8.1.2 向量数量积的运算律(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦平面向量数量积的运算律这一核心知识点，先通过回顾向量加法、数乘运算律引出数量积的交换律、数乘结合律及分配律，进而梳理常用结论，搭建从运算律到求模、夹角、垂直及几何证明的学习支架。 资料通过类比迁移培养数学抽象能力，结合平行四边形等几何图形例题发展逻辑推理思维，用向量语言证明垂直问题提升数学表达能力。课中助力教师系统授课，课后跟踪训练与总结帮助学生巩固知识，弥补薄弱环节。

8．1.2　向量数量积的运算律 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式．　2.会利用向量的数量积证明垂直，求向量的夹角、模(长度)等． 通过前面的学习，我们知道向量的加法运算满足交换律、结合律，向量的数乘运算满足结合律λ(μ a)＝(λμ)a，分配律(λ＋μ)a＝λa＋μ a(λ，μ∈R)，λ(a＋b)＝λa＋λb. 思考　向量的数量积是否也满足交换律、数乘结合律及对加法的分配律？ 提示：向量的数量积满足交换律、数乘结合律及对加法的分配律． 1．平面向量数量积的运算律 运算律 向量数量积 交换律 a·b＝b·a 数乘结合律 (λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b) 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c， (a－b)·c＝a·c－b·c 2.向量数量积的常用结论 (1)(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2； (2)a2－b2＝(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； (3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)； (4)a2＋b2＝0⇔a＝b＝0. 　(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则(2a－b)·(a＋3b)＝________； (2) 如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·＝________． 【解析】　(1)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2＝8－15－27＝－34. (2)由＝3，得＝＝，又＝＋＝＋，所以＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2－·－2＝2.又2＝25，2＝64，所以·＝22. 【答案】　(1)－34　(2)22 向量数量积运算的两个关键点 (1)含向量线性运算的数量积求解：利用向量数量积的运算律转化为直接利用公式求解的问题； (2)含几何图形的数量积求解：借助图形先将两向量分别用已知向量线性表示，然后再转化为含线性运算的数量积求解．　 [跟踪训练1] (1)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：选B.a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2×1－(－1)＝3. (2) 如图，在平行四边形ABCD 中，||＝4，||＝3，则·＝________． 解析：因为＝＋，＝－，所以·＝(＋)·(－)＝2－2＝9－16＝－7. 答案：－7 角度1　向量模的计算 　(1)(对接教材例2)已知向量a，b，若|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则|2a＋b|＝(　　) A．1 B． C．2 D． (2)已知非零向量a，b满足|a|＝3＋，|b|＝3－，且|a＋b|＝2，则|a－b|＝________． 【解析】　(1)因为|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，所以a·b＝－.故|2a＋b|2＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4×12＋12＋4×＝3，因此|2a＋b|＝.故选B. (2)|a＋b|＝2两边平方得a2＋2a·b＋b2＝24，即12＋6＋2a·b＋12－6＝24，所以a·b＝0. 所以|a－b|＝＝ ＝＝2. 【答案】　(1)B　(2)2 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模的问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝可以实现实数运算与向量运算的相互转化．　 角度2　求两向量的夹角 　(1)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|2a－b|＝，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． (2)已知向量a，b满足|a－b|＝4，|a＋b|＝2，且|a|＝，则a与a＋b的夹角的余弦值为(　　) A．－ B．－ C． D． 【解析】　(1)设a与b的夹角为θ， 由题意得|2a－b|2＝37， 所以4|a|2＋|b|2－4a·b＝37， 又|a|＝2，|b|＝3，所以a·b＝－3， 所以|a||b|cos θ＝－3，则cos θ＝－. 又θ∈[0，π]，所以a与b的夹角为. (2)因为|a－b|＝4，|a＋b|＝2，|a|＝， 所以2＋b2－2a·b＝16，① 2＋b2＋2a·b＝4，② 所以②－①得，4a·b＝－12，即a·b＝－3， 所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝2－3＝－1， 所以cos 〈a，a＋b〉＝＝＝－. 【答案】　(1)D　(2)A 求向量夹角的基本步骤 　 [跟踪训练2] (1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝(　　) A.2 B．4 C．6 D．8 解析：选A.因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，则||2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)＝4×(3－2××2×cos ＋4)＝4.即||＝2. (2)已知|a|＝，|b|＝1，且(a－2b)⊥(2a＋b)，则向量a与b的夹角的余弦值是(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选B.因为|a|＝，|b|＝1，且(a－2b)⊥(2a＋b)，所以(a－2b)·(2a＋b)＝2a2－2b2－3a·b＝4－2－3a·b＝0，所以a·b＝，所以cos 〈a，b〉＝＝. 　已知非零向量a，b满足4|a|＝3|b|，a与b夹角的余弦值为，若(x a＋b)⊥b，求实数x的值． 【解】　由4|a|＝3|b|，可设|b|＝4t(t>0)，则|a|＝3t. 因为(x a＋b)⊥b，所以(x a＋b)·b＝x a·b＋|b|2 ＝x×3t×4t×＋(4t)2＝4t2(x＋4)＝0， 又t>0，所以x＝－4. 【变式探究】 (条件变式)本例中将“(x a＋b)⊥b”改为“x a＋b与b的夹角为锐角”，其余条件不变，求实数x的取值范围． 解：设|b|＝4t(t>0)，则|a|＝3t， 则(x a＋b)·b＝x a·b＋|b|2 ＝4t2(x＋4)>0，解得x>－4，若xa＋b＝mb，m>0，xa＝(m－1)b，所以m＝1，x＝0. 此时实数xa＋b与b同向，不符合题意． 所以实数x的取值范围为(－4，0)∪(0，＋∞). 向量垂直问题的处理思路 解决与垂直相关题目的依据是a⊥b ⇔a·b＝0，利用数量积的运算代入，结合向量的模、夹角相关的知识解题．　 [跟踪训练3] 已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝m a－2b.求实数m为何值时，c⊥d. 解：由已知得a·b＝2×1×cos 60°＝1. 若c⊥d，则c·d＝0. 所以c·d＝(a＋5b)·(m a－2b)＝m a2＋(5m－2)a·b－10b2＝4m＋5m－2－10＝0， 解得m＝.故当实数m＝时，c⊥d. 　(对接教材例4)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE. 【证明】　·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋· ＝－||2＋·＋· ＝－||2＋||2＋||2＝0， 所以⊥，即AD⊥CE. 利用向量的数量积运算可以解决与长度、垂直、平行等有关的几何问题，解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中所涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题，通过向量的数量积求解．　 [跟踪训练4] 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明：设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋b， ＝＋＝b＋a， 所以·＝· ＝－a2－a·b＋b2 ＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 1．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选B.因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1. 2．设a，b，c都是单位向量，且a＝b＋c，则向量a，b的夹角为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由a＝b＋c，可知c＝a－b，故c2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝.设a，b的夹角为θ，即cos θ＝，又0≤θ≤π，所以θ＝.故选A. 3．已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夹角为60°，如果(3a＋5b)⊥(m a－b)，那么m的值为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由题意知(3a＋5b)·(m a－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，所以3m×32＋(5m－3)×3×2cos 60°－5×22＝0，解得m＝. 4．若两个向量a与b的夹角为，且a是单位向量，|b|＝2，c＝2a＋b，则向量c与b的夹角为________． 解析：由题知a·b＝1×2×cos ＝1， 所以c·b＝(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝6， |c|＝|2a＋b|＝＝＝2. 设向量c与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 答案： 5．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，|a－2b|＝2|a＋b|，则a与b的夹角θ＝____________；a在 a＋b上的投影的数量为________． 解析：因为|a－2b|＝2|a＋b|，所以a2－4a·b＋4b2＝4a2＋8a·b＋4b2.因为|a|＝2，|b|＝1，所以4＋4＝16＋4＋12a·b，解得a·b＝－1，所以cos θ＝＝－，因为θ∈[0，π]，所以θ＝.又因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝4－2＋1＝3，所以|a＋b|＝，所以a在a＋b上的投影的数量为＝＝＝. 答案：　 1．已学习：向量数量积的运算律、求向量的模和夹角、向量垂直及向量在几何中的应用． 2．须贯通：求向量的数量积要灵活应用其运算律；求向量的模时，则要灵活应用模的计算公式；用向量解决夹角与垂直问题，常利用数形结合的方法．向量解决夹角与垂直问题，常利用数形结合的方法． 3．应注意：(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．　 学科网（北京）股份有限公司 $