7.3.4 正切函数的性质与图象 课后达标 检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

1．函数f(x)＝tan (－4x＋)的最小正周期为(　　) A． B． C．π D．2π 解析：选A.函数f(x)＝tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝＝＝.故选A. 2．函数f(x)＝tan x在[－，]上的最小值为(　　) A．1 B．2 C． D．－ 解析：选D.由正切函数y＝tan x的单调性可知，f(x)＝tan x在[－，]上单调递增，所以最小值为f(x)min＝tan (－)＝－.故选D. 3．若函数y＝tan (x－φ)(φ≥0)的图象与直线x＝π没有交点，则φ的最小值为(　　) A．0 B． C． D．π 解析：选C.函数y＝tan x的图象与直线x＝＋kπ(k∈Z)没有交点． 若函数y＝tan (x－φ)(φ≥0)的图象与直线x＝π没有交点，则π－φ＝＋kπ，k∈Z，φ＝－kπ，k∈Z，又φ≥0，则φ的最小值为.故选C. 4．若a＝tan 7，b＝sin ，c＝tan ，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a 解析：选B.由于<7－2π＜， 故a＝tan 7＝tan (7－2π)∈(，1)， 而＞＝sin ＝b，故a＞b， 又c＝tan ＝tan (32π＋)＝tan ＝， 即c＞a＞b.故选B. 5．已知函数y＝tan ωx在(－，)上单调递减，则实数ω的取值范围是(　　) A．[0，1) B．[－1，0) C．(－1，1) D．[－1，1] 解析：选B.因为函数y＝tan ωx在(－，)上单调递减，所以ω＜0，ω＜ωx＜－ω，所以(ω，－ω)⊆(－，)，即解得－1≤ω＜0.故选B. 6．(多选)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期是2π B．f(x)的值域是(0，＋∞) C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴 D．f(x)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋]，k∈Z 解析：选AD.对于A，因为f(x)的最小正周期和y＝tan (x－)的最小正周期相同，即T＝＝2π，故A正确； 对于B，因为y＝tan (x－)的值域为R，所以f(x)≥0，即函数f(x)的值域为[0，＋∞)，故B错误； 对于C，结合绝对值的意义，由x－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，则直线x＝不是函数f(x)图象的对称轴，故C错误； 对于D，由kπ－＜x－≤kπ，k∈Z，得2kπ－＜x≤2kπ＋，k∈Z，则函数f(x)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋]，k∈Z，故D正确．故选AD. 7．不等式|tan x|≤的解集是____________． 解析：|tan x|≤，则－≤tan x≤， 则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 答案：[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z 8．函数y＝2tan x＋a在区间[，]上的最大值为4，则实数a为________． 解析：函数y＝2tan x＋a在区间[，]上单调递增，则当x＝时，ymax＝2tan ＋a＝a＋2， 因此a＋2＝4，解得a＝4－2. 答案：4－2 9．已知函数f(x)＝2tan (ωx＋)＋1(ω＞0)的最小正周期为2π，则f(x)图象的一个对称中心的坐标为________． 解析：根据T＝＝2π，得ω＝， 则f(x)＝2tan (＋)＋1， 令＋＝(k∈Z)， 得＝－(k∈Z)， 所以x＝kπ－(k∈Z). 答案：(－，1)(答案不唯一，横坐标只需符合x＝kπ－π，k∈Z且纵坐标为1即可) 10．已知函数f(x)＝3tan (x－).求： (1)函数f(x)的定义域及最小正周期； (2)函数f(x)的单调区间． 解：(1)由x－≠kπ＋，k∈Z得x≠2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的定义域是{x|x≠2kπ＋，k∈Z}，又T＝＝＝2π， 所以函数f(x)的最小正周期是2π. (2)由kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z， 得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z， 所以函数的单调递增区间是(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z，无单调递减区间． 11．已知偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，若a＝tan 114°，b＝tan 172°，c＝tan 287°，则下列不等关系中正确的是(　　) A．f(c)＞f(b)＞f(a) B．f(c)＞f(a)＞f(b) C．f(b)＞f(c)＞f(a) D．f(b)＞f(a)＞f(c) 解析：选D.因为a＝tan 114°＝tan (180°－66°)＝－tan 66°，b＝tan 172°＝tan (180°－8°)＝－tan 8°，c＝tan 287°＝tan (360°－73°)＝－tan 73°，又由f(x)为偶函数，则f(a)＝f(tan 66°)，f(b)＝f(tan 8°)，f(c)＝f(tan 73°)，又函数y＝tan x在0°＜x＜90°上单调递增，所以tan 8°＜tan 66°＜tan 73°，又f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则有f(b)＞f(a)＞f(c).故选D. 12．(多选)已知函数f(x)＝tan (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的图象如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则(　　) A．ω＝ B．φ＝－ C．φ＝ D．f()＝ 解析：选ABD.如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积，可得AB＝3，设函数f(x)的最小正周期为T，则AD＝T，由题意得3T＝6π，解得T＝2π，故＝2π，得ω＝，所以A正确； 由A得f(x)＝tan (x＋φ)，f(x)的图象过点(，－1)，即tan (×＋φ)＝tan (＋φ)＝－1，因为φ∈(－，)，则＋φ∈(－，)，所以＋φ＝－，解得φ＝－，所以B正确，C错误；以上可得f(x)＝tan (x－)，所以f()＝tan (－)＝tan ＝，所以D正确．故选ABD. 13．已知函数f(x)＝ln (＋3x)＋5tan x－4，若f(a)＝2 024，则f(－a)＝________． 解析：令g(x)＝ln (＋3x)＋5tan x，x≠＋kπ，k∈Z，由g(－x)＋g(x)＝ln (－3x)－5tan x＋ln (＋3x)＋5tan x＝ln [(－3x)·(＋3x)]＝ln 1＝0，可得函数g(x)为奇函数，则由f(a)＝g(a)－4＝2 024得 g(a)＝2 028，故f(－a)＝g(－a)－4＝－g(a)－4＝－2 032. 答案：－2 032 14．设函数f(x)＝tan (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M(－，0)对称． (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)的单调区间； (3)求不等式－1≤f(x)≤的解集． 解：(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝， 即＝，因为ω>0，所以ω＝2， 从而f(x)＝tan (2x＋φ). 因为函数y＝f(x)的图象关于点M(－，0)对称， 所以2×(－)＋φ＝，k∈Z， 即φ＝＋，k∈Z. 因为0<φ<， 所以φ＝， 故f(x)＝tan (2x＋). (2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z， 得－＋<x<＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为(－＋，＋)，k∈Z，无单调递减区间． (3)由(1)知，f(x)＝tan (2x＋)， 由－1≤tan (2x＋)≤， 得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z， 即－＋≤x≤＋，k∈Z， 所以不等式－1≤f(x)≤的解集为 {x|－＋≤x≤＋，k∈Z}． 学科网（北京）股份有限公司 $