量。 题型 2：综合应用（结合一次函数、不等式）解题思路： 先列反比例函数表达式，再结合一次函数表示的变量关系（如涨价后的单价、提高后的效率），列不等式或方程求解最优方案。 三、易错警示 忽略 “同一象限” 前提 错误：认为反比例函数 中，x₁< x₂时， y₁> y₂（未强调 x₁、x₂在同一象限）； 提醒：增减性仅在 “每个象限内” 成立，若 x₁、x₂分属不同象限，需先判断象限再比较函数值。 k 的几何意义混淆 错误：将三角形面积直接等同于 | k|（正确应为| k|； 提醒：牢记 “矩形面积 =|k|，三角形面积 =| k|”，避免面积公式记错。 交点求解忽略检验 错误：联立反比例函数与一次函数后，解得的 x 值未检验是否使反比例函数分母为 0； 提醒：反比例函数中 x≠0，需排除使分母为 0 的解。 符号判断错误 错误：由图象在一、三象限误判 k<0（正确应为 k>0）； 提醒：k 的符号与象限的对应关系需牢记，可通过特殊点坐标验证。 实际应用忽略自变量取值范围 错误：行程问题中解得时间为负数未舍去； 提醒：实际问题中自变量（时间、长度、速度）需为正数，需筛选符合题意的解。四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·成都模拟）若是反比例函数，则必须满足（    ） A. B. C. D. 2.（24-25·湖南模拟）函数和在同一坐标系中的图象可以大致是（    ） A. B. C. D. 3.（23-24·四川中考）已知关于的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（      ） A. B. C. D. 4.（23-24·四川中考）如图，等腰三角形中反比例函数的图象经过点、及的中点轴与轴交于点．则的值为（      ） A. B. C. D. 5.（24-25·河北中考）在反比例函数中，若，则（   ） A. B. C. D. 6.（24-25·山东模拟）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A. B. C.当时， D.当时， 7.（25-26·全国同步）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高（   ） A. B. C. D. 8.（24-25·山东模拟）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（   ） A. B. C. D. 9.（23-24·江苏中考）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例的图象交于点，则的值为（      ） A. B. C. D. 10.（24-25·山东模拟）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A. B. C. D. 11.（24-25·江西模拟）如图，在平面直角坐标系中，点、点都在双曲线上，且点在点的右侧，点的横坐标为，，则的值为（   ） A. B. C. D. 12.（24-25·安徽模拟）密度计常用来测量液体的密度．如图是一款自制的木棒密度计，将木棒依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值，并测量木棒浸入液体的深度，再利用收集的数据画出与的关系图象，如图所示．根据图象判断，下列说法正确的是（   ） A.密度越大，深度越大 B.若，则 C.密度均匀增加时，深度的变化量相同 D.密度计的刻度线越往上，对应的密度越小  13.（25-26·吉林模拟）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．①函数解析式为；②当时，；③当时，；④当电压一定时，电流随电阻的增大而减小．上述说法正确的是（    ） 14.（24-25·贵州中考）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为．有以下结论： ①线段的长为； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（  ） A. B. C. D. 15.（24-25·全国模拟）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④  （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·广西模拟）在平面直角坐标系中，若函数 的图像经过点和，则的值为_____． 17.（25-26·山东月考）已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么_____________（请写出一个符合条件的值）．  18.（25-26·山东月考）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接．若，则_____________． 19.（24-25·达州模拟）如图，点是双曲线上的动点，过点作轴的平行线交双曲线于点，作轴于点，连接，若四边形为平行四边形，则的值是___________． 20.（24-25·内蒙古模拟）小明要把一篇文章录入电脑，所需时间与录入文字的速度（字）之间的函数关系如图所示．如果小明要在内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为____________字． 21.（25-26·甘肃模拟）如图，是反比例函数图象上的一点，过点向轴作垂线交于点，连接．若图中阴影部分的面积是，则此反比例函数的解析式为__________． 22.（24-25·广东模拟）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化，已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，点在图象上，当时，气体的密度____________． 23.（24-25·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，分别以点，点为圆心，画半径为的和．当，分别与轴相切时，切点分别为点和点，连接，，则阴影部分图形的面积和为____________．（结果保留） 24.（24-25·山东模拟）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是____________．   25.（25-26·全国同步）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点作直线交轴于点，连接，则的面积是__________． （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）  26.（24-25·贵州模拟）已知反比例函数为常数，的图象经过． （1）求这个函数的表达式； （2）若将点先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，且点和点(、两点不重合)）都在该反比例函数的图象上，求的值． 27.（23-24·重庆中考）如图，在中点为上一点，过点作交于点．设的长度为点的距离为的周长与的周长之比为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；请分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 28.（23-24·山东中考）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： ________ ________ ________ （1）求、的值，并补全表格； （2）结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 29.（23-24·四川中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴相交于点与反比例函数的图象相交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直线与反比例函数和的图象分别交于点，且求点的坐标． 30.（25-26·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当时，请根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）过直线上的点作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 31.（24-25·新疆模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若点是轴负半轴上一点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，连接，．当时，求点的坐标； （3）当时，请直接写出不等式的解． 32.（24-25·山东模拟）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）点的注意力指标数是________； （2）当时，求注意力指标数随时间（分）的函数解析式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 33.（24-25·湖北模拟）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 拉力的大小 （1）表格中的值是_____； （2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （3）根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 34.（24-25·山东模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求一次函数的表达式以及点的坐标． （2）利用图象，直接写出关于的不等式的解集． （3）如图，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式． 35.（24-25·黑龙江模拟）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． （1）如图，点是线段的中外比点，，，求的长． （2）如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $