强化课 三角函数与诱导公式(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦三角函数与诱导公式核心知识点，系统梳理三角函数式化简求值、诱导公式在三角形中的应用及与三角函数的综合应用，通过例题解析与跟踪训练构建学习支架，帮助学生掌握诱导公式转化、同角关系应用及综合问题解决方法。 该资料以题型为载体，通过具体实例（如三角形内角和转化、单位圆坐标应用）培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（符号表达），课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识，查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

　三角函数与诱导公式 题型一　三角函数式的化简与求值 　已知＝－tan ． 求：(1)tan α的值；(2)sin α－cos α的值． 【解】　(1)由题意得 ＝＝＝1. 得tan α－6＝－2－tan α，即tan α＝2. (2)由tan α＝＝2，知sin α＝2cos α， 则α为第一象限角或第三象限角， 代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝， 当α为第一象限角时，cosα＝，sin α＝＝，所以sin α－cos α＝； 当α为第三象限角时，cos α＝－， sin α＝－＝－， 所以sin α－cos α＝－. 综上所述，sin α－cos α＝或－. 解决与诱导公式有关的三角函数式的化简或求值问题，关键是正确地应用诱导公式把不同角问题转化为同角问题来处理，再利用同角三角函数的基本关系进行化简或求值．　 [跟踪训练1] 已知函数f(θ)＝ . (1)化简f(θ)； (2)若f(θ)＝sin θ，求tan θ＋sin θcos θ的值． 解：(1)f(θ)＝×[cos (－θ)sin (θ＋)＋sin (π－θ)＋cos (＋θ)] ＝×[cos (4π＋－θ)sin (θ－＋2π)＋sin (π－θ)＋cos (＋θ)] ＝ ＝＝cos θ. (2)由(1)知f(θ)＝cos θ＝sin θ， 则tan θ＝＝， sin θcos θ＝＝＝， 故tanθ＋sin θcos θ＝＋＝. 题型二　诱导公式在三角形中的应用 　已知在△ABC中，sin ＝sin ，试判断△ABC的形状． 【解】　在△ABC中，A＋B＋C＝π， 所以A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B. 又sin ＝sin ， 所以sin (－C)＝sin (－B)，则cos C＝cos B. 又B，C为△ABC的内角，所以C＝B， 所以△ABC为等腰三角形． 在涉及三角形问题时，一定要注意根据三角形内角和A＋B＋C＝π以及题目的具体条件进行适当变形，再化简求值．　 [跟踪训练2] 黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形，例如，正五角星可以看成是由一个正五边形剪去五个顶角为108°的黄金三角形后得到的图形，如图所示，在黄金三角形ABC中，＝，根据这些信息，可得cos 144°＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A． B．－ C．－ D．－ 解析：选C.因为∠ABC＝108°，所以∠BAC＝×(180°－108°)＝36°，因为cos 36°＝＝×＝，所以cos 144°＝－cos 36°＝－.故选C. 题型三　诱导公式与三角函数的综合应用 　在平面直角坐标系xOy中，α，β是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点O)于A，B两点．已知点A(，)，将OA绕原点顺时针旋转到OB.求： (1)点B的坐标； (2)的值． 【解】　(1)已知点A(，)在单位圆上， 则cos α＝，sin α＝， β＝α－，cos β＝cos (α－)＝sin α＝， sin β＝sin (α－)＝－cos α＝－， 因为点B在单位圆上，所以B(，－). (2)由(1)知cos β＝，sin β＝－， 则tan β＝＝－，所以 ＝＝＝. 对于三角函数与同角关系及诱导公式的综合问题，一般先是借助三角函数的定义求出某个角的三角函数值，然后用诱导公式化简变形，达到角的统一，最后再进行切化弦或弦化切，从而使问题得以解决．　 [跟踪训练3] 如图，在平面直角坐标系xOy中，第二象限角α的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为.求： (1)tan α的值； (2)的值． 解：(1)依题意得，sin α＝，因为α是第二象限角，故cos α＝－＝－， 于是tanα＝＝－. (2)由 ＝＝， 由(1)得，tan α＝－， 故原式＝＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $