8.1.1 向量数量积的概念 课后达标 检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

1．已知在▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选C.如图，向量与的夹角为180°－60°＝120°. 2．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为，则a·b＝(　　) A.－6 B．6 C．6 D．－6 解析：选D.a·b＝3×4×cos ＝3×4×(－)＝－6. 3．在Rt△ABC中，A＝90°，B＝60°，AB＝2，则·＝(　　) A．－4 B．4 C．－8 D．8 解析：选A.因为△ABC为直角三角形，且B＝60°，AB＝2，所以BC＝4，且〈，〉＝120°，所以·＝||||·cos 120°＝2×4×(－)＝－4. 4．已知|a|＝2，向量a与向量b的夹角为120°，e是与b同向的单位向量，则a在b上的投影为(　　) A．e B．－e C．e D．－e 解析：选D.由题意知，a在b上的投影为|a|cos 120°·e＝2×(－)e＝－e. 5．已知平面向量a满足a·e＝3，其中e是单位向量，则|a|的取值范围为(　　) A．(0，3) B．(0，3] C．[3，＋∞) D．(3，＋∞) 解析：选C.因为a·e＝|a||e|cos 〈a，e〉＝3>0，所以cos 〈a，e〉∈(0，1]，所以|a|＝＝≥3，故|a|的取值范围为[3，＋∞).故选C. 6．(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是(　　) A．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2 B．|a·b|＝|a||b| C．λ(a＋b)＝λa＋λb D．|a·b|≤|a||b| 解析：选ACD.选项B中，|a·b|＝||a||b|cos θ|，其中θ为a与b的夹角，故B错误． 7．在边长为3的等边三角形ABC中，＝，则·＝________． 解析：由题得＝＝，||＝1，所以·＝||||cos (180°－60°)＝3×1×(－)＝－. 答案：－ 8．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ为45°，则向量a在向量b上的投影的数量为________． 解析：由已知得向量a在向量b上的投影的数量为|a|cos θ＝3×＝. 答案： 9．在正方形ABCD中，·＝25，则正方形ABCD的边长为________． 解析：在正方形ABCD中，〈，〉＝45°. 设||＝a(a>0)， 则·＝||||cos 〈，〉＝||2＝a2＝25，解得a＝5. 所以正方形ABCD的边长为5. 答案：5 10．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，求·，·，·的值． 解：因为AB＝6，AC＝8，BC＝10， 所以AB2＋AC2＝BC2， 所以A＝90°. 如图所示．所以·＝0， ·＝||||cos C＝8×10×＝64，·＝||||cos (180°－B)＝－||·||cos B＝－6×10×＝－36. 11．如图， 在太极图中，A，B分别为太极图中的最低点和最高点，AB经过大圆和小圆的圆心，且两个小圆的圆心是线段AB的两个四等分点(异于AB的中点)，过A作圆O1的切线，切点为C，则向量在向量上的投影为(　　) A．6 B．4 C． D． 解析：选B.由题意得＝4AO1，连接O1C(图略)，由AC与圆O1相切，得O1C⊥AC，故AO1在上的投影为， 所以向量在向量上的投影为4. 12．(多选)设向量a在向量b上的投影为m，则下列等式一定成立的是(　　) A．m＝()b B．m＝()b C．m·b＝a·b D．m·a＝b·a 解析：选BC.记向量a，b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影m＝()＝b，A错误，B正确；所以m·b＝b·b＝·|b|2＝a·b，故C正确；m·a＝·b·a＝＝|a|2cos2θ，故D错误．故选BC. 13．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则a，b的夹角为________． 解析：由题意得a，b不共线，设＝a，＝b， 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b. 由|a|＝|b|＝|a＋b|可知，△OAC为等边三角形，△OCB也为等边三角形，故〈a，b〉＝. 答案： 14．已知A1A2A3A4A5A6是一个正六边形，将下列向量的数量积按从小到大的顺序排列：·，·，·，·． 解：设正六边形的边长为1，如图， 则||＝，||＝2，||＝，∠A2A1A3＝，∠A2A1A4＝，∠A2A1A5＝，∠A2A1A6＝，所以·＝||·||cos＝1××＝， ·＝||||cos ＝1×2×＝1， ·＝0，·＝||||·cos ＝1×1×＝－， 所以·<·<·<·． 15．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|＝(　　) A．8 B．－8 C．8或－8 D．6 解析：选A.cos θ＝＝＝－， 因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝. 所以|a×b|＝2×5×＝8.故选A. 16．如图，扇形AOB中的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. (1)若点D是线段OB上靠近点O的四等分点，用，表示向量； (2)求·的取值范围． 解：(1)连接BM，AM(图略).由已知可得＝，四边形OAMB是菱形，则＝＋，所以＝－＝－(＋)＝－－. (2)易知∠DMC＝60°，且||＝||， 那么只需求MC的最大值与最小值即可． 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝， 则·＝××cos 60°＝. 当MC与MO或MA重合时，MC最大， 此时MC＝1， 则·＝1×1×cos 60°＝. 所以·的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $