第7章 三角函数 章末复习提升(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦三角函数章末复习，系统梳理三角函数定义、同角基本关系式与诱导公式、图象与性质及模型应用四大核心知识点，构建从概念理解到公式运用，再到性质分析与实际应用的递进式学习支架。 资料以“要点+训练”形式设计，通过判断象限角、整体代换求三角函数值等训练题，培养学生数学眼光中的抽象能力和数学思维中的推理能力，结合实际问题建模（如参观人数变化）渗透数学语言的模型观念。课中助力教师系统复习，课后帮助学生巩固基础、查漏补缺，提升数学运算与逻辑推理素养。

章末复习提升 要点一　三角函数式的定义 利用三角函数的定义求三角函数值，以及利用三角函数的定义判断三角函数值的符号是常见的考查题型，含参时要注意检验是否出现增根或是否需要分类讨论． 训练1　若sin α＜0且tan α＞0，则α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选C.因为sin α<0，所以α的终边在第三、四象限或y轴负半轴上，因为tan α＞0，所以α的终边在第一、三象限，故α是第三象限角． 训练2　已知角α的始边是x轴的正半轴，终边经过点(－3，y)，若sin α＝，则tan α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选A.角α的始边是x轴的正半轴，终边经过点(－3，y)，且sin α＝＝，得y＝4，则tan α＝＝－，故选A. 训练3　已知角α的终边经过异于原点的一点P(3m－9，m＋2).若cos α≤0且sin α＞0，则实数m的取值范围为_____________________________________． 解析：由题意知，r＝，cos α＝≤0，sin α＝＞0，即x≤0，y＞0， 所以 所以－2＜m≤3， 即实数m的取值范围为(－2，3]. 答案：(－2，3] 要点二　同角三角函数基本关系式与诱导公式 1．(1)两个基本关系式：sin2α＋cos2α＝1及＝tan α；(2)诱导公式：可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限． 2．化简三角函数式的常用方法：(1)直接应用公式；(2)切化弦；(3)异角化同角；(4)特殊值与特殊角的三角函数互化；(5)通分、约分；(6)配方去根号． 3．求值一般包括：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角． 4．掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 训练4　设tan (π－α)＝－2，则 ＝(　　) A．3 B． C．1 D．－1 解析：选A.由tan (π－α)＝－2，得－tan α＝－2，则tan α＝2，＝＝＝＝3.故选A. 训练5　(多选)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则下列等式正确的是(　　) A．sin θcos θ＝－ B．sin θ－cos θ＝－ C．tan θ＝－ D．sin3θ＋cos3θ＝ 解析：选AD.因为θ∈(0，π)，则sinθ>0. 对于A，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， 可得sin θcos θ＝－，A正确； 对于B，由A选项可知，cos θ<0， 则sin θ－cos θ>0， 所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝， 则sin θ－cos θ＝，B错误； 对于C，可得 则tan θ＝＝－，C错误； 对于D，sin 3θ＋cos 3θ＝()3＋(－)3＝，D正确．故选AD. 要点三　三角函数的图象与性质 1．三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，通常情况下利用整体代换思想进行解题． 2．掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想象和数学运算素养． 训练6　把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位，得到函数y＝sin 的图象，则f(x)＝(　　) A．sin B．sin C．sin D．sin 解析：选B.依题意，将y＝sin 的图象向左平移个单位，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到f(x)的图象，所以y＝sin y＝sin 的图象 f(x)＝sin 的图象． 训练7　(多选)已知函数f(x)＝sin (x∈R)，下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期是π B．函数f(x)是偶函数 C．函数f(x)的图象关于点中心对称 D．函数f(x)在上单调递增 解析：选ABC.因为f(x)＝sin ＝－sin ＝cos 2x，所以函数f(x)是偶函数，且最小正周期T＝＝π，故A，B正确；由2x＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，所以函数f(x) 的图象关于点中心对称，故C正确；当x∈时，2x－∈[－，－]，所以函数f(x)在上单调递减，故D不正确．故选ABC. 训练8　已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(ω>0)，在区间[a，b]上单调递增，且f(a)＝－A，f(b)＝A，则函数g(x)＝A sin (ωx＋φ)在[a，b]上(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．取到最大值A D．取到最小值－A 解析：选D.由题意知，设t＝ωx＋φ，因为函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)在区间[a，b]上单调递增，且f(a)＝－A，f(b)＝A，所以当x∈[a，b]时，t＝ωx＋φ∈[2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z，对于A，B，由函数g(x)＝A sin (ωx＋φ)得d(t)＝A sin t在t∈[2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z上先单调递减后单调递增，故排除A，B；对于C，D，由A，B易知函数g(x)可以取到最小值－A，最大值0，故C错误，D正确．故选D. 训练9　(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 解析：方法一：函数f(x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，因为ω>0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，则由余弦函数的图象可知，4π≤2ωπ<6π，解得2≤ω<3，即ω的取值范围是[2，3). 方法二：函数f(x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝cos x在[0，2π]上的图象可知，cos x＝1在区间[0，2π]有2个根，所以若cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，则函数y＝cos ωx 在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即又ω>0，所以2≤ω<3，即ω的取值范围是[2，3). 答案：[2，3) 要点四　三角函数模型的应用 1．建立与三角函数有关的数学模型解决实际问题的一般步骤 2．利用三角函数模型解决实际问题时应注意的问题 (1)自变量的取值范围； (2)数形结合思想的应用； (3)认真审题，进行联想，选择适当的三角函数模型； (4)涉及较复杂的数据时，计算要精确． 训练10　某艺术展览馆在开馆时间段(9：00～16：00)的参观人数(单位：千)随时间t(单位：时)的变化近似满足函数关系f(t)＝A sin ＋5(A>0，9≤t≤16)，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为(　　) A．1万 B．9千 C．8千 D．7千 解析：选B.下午两点整即t＝14，当t＝14时，f(t)＝7，即A sin ＋5＝7，所以A＝4，因为当9≤t≤16时，t－∈，所以当t－＝时，f(t)取得最大值，且最大值为4＋5＝9. 训练11　已知某地一天从4时～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin ＋20，x∈[4，16]. (1)求该地区这一段时间内温度的最大温差； (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，则在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？ 解：(1)因为x∈[4，16]，则x－∈，当x－＝，即x＝14时，温度最高为30 ℃；当x－＝－，即x＝6时，温度最低为10 ℃，所以该地区这一段时间内温度的最大温差为30－10＝20(℃). (2)令10sin ＋20＝15， 得sin ＝－， 因为x∈[4，16]，所以x＝. 令10sin ＋20＝25， 得sin ＝， 因为x∈[4，16]，所以x＝. 故在这段时间内，该细菌能存活的最长时间为－＝(时). 学科网（北京）股份有限公司 $