强化课 三角函数与诱导公式 课后达标 检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

一、选择题 1．已知角α的终边上有一点P(－，)，则cos (＋α)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选A.由题意知角α的终边上有一点P(－，)，则OP＝＝1，故sin α＝，则cos (＋α)＝－sin α＝－.故选A. 2．已知cos α＝，0<α<，则sin (3π＋α)的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选A.由cos α＝，0<α<，得sin α＝＝＝，所以sin(3π＋α)＝－sin α＝－.故选A. 3．若α是第二象限角，角β的终边经过点，则β为(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选D.由诱导公式得cos (π＋α)＝－cos α，sin ＝cos α.又α是第二象限角，所以cos α<0，所以cos (π＋α)>0，sin <0，故β为第四象限角．故选D. 4．已知sin (－α)＝－，则cos (＋α)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选A.因为sin (－α)＝－，所以cos (＋α)＝－cos (＋α)＝－cos [－(－α)]＝－sin (－α)＝.故选A. 5．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边与角的终边相同，则＝(　　) A．＋1 B．－1 C．－＋1 D．－－1 解析：选C.由题意得tan α＝tan ＝－， 则 ＝＝ ＝＝tan α＋1＝－＋1.故选C. 6．已知－＝2，0<x<2π，则x的取值范围是(　　) A．(0，) B．(，π) C．(π，) D．(，2π) 解析：选D.－＝2，即－＝2，则cos x>0，sin x<0，又0<x<2π，则x∈(，2π).故选D. 7．已知3cos (＋θ)sin (π－θ)＝2，且θ为第二象限角，则＝(　　) A．－1－ B．1＋ C．－1 D．1－ 解析：选D.因为3cos (＋θ)sin (π－θ)＝3sin2θ＝2，所以sin2θ＝，且tan2θ＝＝2. 因为θ为第二象限角，所以tanθ＝－. 则＝＝＝1－.故选D. 8．(多选)若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列结论中一定成立的是(　　) A．cos (A＋B)＝－cos C B．tan (B＋C)＝tan A C．cos ＝sin B D．sin ＝cos 解析：选AD.对于A，cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，故A正确；对于B，tan (B＋C)＝tan (π－A)＝－tan A，故B错误；对于C，cos ＝cos ()＝sin ，故C错误；对于D，sin ＝sin ()＝cos ，故D正确．故选AD. 9．(多选)已知角α的顶点在平面直角坐标系原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆心在原点的单位圆交于点(，－)，现将角α的终边按逆时针方向旋转后与角β的终边重合，则下列结论正确的是(　　) A．sin α＝ B．tan α＝－ C．sin β＝ D．cos β＝－ 解析：选BC.依题意，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－，A错误，B正确；又β＝＋α，因此sin β＝sin (＋α)＝cos α＝，cos β＝cos (＋α)＝－sin α＝，C正确，D错误．故选BC. 10．(多选)在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点P(x0，y0)，OP＝r(r>0)，定义μ(θ)＝，v(θ)＝，则(　　) A．μ(π＋θ)＝v(θ) B．μ2(θ)＋v2(θ)＝2 C．若μ(θ)＝，且θ∈(0，π)，则v(θ)＝ D．若v(θ)＝，且θ∈(0，π)，则＝ 解析：选BC.对于A，角θ终边经过点P(x0，y0)，则角θ＋π终边经过点P′(－x0，－y0)，所以μ(π＋θ)＝－＝－μ(θ)，所以A选项错误；对于B，因为μ(θ)＝，v(θ)＝，所以μ2(θ)＋v2(θ)＝()2＋()2＝，因为P(x0，y0)，OP＝r(r>0)，所以r2＝x＋y，所以μ2(θ)＋v2(θ)＝2，所以B选项正确；对于C，因为μ(θ)＝，且θ∈(0，π)，由三角函数定义可知，μ(θ)＝＝＝sin θ＋cos θ，所以sin θ＋cos θ＝，由sin2θ＋cos2θ＝1，解得sinθ＝，cos θ＝－，所以v(θ)＝＝＝sin θ－cos θ＝，所以C选项正确；对于D，因为v(θ)＝，且θ∈(0，π)，所以v(θ)＝＝＝sin θ－cos θ＝，由sin2θ＋cos2θ＝1，解得sinθ＝，cos θ＝，所以μ(θ)＝＝＝sin θ＋cos θ＝，所以＝7，所以D选项错误．故选BC. 二、填空题 11．已知cos α＝，α∈(－，0)，则cos (＋α)＝________． 解析：因为cos α＝，α∈(－，0)， 所以sin α＝－＝－， 则cos(＋α)＝－sin α＝. 答案： 12．化简：＝________． 解析：原式＝ ＝ ＝＝＝1. 答案：1 13．若点P(2，y)是角α终边上的一点，且tan (α－)＝－2，则y＝________． 解析：由点P(2，y)是角α终边上的一点，可得tan α＝，由tan (α－)＝－2可得＝－2， 所以＝－2，即得tan α＝，所以＝，所以y＝1. 答案：1 14．已知点P(m，n)是角α终边上一点，将角α的终边逆时针旋转得到角β，且＝(sin β≠cos β)，则＝__________． 解析：依题意，β＝α＋，则sin β＝sin (α＋)＝cos α，cos β＝cos (α＋)＝－sin α，于是，由＝可得，＝，因为m≠0，则cos α≠0，故得＝，解得tan α＝3，即＝3. 答案：3 三、解答题 15．在锐角三角形ABC中，已知tan A＝2，求sin2(B＋C)＋cos(3π－A)的值． 解：sin2(B＋C)＋cos(3π－A) ＝sin2(π－A)＋cos(π－A) ＝sin2A－cosA＝1－cos2A－cosA. 在锐角三角形ABC中，已知tan A＝2， 所以sin A＝2cos A，又sin2A＋cos2A＝1， 得cos2A＝，则cosA＝. 所以原式＝1－cos2A－cosA＝1－－＝. 16．已知函数f(θ)＝ . (1)求f(π)的值； (2)若f(θ)＝2，求3sin2θ－2sinθcos θ＋1的值． 解：(1)f(θ)＝＝tan θ， f(π)＝tan π＝tan (－)＝－tan ＝－. (2)由(1)知，f(θ)＝tan θ＝2， 原式＝ ＝＝. 17．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，它的终边与圆心为原点的单位圆交于第二象限内的点P(m，n). (1)若n＝，求的值； (2)若sin α＋cos α＝，求点P的坐标． 解：(1)由题意sin α＝n＝，cos α＝m＝－ ＝－＝－， 所以 ＝＝＝. (2)因为sin α＋cos α＝，且sin2α＋cos2α＝1， cosα<0，所以(－cos α)2＋cos2α＝1， 即2cos2α－cosα－＝0，解得cos α＝－或cos α＝(舍去)，从而sin α＝－cos α＝，即m＝cos α＝－，n＝sin α＝，所以点P(－，). 学科网（北京）股份有限公司 $