7.2.4 第2课时 诱导公式⑤，⑥，⑦，⑧(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦诱导公式⑤⑥⑦⑧的推导、记忆及应用，通过回顾单位圆与诱导公式①～④，设置角终边对称关系、交点坐标等思考问题，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生自主探究公式由来。 其亮点在于以单位圆几何直观推导公式，结合“函数名改变，符号看象限”口诀构建记忆体系，通过例题、高考真题演练提升化简求值与证明能力。注重数学思维的推理与结构化总结，帮助学生培养逻辑推理与应用意识，为教师提供系统教学流程与多样化实践素材。

第2课时　诱导公式⑤，⑥，⑦，⑧ 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 同学们，前面我们利用单位圆定义了三角函数，并推出了诱导公式①～④，由单位圆可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，单位圆，这是一个多么美妙的图形！它就像一轮光芒四射的太阳，照耀我们的探究之路，又像一艘轮船，引领我们在知识的海洋里航行，这节课，我们将继续在单位圆中探寻三角函数的奥秘． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 提示：两角的终边关于直线y＝x对称． 提示：点P1与P2关于直线y＝x对称，点P2的坐标为(y，x). 新知学习 探究 返回导航 cos α sin α cos α －sin α 新知学习 探究 返回导航 sin α －cos α －sin α －cos α 新知学习 探究 返回导航 × × √ × 新知学习 探究 返回导航 √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 3．计算：sin211°＋sin279°＝________． 解析：sin211°＋sin279°＝sin211°＋cos211°＝1. 4．已知cos81°＝m，那么sin 729°＝________． 解析：sin 729°＝sin (360°×2＋9°)＝sin 9°＝sin (90°－81°)＝ cos 81°＝m. 1 m 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (1)利用诱导公式进行化简求值时，要特别注意函数名称和符号的确定． (2)解题的主要步骤：去负—脱周—化锐． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子． (3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．　 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.了解诱导公式⑤⑥⑦⑧的推导方法．　2.能够准确记忆诱导公式⑤⑥⑦⑧.　3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明． 观察如图单位圆及角α与 eq \f(π,2) －α的终边． 思考1　角α的终边与 eq \f(π,2) －α的终边有何关系？ 思考2　若设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x，y)，那么角 eq \f(π,2) －α的终边与单位圆的交点P2的坐标是什么？ eq \a\vs4\al(一　诱导公式⑤，⑥，⑦，⑧) 1．诱导公式⑤ sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2) —α)) ＝ eq \o(□,\s\up1(1)) ____________；cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)) ＝ eq \o(□,\s\up1(2)) ____________． 2．诱导公式⑥ sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)) ＝ eq \o(□,\s\up1(3)) ____________；cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)) ＝ eq \o(□,\s\up1(4)) ____________． 3．诱导公式⑦ cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α)) ＝ eq \o(□,\s\up1(5)) ____________；sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α)) ＝ eq \o(□,\s\up1(6)) ____________． 4．诱导公式⑧ cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)) ＝ eq \o(□,\s\up1(7)) ____________；sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)) ＝ eq \o(□,\s\up1(8)) ____________． 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)诱导公式⑤⑥⑦⑧中的角α只能是锐角．(　　) (2)sin (α－ eq \f(π,2) )＝cos α.(　　) (3)若α为第二象限角，则sin ( eq \f(π,2) ＋α)＝cos α.(　　) (4)对任意角α， sin ( eq \f(π,2) －α)＝sin α都不成立．(　　) 2．(多选)下列结论正确的是(　　) A．sin (α－ eq \f(π,2) )＝－cos α B．cos (α－π)＝－cos α C.tan (－α－π)＝－tan α D．cos ( eq \f(5π,2) ＋α)＝sin α 解析：对于A，sin (α－ eq \f(π,2) )＝－sin ( eq \f(π,2) －α)＝－cos α，故A正确； 对于B，cos (α－π)＝cos (π－α)＝－cos α，故B正确； 对于C，tan (－α－π)＝－tan (α＋π)＝－tan α，故C正确； 对于D，cos ( eq \f(5π,2) ＋α)＝cos (2π＋ eq \f(π,2) ＋α)＝cos ( eq \f(π,2) ＋α)＝－sin α，故D错误．故选ABC. 公式⑤～⑧的记忆方法与口诀 (1)方法： eq \f(π,2) ±α， eq \f(3π,2) ±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号． (2)口诀：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”．　 eq \a\vs4\al(二　利用诱导公式化简求值) 　(1)(对接教材例8)化简： eq \f(sin （π＋α）cos （3π＋α）cos （\f(π,2)＋α）,cos （6π＋α）sin （\f(5,2)π－α）sin （－π－α）) ＝(　　) A．－1 B．1 C．tan2α D．－tanα 【解析】　原式＝ eq \f(－sin α·（－cos α）·（－sin α）,cos α·cos α·sin α) ＝－ eq \f(sin α,cos α) ＝－tan α.故选D. (2)已知cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)) ＝ eq \f(1,2) ，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)) 的值为____________． 【解析】　sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)) ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)))) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)) ＝ eq \f(1,2) . eq \f(1,2) 【变式探究】 (综合变式)若本例(2)条件改为“sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)) ＝ eq \f(1,2) ，且α是第三象限角”，求sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)＋α)) 的值． 解：因为α是第三象限角， 所以－α是第二象限角， 又sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)) ＝ eq \f(1,2) ， 所以 eq \f(π,3) －α是第二象限角， 所以cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)) ＝－ eq \f(\r(3),2) ， 所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)＋α)) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)＋α)) ＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)) ＝－sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)))) ＝－cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)) ＝ eq \f(\r(3),2) . [跟踪训练1] (1)若cos (α－ eq \f(2π,3) )＝ eq \f(4,5) ，则sin ( eq \f(π,6) －α)＝(　　) A．－ eq \f(4,5) B．－ eq \f(3,5) C． eq \f(3,5) D． eq \f(4,5) 解析：因为cos (α－ eq \f(2π,3) )＝ eq \f(4,5) ， 即cos [(α－ eq \f(π,6) )－ eq \f(π,2) ]＝ eq \f(4,5) ，所以sin (α－ eq \f(π,6) )＝ eq \f(4,5) ， 则sin ( eq \f(π,6) －α)＝sin [－(α－ eq \f(π,6) )]＝－sin (α－ eq \f(π,6) )＝－ eq \f(4,5) . 故选A. (2)已知tan α＝－ eq \f(3,2) ，则 eq \f(cos （\f(π,2)＋α）sin （π＋α）,cos （π－α）sin （3π－α）) 的值为________． 解析：由题意知tan α＝－ eq \f(3,2) ， 则 eq \f(cos （\f(π,2)＋α）sin （π＋α）,cos （π－α）sin （3π－α）) ＝ eq \f(－sin α（－sin α）,－cos αsin α) ＝－ eq \f(sin α,cos α) ＝－tan α＝ eq \f(3,2) . eq \f(3,2) eq \a\vs4\al(三　利用诱导公式证明恒等式) 　求证： eq \f(cos （π－θ）,cos θ[sin （\f(3π,2)－θ）－1]) ＋ eq \f(cos （2π－θ）,cos （π＋θ）sin （\f(π,2)＋θ）－sin （\f(3π,2)＋θ）) ＝ eq \f(2,sin2θ) . 【证明】　等式左边 ＝ eq \f(－cosθ,cos θ（－cos θ－1）) ＋ eq \f(cos θ,－cos θ cos θ＋cos θ) ＝ eq \f(1,1＋cos θ) ＋ eq \f(1,1－cos θ) ＝ eq \f(2,1－cos2θ) ＝ eq \f(2,sin2θ) ＝等式右边，所以原等式成立． [跟踪训练2] 求证： eq \f(2sin （θ－\f(3π,2)）cos （θ＋\f(π,2)）－1,1－2sin2（π＋θ）) ＝ eq \f(tan（9π＋θ）＋1,tan （π＋θ）－1) .　 证明：等式左边＝ eq \f(2sin （θ＋\f(π,2)）（－sin θ）－1,1－2sin2θ) ＝ eq \f(－2sinθ cos θ－1,1－2sin2θ) ＝ eq \f(－2sinθcos θ－（sin2θ＋cos2θ）,sin2θ＋cos2θ－2sin2θ) ＝ eq \f(－（sinθ＋cos θ）2,（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ）) ＝ eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－cos θ) . 等式右边＝ eq \f(tan （π＋θ）＋1,tan （π＋θ）－1) ＝ eq \f(tan θ＋1,tan θ－1) ＝ eq \f(\f(sin θ,cos θ)＋1,\f(sin θ,cos θ)－1) ＝ eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－cos θ) .所以原等式成立． 1．(教材P34 T2(1)改编)已知sin ( eq \f(π,2) －α)＝ eq \f(3,5) ，则cos α＝(　　) A．－ eq \f(4,5) B． eq \f(4,5) C．－ eq \f(3,5) D． eq \f(3,5) 解析：因为sin ( eq \f(π,2) －α)＝ eq \f(3,5) ，所以cos α＝ eq \f(3,5) .故选D. 2．(多选)cos ( eq \f(π,4) ＋α)＝(　　) A．sin ( eq \f(5π,4) ＋α) B．sin ( eq \f(π,4) －α) C．cos (－ eq \f(3π,4) ＋α) D．cos ( eq \f(7π,4) －α) cos ( eq \f(7π,4) －α)＝cos [2π－( eq \f(π,4) ＋α)]＝cos ( eq \f(π,4) ＋α)，D正确．故选BD. 解析：sin ( eq \f(5π,4) ＋α)＝sin [π＋( eq \f(π,4) ＋α)]＝－sin ( eq \f(π,4) ＋α)，A错误； sin ( eq \f(π,4) －α)＝sin [ eq \f(π,2) －( eq \f(π,4) ＋α)]＝cos ( eq \f(π,4) ＋α)，B正确； cos (－ eq \f(3π,4) ＋α)＝cos (－π＋ eq \f(π,4) ＋α)＝－cos ( eq \f(π,4) ＋α)，C错误； 3．(教材P34T3(3)改编)化简： eq \f(sin （\f(3π,2)－α）tan （α－3π）,cos （α＋\f(π,2)）) ＝________． 解析： eq \f(sin （\f(3π,2)－α）tan （α－3π）,cos （α＋\f(π,2)）) ＝ eq \f(（－cos α）tan α,－sin α) ＝ eq \f(（－cos α）·\f(sin α,cos α),－sin α) ＝1. 4．已知角A，B，C为△ABC的三个内角，求证：sin ( eq \f(A,2) ＋ eq \f(π,4) )＝cos ( eq \f(B＋C,2) － eq \f(π,4) ). 证明：在△ABC中，A＋B＋C＝π， 则 eq \f(B＋C,2) ＝ eq \f(π－A,2) . 所以cos ( eq \f(B＋C,2) － eq \f(π,4) ) ＝cos ( eq \f(π－A,2) － eq \f(π,4) ) ＝cos ( eq \f(π,2) － eq \f(A,2) － eq \f(π,4) )＝cos [ eq \f(π,2) －( eq \f(A,2) ＋ eq \f(π,4) )] ＝sin ( eq \f(A,2) ＋ eq \f(π,4) )，故原等式得证． 1．已学习：诱导公式⑤⑥⑦⑧及应用，利用诱导公式进行化简、求值与证明． 2．须贯通：诱导公式可以统一概括为“k· eq \f(π,2) ±α(k∈Z)”，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原三角函数值的符号． 3．应注意：(1)诱导公式中“符号”的确定； (2)三角函数名称改变．　 $