7.4 数学建模活动：周期现象的描述 课后达标 检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

1．函数f(x)的最大值为，最小正周期为，初相位为，则函数f(x)＝(　　) A．sin (＋) B．sin (－) C．sin (3x－) D．sin (3x＋) 解析：选D.由最小正周期为，排除A，B；由初相位为，排除C.故选D. 2. 已知单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式为S(t)＝3sin (t＋)，则单摆来回摆动的振幅和摆动一次所需的时间分别为(　　) A．3 cm，4 s B．－3 cm，4 s C．3 cm，2 s D．－3 cm，2 s 解析：选A.由题得单摆来回摆动的振幅为3 cm和一次所需的时间为T＝＝4 s．故选A. 3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(单位：s)时离开平衡位置的位移s1(单位：cm)和s2(单位：cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin (2t＋)，s2＝5cos (2t－).则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是(　　) A．s1＞s2 B．s1＜s2 C．s1＝s2 D．s1≥s2 解析：选C.当t＝时，s1＝5sin (2×＋)＝－5，s2＝5cos (2×－)＝－5，所以s1＝s2. 4．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin (0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列时间段内车流量逐渐增加的是(　　) A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20] 解析：选C.由函数y＝sin x的单调递增区间为－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋2kπ≤≤＋2kπ，k∈Z，解得－π＋4kπ≤t≤π＋4kπ，k∈Z，当k＝1时，3π≤t≤5π，因为[10，15]⊆[3π，5π].故选C. 5．(多选)已知弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t(单位：s)时离开平衡位置的位移s(单位：cm)满足函数关系式s＝2sin .则下列说法中正确的是(　　) A．小球开始时在平衡位置上方2 cm处 B．小球下降到最低点时在平衡位置下方2 cm 处 C．经过2π s小球重复振动一次 D．小球振动的频率为 解析：选BCD.由s＝2sin 可知t＝0时，s＝2sin ＝，即小球开始时在平衡位置上方 cm处，故A错误；由s＝2sin 可知s的最小值为－2，即小球下降到最低点时在平衡位置下方2 cm处，故B正确；由s＝2sin 可知，最小正周期为2π，即经过2π s小球重复振动一次，故C正确；由C选项分析可知最小正周期为2π，则小球振动的频率为，故D正确． 6．振动量y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的初相位和频率分别为－π和，则它的相位是________． 解析：因为T＝，所以ω＝3π，初相位为－π，所以相位为3πx－π. 答案：3πx－π 7．如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y(单位：m)在某天24小时内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________，x∈[0，24]. 解析：将题图看成y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，由图象知，A＝6，T＝12，所以ω＝＝.将点(6，0)看成函数图象的第一个特殊点，则×6＋φ＝0，所 以φ＝－π，所以所求函数关系式为y＝6sin ＝－6sin x. 答案：y＝－6sin x 8．函数f(n)＝200cos (n＋)＋300(n∈{1，2，3，…，12}为月份)，近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则当n＝______时，游客流量最大． 解析：因为n∈{1，2，3，…，12}，所以n＋∈{，π，，，，，，2π，，，，}，所以当n＋＝2π，即n＝8时，cos (n＋)取得最大值1，所以当n＝8时，f(n) 取得最大值， 又游客流量越大所需服务工作的人数越多， 所以当n＝8时，游客流量最大． 答案：8 9．将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示平面直角坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点O的距离为r. (1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期； (2)当φ＝，r＝ω＝1时，作出其图象． 解：(1)过P作x轴的垂线(图略)，设垂足为M，在Rt△OPM中，MP＝r sin (ωt＋φ). 所以y＝r sin (ωt＋φ)，t≥0， 因此T＝. (2)当φ＝，r＝ω＝1时，y＝sin (t＋)， 如图，其图象是将y＝sin t的图象向左平移个单位得到． 10．如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的 的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l) 的图象大致是(　　) 解析：选C.设 所对的圆心角为α， 则α＝l，弦AP的长d＝2·|OA|·sin ， 即有d＝f(l)＝2sin .故选C. 11．(多选)对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ(单位：℃)与时间t(单位：h)近似地满足函数关系θ＝A sin ωt＋B(A>0，B>0，0<ω<)，其中0≤t≤24.已知当天开始计时(t＝0)时的温度为25 ℃，第二天凌晨3：00时温度最低为19 ℃，则(　　) A．ω＝ B．当天下午3：00温度最高 C．温度为28 ℃是当天晚上7：00 D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22 ℃ 解析：选ABD.当 t＝0时，θ＝25 ℃，所以B＝25，第二天凌晨3：00时温度最低为19 ℃，此时t＝18， 所以 所以A正确． f(t)＝6sin t＋25，令t＝ 即t＝6时f(t)取得最大值，t＝6对应当天下午3：00，B正确． f(t)＝28，解得t＝2或t＝10，即为当天上午11：00或当天晚上7：00，C错误． 令f(t)≤22，即6sin t＋25≤22， 解得－＋2kπ≤t≤－＋2kπ，k∈Z， 即－10＋24k≤t≤－2＋24k，k∈Z. 当k＝1时，14≤t≤22，即从当天晚上23：00到第二天清晨7：00 温度都不高于22 ℃，D正确．故选ABD. 12．如图，摩天轮的半径为50 m, 圆心O距地面的高度为60 m．已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15 min转动一圈．游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱．游客进入摩天轮的舱位，开始转动5 min后，他距离地面的高度为________m． 解析：因为摩天轮的半径为50 m, 圆心O距地面的高度为60 m，设在t min时，距离地面的高度为h＝60＋50sin (ωt＋φ)，其中－π＜φ＜π，由摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15 min转动一圈，可得＝15，所以ω＝， 即h＝60＋50sin (t＋φ)， 当t＝0时，可得60＋50sin φ＝10， 即sin φ＝－1，解得φ＝－， 所以h＝60＋50sin (t－)＝60－50cos t，令t＝5，可得h＝60－50cos (×5)＝60＋25＝85. 答案：85 13．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0 ℃时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温(单位：℃ )随时间t(0≤t≤24，单位：h)的大致变化曲线，若该曲线近似满足f(t)＝A sin (ωt－)＋b(A＞0，ω＞0)关系． (1)求y＝f(t)的解析式； (2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在这一天内开启的时长． 解：(1)因为f(t)的图象上最低点坐标为(2，－4)，与之相邻的最高点坐标为 (14，12)， 所以＝14－2＝12， 即所以T＝＝24， 解得ω＝. 所以f(t)＝8sin (t－)＋4，0≤t≤24. (2)由(1)得，8sin (t－)＋4＜0， 所以sin (t－)＜－， 所以＋2kπ＜t－＜＋2kπ，k∈Z. 解得22＋24k＜t＜30＋24k，k∈Z， 因为0≤t≤24，所以0≤t＜6，22＜t≤24. 所以该商场的中央空调在这一天内开启的时长为8 h． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线BC与地面所成的角为θ，矩形周边上最高点离地面的距离为f(θ).求： (1)θ的取值范围； (2)f(θ)的解析式； (3)f(θ)的值域． 解：(1)观察题图可知BC与地面所成的角θ的取值范围为[0，]. (2)如图，连接BD，则∠DBC＝，过点D作地面的垂线，垂足为E， 在Rt△BED中，∠DBE＝θ＋，DB＝2， 所以f(θ)＝2sin (θ＋)(0≤θ≤). (3)因为f(θ)＝2sin (θ＋)(0≤θ≤)，≤θ＋≤，所以≤sin (θ＋)≤1， 即f(θ)的值域为[1，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $