第8章 向量的数量积与三角恒等变换 章末复习提升(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

章末复习提升 要点一　平面向量数量积的运算 求平面向量的数量积主要有三种方法：(1)利用定义a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉；(2)利用向量数量积的几何意义：a·b＝(|a|cos 〈a，b〉)|b|，即a·b为a在b上的投影的数量与b的模的乘积；(3)利用数量积的坐标运算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 训练1　已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析：选C.因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C. 训练2　 窗，古时亦称为牗，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1 m的正方形，内嵌一个小正方形EFGH，且E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，则·的值为__________． 解析：不妨设小正方形EFGH的边长为a(0<a<1)，则a2＋(2a)2＝1，解得a＝.所以EF＝FG＝，AF＝DE＝.所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝·＋·＝××cos 0°＋××cos 180°＝0. 答案：0 要点二　平面向量数量积的应用 主要考查利用向量的数量积求向量的模、夹角，以及向量的数量积与向量垂直的关系，熟记公式，掌握向量运算，以及向量坐标运算． 训练3　(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A.λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 解析：选D.转化法：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D. 训练4　(2023·全国甲卷)已知向量a＝，b＝，则cos 〈a＋b，a－b〉＝(　　) A． B． C． D. 解析：选B.由题意知，a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，所以cos 〈a＋b，a－b〉＝＝＝＝，故选B. 训练5　已知向量a，b的夹角为150°，|a|＝1，|b|＝，则|a＋2b|＝____________． 解析：因为向量a，b的夹角为150°，|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝|a||b|cos 150°＝1××(－)＝－，因此|a＋2b|＝＝＝. 答案： 训练6　已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2). (1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标； (2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. 解：(1)设c＝(x，y)，由c∥a，|c|＝2，可得解得或故c＝(2，4)或c＝(－2，－4). (2)因为(a＋2b)⊥(2a－b)，所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，所以2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，所以cos θ＝＝－1.又θ∈[0，π]，所以θ＝π. 要点三　三角函数式的求值 三角函数式求值主要有三种类型：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角．注意观察已知角与所求角之间的关系，根据需要灵活地进行拆角和凑角的变换． 训练7　已知α为第二象限角，且tan (α－π)＝－，则cos ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选A.因为tan α＝tan (α－π)＝－，又α为第二象限角，所以sin α＝，cos α＝－，所以cos ＝cos αcos －sin αsin ＝－×(－)－×＝. 训练8　若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos sin β，则(　　) A．tan ＝1 B．tan ＝1 C．tan ＝－1 D．tan ＝－1 解析：选C.由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β，整理得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，所以tan (α－β)＝－1，故选C. 训练9　已知0<α<<β<π，sin α＝，sin (α＋β)＝，则sin β＝________． 解析：由0<α<<β<π， 得<α＋β<， 由sin α＝，故cos α＝＝， sin (α＋β)＝， 故cos (α＋β)＝－＝－， 故sin β＝sin [(α＋β)－α] ＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α ＝×－(－)×＝. 答案： 要点四　三角函数式的化简与证明 三角函数式的化简与证明是常考内容，重点考查三角公式的正用、逆用以及变形用等等，要熟记公式以及公式的变形形式． 训练10　(1)化简： (0＜α＜π)； (2)求证：sin αsin (60°＋α)sin (60°－α)＝sin 3α. 解：(1)原式 ＝ ＝ ＝＝. 因为0＜α＜π，所以0＜＜， 所以cos＞0，所以上式＝＝cos α. (2)证明：左边＝sin α(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝sin α(cos2α－sin2α)＝(2sinαcos2α＋sinαcos 2α)＝(sin 2αcos α＋cos 2αsin α)＝sin (2α＋α)＝sin 3α＝右边，故等式成立． 训练11　求证：··＝tan . 证明：左边＝·· ＝ ＝ ＝ ＝tan＝右边，所以等式成立． 要点五　三角恒等变换与三角函数的综合问题 利用三角恒等变换研究函数的性质是重点考查题型，关键在于熟练运用三角公式，对解析式变形．常用倍角的降幂公式、辅助角公式以及积化和差与和差化积公式进行化简． 训练12　(多选)关于函数f(x)＝2sin x cos x＋2cos2x，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的图象关于点(－，)中心对称 C．f(x)的最大值为＋2 D．f(x)在区间[－，]上单调递减 解析：选BC.f(x)＝2sinx cos x＋2cos2x ＝sin2x＋(cos 2x＋1) ＝2sin (2x＋)＋， 故函数f(x)的最小正周期T＝＝π，故A错误； f(－)＝2sin (－＋)＋＝0＋＝， 所以函数f(x)的图象关于点(－，)中心对称，故B正确； 因为f(x)＝2sin (2x＋)＋， 所以函数的最大值为2＋，故C正确； 由x∈[－，]，2x＋∈[－，]，函数y＝sin x在区间[－，]上单调递增，所以函数f(x)在区间[－，]上单调递增，故D错误．故选BC. 训练13　设函数f(x)＝sin (2x－)＋sin (2x＋)－2cos2x＋. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)当x∈[，]时，求函数f(x)的最大值和最小值并求出对应的x. 解：(1)因为f(x)＝sin(2x－)＋sin (2x＋)－2cos2x＋ ＝sin2x cos －cos 2x sin ＋sin 2x cos ＋cos 2x sin －2cos2x＋ ＝2sin2x cos －(2cos2x－1) ＝sin2x－cos 2x＝2sin (2x－)， 所以f(x)的最小正周期是T＝＝π， 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z. (2)当x∈[，]时，2x－∈[－，]， 此时sin (2x－)∈[－，1]， 可得f(x)∈[－1，2]， 所以f(x)的最大值为2，此时2x－＝， 得x＝；f(x)的最小值为－1， 此时2x－＝－，得x＝. 学科网（北京）股份有限公司 $