培优1 三角函数中的参数问题(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦三角函数中的参数问题这一核心知识点，系统梳理由最值、奇偶性、对称性、单调性及图象求参数五种类型，以三角函数性质为基础，结合方程思想与待定系数法，构建解决逆向思维问题的学习支架。 该资料特色在于结合高考模式分类解析，通过具体例题（如由值域求参数时分类讨论m正负）培养数学思维，规范的解题步骤（如利用对称性列不等式求ω范围）训练数学语言，课中助力教师系统教学，课后尝试训练帮助学生查漏补缺。

　三角函数中的参数问题 含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．本节结合最近几年高考考查模式，对求解参数问题进行分类解析． 类型一 由三角函数的最值(值域)求参数 求y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)型三角函数中的参数a，b的值时，一般利用正弦(余弦)函数的有界性列方程组求解，注意参数a的正负． 　已知函数f(x)＝m sin x＋n(m，n∈R)的值域是[－1，3]，则实数m＝(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．±1 【解析】　当m＞0时，由－1≤sin x≤1， 得－m＋n≤f(x)≤m＋n， 因为f(x)的值域为[－1，3]， 所以解得 当m＝0时，显然不符合题意； 当m＜0时，由－1≤sin x≤1， 得m＋n≤f(x)≤－m＋n， 因为f(x)的值域为[－1，3]， 所以解得故选C. 【答案】　C 类型二 由三角函数的奇偶性求参数 对于三角函数的奇偶性，常用以下结论解决问题： (1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，需φ＝kπ(k∈Z)； (2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，需φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，需φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，需φ＝kπ(k∈Z). 　已知函数f(x)＝4sin (x＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，则2cos (2φ＋)＝(　　) A．－ B．－1 C．1 D． 【解析】　由于函数f(x)＝4sin (x＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，故φ＝kπ＋，k∈Z.因为0＜φ＜π，所以φ＝，则2cos (2φ＋)＝2cos (π＋)＝－2cos ＝－1.故选B. 【答案】　B 类型三 利用三角函数对称性求参数 对于函数y＝sin (ωx＋φ)，y＝cos (ωx＋φ)及y＝tan (ωx＋φ)的图象的对称问题，应将ωx＋φ看作一个整体，借助以下三角函数的结论解决问题： (1)正弦函数y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)；对称轴为直线x＝＋kπ(k∈Z). (2)余弦函数y＝cos x的对称中心为(＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴为直线x＝kπ(k∈Z). (3)正切函数只有对称中心，没有对称轴，对称中心为(，0)(k∈Z). 　已知函数f(x)＝sin (ωx－)(ω＞0)在区间[0，π]上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A．[，) B．(，] C．(，] D．[，) 【解析】　当x∈[0，π]时，ωx－∈[－，ωπ－](ω＞0)，依题意可得≤ωπ－＜，解得ω∈[，).故选A. 【答案】　A 类型四 根据单调性求参数 对于已知函数单调区间的某一部分确定参数范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的包含关系列方程(不等式组)求解． 　已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ＜2π)在[－，]上单调递增，则φ的取值范围为________． 【解析】　由x∈[－，]，得2x＋φ∈[－＋φ，＋φ]，又0≤φ＜2π，所以≤＋φ＜， 又函数f(x)在[－，]上单调递增， 所以解得≤φ≤，即φ的取值范围为[，]. 【答案】　[，] 类型五 由三角函数的图象求参数 由三角函数的图象求参数一般涉及A，ω，φ： (1)A可由图象中的最高点、最低点及对称中心的坐标确定； (2)ω可由相邻两对称轴或相邻两对称中心确定； (3)φ可由某关键点、线确定． 　函数f(x)＝2sin (ωx－φ)(ω＞0，－π＜φ＜π)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为(　　) A．2，－ 　　 　 B．2，－ C．2， 　　 　 D．4，－ 【解析】　设函数f(x)的周期为T， 由题图得T＝－(－)＝， 解得T＝π，所以ω＝＝2， 即f(x)＝2sin (2x－φ)，又由题中图象知， 点(，2)在函数f(x)的图象上， 可得f()＝2sin (－φ)＝2， 即sin (－φ)＝1，则－φ＝2kπ＋，k∈Z， 解得φ＝－2kπ＋，k∈Z， 又因为－π＜φ＜π，所以φ＝.故选C. 【答案】　C 【尝试训练】 1．已知函数f(x)＝sin (ωx－)(ω＞0，x∈[0，π])的值域为[－，1]，则ω的取值范围是(　　) A．[，] 　　 　 B．[，1] C．[，] 　　 　 D．[1，] 解析：选C.因为x∈[0，π]，可得ωx－∈[－，ωπ－]，因为函数f(x)＝sin (ωx－)的值域为[－，1]，所以ωπ－∈[，]，解得ω∈[，].故选C. 2．已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，且在[－，]上单调递减，则ω的取值范围是(　　) A．(0，) B．[，1) C．(0，] D．[，1) 解析：选C.因为f(x)为奇函数，0＜φ＜π，所以φ＝， 所以f(x)＝cos (ωx＋)＝－sin ωx. 令t＝ωx，x∈[－，]，ω＞0， 则t∈[－，]， 因为f(x)在[－，]上单调递减， 所以解得0＜ω≤.故选C. 3．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，－＜φ＜)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点(，0)对称，则φ的值为________． 解析：由题知＝，则T＝，ω＝＝3， 所以f(x)＝2sin (3x＋φ)， 又函数图象关于点(，0)对称，所以2sin (＋φ)＝0， 则＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z， 因为－＜φ＜，所以φ＝. 答案： 4．若函数f(x)＝|sin ωx|－1在[0，5π]上恰好有3个零点，则正实数ω的取值范围是____________________________． 解析：令|sin ωx|－1＝0得sin ωx＝±1， 因为函数f(x)＝|sin ωx|－1在[0，5π]上恰好有3个零点，所以函数y＝sin ωx在[0，5π]上恰有3条对称轴，当0≤x≤5π时，0≤ωx≤5ωπ， 设t＝ωx，则函数y＝sin t在[0，5ωπ]上恰有3条对称轴，如图： 则≤5ωπ＜，解得≤ω＜. 答案：[，) 学科网（北京）股份有限公司 $