8.1.2 向量数量积的运算律 课后达标 检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)＝(　　) A． B． C．3 D．5 解析：选C.由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3. 2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选C.由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，又|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝1.故选C. 3．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：选D.因为a∥b且a⊥c， 所以b⊥c，所以a·c＝0，b·c＝0， c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0. 4．已知向量a，b的夹角为60°， 且|a|＝2，|a－2b|＝2，则向量b在a上的投影的数量为(　　) A． B． C． D．1 解析：选B.由题设，|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝28，而a·b＝|a||b|cos 60°＝|a|·|b|＝|b|，所以|b|2－|b|－6＝0，可得|b|＝3或|b|＝－2(舍去)，则向量b在a上的投影的数量为|b|cos 60°＝.故选B. 5．已知a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝(　　) A． B．－ C．9 D．－9 解析：选B.由题意，可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，所以a·b＋b·c＋c·a＝－. 6．(多选)设向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝1，则(　　) A．a与b的夹角为60° B．|a|2＋|b|2＝1 C．(a＋2b)·(2a＋b)＝2 D．a⊥b 解析：选BCD.对于A，D，因为|a＋b|＝|a－b|，故(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，故a·b＝0，故a与b的夹角为90°，a⊥b，故A错误，D正确； 对于B，因为|a＋b|＝1，故a2＋2a·b＋b2＝1，又因为a·b＝0，故|a|2＋|b|2＝1，故B正确； 对于C，(a＋2b)·(2a＋b)＝2a2＋5a·b＋2b2＝2(a2＋b2)＝2，故C正确．故选BCD. 7．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|＝________． 解析：因为|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，所以|2a＋3b|＝16. 答案：16 8．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，|a＋b|＝，则a与b的夹角为________． 解析：因为|a|＝2，|b|＝，|a＋b|＝，所以a2＋b2＋2a·b＝2，所以a·b＝－2，设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，因为0≤θ≤π，所以θ＝. 答案： 9．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝3，AB＝6，DE＝EC，BF＝BC，设＝a，＝b，则＝______________(用a，b表示)，·＝____________． 解析：因为DE＝EC，所以＝＋＝＋＝＋＝a＋b.因为BF＝BC，所以＝＋＝＋＝＋＝a＋b，因此·＝(a＋b)·(a＋b)＝a2＋a·b＋b2.因为∠DAB＝60°，AD＝3，AB＝6，所以|a|＝6，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，所以·＝×36＋×6×3×＋×9＝. 答案：a＋b　 10．已知平面向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝. (1)求a与b的夹角θ； (2)若c＝t a＋b，且a⊥c，求t的值及|c|. 解：(1)由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝7， 所以1－2×1×2×cos θ＋4＝7， 所以cos θ＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝. (2)因为a⊥c，所以a·(ta＋b)＝0， 所以ta2＋a·b＝0，所以t＋1×2×＝0， 所以t＝1，即c＝a＋b，所以c2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×＋4＝3.所以|c|＝. 11．已知a，b为非零向量，若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 解析：选D.由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|，可得3a2＝b2，所以|b|＝|a|，设向量a－b与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.故选D. 12．已知P是△ABC所在平面上一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 解析：选B.由|－|－|＋－2|＝0，可得||＝|＋－2|，即||＝|＋|，即|－|＝|＋|.等式|－|＝|＋|两边平方，化简得·＝0，所以⊥，即AB⊥AC，因此，△ABC是直角三角形．故选B. 13．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量．若a＝3e1＋2e2，b＝t e1＋2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，则t的取值范围是________． 解析：因为a，b的夹角为锐角， 所以a·b>0，且a，b不同向共线， 当a·b>0时，(3e1＋2e2)·(t e1＋2e2) ＝3t e＋(6＋2t)e1·e2＋4e ＝3t＋(6＋2t)＋4>0， 解得t>－，当a，b同向共线时，存在唯一的实数λ(λ>0)，使a＝λb，即3e1＋2e2＝λ(t e1＋2e2)， 所以解得 所以当t≠3时，a，b不同向共线， 综上，t的取值范围为(－，3)∪(3，＋∞). 答案：(－，3)∪(3，＋∞) 14．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°. (1)求证：(a－b)⊥c； (2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围． 解：(1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1， 且a，b，c之间夹角均为120°， 所以(a－b)·c＝a·c－b·c ＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0， 所以(a－b)⊥c. (2)因为|ka＋b＋c|>1， 所以(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)>1， 即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1. 因为a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－， 所以k2－2k>0， 解得k<0或k>2， 即k的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞). 15．顺次连接图1中“大雪花”各顶点可近似得到正六边形ABCDEF(如图2).已知正六边形的边长为1，点M满足＝(＋)，则||＝______________；若点P是正六边形内部一点(包含边界)，则·的最大值是________． 解析：由题可知||＝||＝1，〈，〉＝， 所以2＝(＋)2 ＝(2＋2·＋2) ＝×(1－2×＋1)＝，所以||＝. 设向量，的夹角为θ，P在直线AB上的投影为P′，要使·最大，则θ∈，因为·＝||·||cos θ＝||||，由图可知当P在C处时，·最大， 此时||＝||＝，θ＝， ·＝×1×＝. 答案：　 16. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD边上运动(含C，D点). (1)若点F是CD上靠近点C的三等分点，设＝λ＋μ，求λ＋μ的值； (2)若AB＝2，当·＝1时，求 cos ∠EAF 的值． 解：(1)因为E是BC的中点，点F是CD上靠近点C的三等分点， 所以＝＝，＝－＝－，所以＝＋＝－＋， 又＝λ＋μ， 所以λ＝－，μ＝，故λ＋μ＝－＋＝. (2)设＝m(0≤m≤1)， 则＝＋＝－m， 又＝＋＝＋，·＝0， 所以·＝(＋)·(－m)＝－m2＋2＝－4m＋2＝1，故m＝. 所以·＝(＋)·(＋)＝2＋2＝3＋2＝5， 易得||＝，||＝， 所以cos ∠EAF＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $