7.2.4 第1课时 诱导公式①，②，③，④(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦诱导公式①②③④，通过“90°～360°角的三角函数能否转化到锐角范围”的问题导入，衔接终边相同角的三角函数知识，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生理解公式推导逻辑。 其亮点在于以问题链驱动公式推导（数学思维），结合例题（如例1将1320°转化为锐角求值）和跟踪训练分层设计，小结提炼“负化正→大化小→锐角→求值”步骤（数学眼光），助力学生形成转化思想与推理能力，教师可直接用于课堂提升教学效率。

7．2.4　诱导公式 第1课时　诱导公式①，②，③，④ 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 同学们，我们知道角α与角α＋2kπ(k∈Z)的终边相同，那么我们可以利用这一点把求绝对值较大的三角函数值转化为求0°～360°角的三角函数值，对于90°～360°角的三角函数值，我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解呢？ 思考1　我们是如何定义三角函数的？ 提示：三角函数定义的核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等． 新知学习 探究 返回导航 思考2　画图观察角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？ 提示：角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，点P1与点P2关于原点对称． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 x y 原点 sin α －sin α sin α －sin α 新知学习 探究 返回导航 cos α cos α －cos α －cos α tan α －tan α －tan α tan α 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (对接教材例3)求下列三角函数值． (1)sin 1 320°； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 新知学习 探究 返回导航 √ √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 －1 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．　 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正、余弦函数．　 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 －tan α 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 0 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：特殊关系角的终边对称性，诱导公式①，②，③，④及应用． 2．须贯通：诱导公式①～④在化简、求值、证明过程中，一般遵循如下顺序：负化正→大化小→锐角→求值． 3．应注意：(1)诱导公式中“符号”的确定； (2)三角函数名称不变．　 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.理解诱导公式①，②，③，④的推导方法．　2.能运用公式进行三角函数式的求值、化简以及证明． eq \a\vs4\al(一　诱导公式①，②，③，④) 角 α＋2kπ (k∈Z) －α π－α π＋α 图示 与角α终 边的关系 相同 关于 eq \o(□,\s\up1(1)) ____ 轴对称 关于 eq \o(□,\s\up1(2)) ____ 轴对称 关于 eq \o(□,\s\up1(3)) _____ 对称 公式 ① ② ③ ④ 正弦 sin (α＋2kπ) ＝ eq \o(□,\s\up1(4)) ______ (k∈Z) sin (－α)＝ eq \o(□,\s\up1(5)) ________ sin (π－α)＝ eq \o(□,\s\up1(6)) ________ sin (π＋α)＝ eq \o(□,\s\up1(7)) ________ 角 α＋2kπ(k∈Z) －α π－α π＋α 余弦 cos (α＋2kπ) ＝ eq \o(□,\s\up1(8)) ______(k∈Z) cos (－α)＝ eq \o(□,\s\up1(9)) ________ cos (π－α)＝ eq \o(□,\s\up1(10)) ________ cos (π＋α)＝ eq \o(□,\s\up1(11)) ________ 正切 tan (α＋2kπ) ＝ eq \o(□,\s\up1(12)) ______(k∈Z) tan (－α)＝ eq \o(□,\s\up1(13)) ________ tan (π－α)＝ eq \o(□,\s\up1(14)) ________ tan (π＋α)＝ eq \o(□,\s\up1(15)) ________ 记忆 口诀 函数名不变，符号看象限 点拨　诱导公式①～④的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”，其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所对应的三角函数值的符号，α看成锐角，只是方便记忆公式，实际上α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z. 【解】　sin 1 320°＝sin (3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin (180°＋60°)＝－sin 60°＝－ eq \f(\r(3),2) . (2)cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(43π,6))) ； 【解】　cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(43π,6))) ＝cos eq \f(43π,6) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π＋\f(7π,6))) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6))) ＝－cos eq \f(π,6) ＝－ eq \f(\r(3),2) . (3)sin eq \f(5π,6) ＋tan eq \f(7π,4) －cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8π,3))) . 【解】　sin eq \f(5π,6) ＋tan eq \f(7π,4) －cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8π,3))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6))) ＋tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,4))) －cos eq \f(2π,3) ＝sin eq \f(π,6) ＋tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4))) －cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3))) ＝sin eq \f(π,6) －tan eq \f(π,4) ＋cos eq \f(π,3) ＝ eq \f(1,2) －1＋ eq \f(1,2) ＝0. [跟踪训练1] (1)(多选)下列各式中，值为 eq \f(1,2) 的是(　　) A．sin eq \f(5π,6) B．sin (－210°) C．cos eq \f(11π,6) D． eq \f(\r(3),2) tan 240° 解析：sin eq \f(5π,6) ＝sin (π－ eq \f(π,6) )＝sin eq \f(π,6) ＝ eq \f(1,2) ，A正确； eq \f(\r(3),2) tan 240°＝ eq \f(\r(3),2) tan (180°＋60°)＝ eq \f(\r(3),2) tan 60°＝ eq \f(\r(3),2) × eq \r(3) ＝ eq \f(3,2) ，D错误．故选AB. sin (－210°)＝－sin (180°＋30°)＝sin 30°＝ eq \f(1,2) ，B正确； cos eq \f(11π,6) ＝cos (2π－ eq \f(π,6) )＝cos eq \f(π,6) ＝ eq \f(\r(3),2) ，C错误； (2)计算： eq \f(sin 210°＋cos 120°,tan 225°) ＝________． 解析： eq \f(sin 210°＋cos 120°,tan 225°) ＝ eq \f(sin （180°＋30°）＋cos （180°－60°）,tan （180°＋45°）) ＝ eq \f(－sin 30°－cos 60°,tan 45°) ＝ eq \f(－\f(1,2)－\f(1,2),1) ＝－1. eq \a\vs4\al(二　给值（式）求值) 　(1)若sin (π－α)＝－ eq \f(2,3) ，且α∈(－ eq \f(π,2) ，0)，则cos (π＋α)的值为(　　) A．± eq \f(\r(5),3) B． eq \f(\r(5),3) C．－ eq \f(\r(5),3) D． eq \f(2,3) 【解析】　由sin (π－α)＝－ eq \f(2,3) ， 得sin α＝－ eq \f(2,3) ，而α∈(－ eq \f(π,2) ，0)， 于是cos α＝ eq \r(1－sin2α) ＝ eq \r(1－（－\f(2,3)）2) ＝ eq \f(\r(5),3) ， 所以cos(π＋α)＝－cos α＝－ eq \f(\r(5),3) .故选C. (2)已知α为锐角，若cos (α＋ eq \f(π,6) )＝ eq \f(1,3) ，则cos (α＋ eq \f(7π,6) )＝________． 【解析】　因为cos (α＋ eq \f(π,6) )＝ eq \f(1,3) ， 所以cos (α＋ eq \f(7π,6) )＝cos [(α＋ eq \f(π,6) )＋π] ＝－cos (α＋ eq \f(π,6) )＝－ eq \f(1,3) . － eq \f(1,3) 【变式探究】 (设问变式)本例(2)条件不变，求sin ( eq \f(5π,6) －α)＝______________． 解析：因为α为锐角，且cos (α＋ eq \f(π,6) )＝ eq \f(1,3) ， 所以α＋ eq \f(π,6) 也是锐角，所以sin (α＋ eq \f(π,6) )＝ eq \r(1－cos2（α＋\f(π,6)）) ＝ eq \r(1－（\f(1,3)）2) ＝ eq \f(2\r(2),3) . sin( eq \f(5π,6) －α)＝sin [π－(α＋ eq \f(π,6) )]＝sin (α＋ eq \f(π,6) )＝ eq \f(2\r(2),3) . eq \f(2\r(2),3) [跟踪训练2] (1)若tan (π＋α)＝－ eq \f(1,2) ，则tan (3π－α)的值为(　　) A． eq \f(1,2) B．2 C．－ eq \f(1,2) D．－2 解析：由已知得tan (π＋α)＝tan α＝－ eq \f(1,2) ，所以tan (3π－α)＝－tan α＝ eq \f(1,2) .故选A. (2)已知cos (75°＋α)＝ eq \f(1,3) ，且－180°<α<－90°，则sin (255°＋α)＝________． 解析：因为－180°<α<－90°， 所以－105°<75°＋α<－15°，又cos (75°＋α)＝ eq \f(1,3) ， 所以sin (75°＋α)＝－ eq \r(1－（\f(1,3)）2) ＝－ eq \f(2\r(2),3) ， 所以sin (255°＋α)＝sin (180°＋75°＋α) ＝－sin (75°＋α)＝ eq \f(2\r(2),3) . eq \f(2\r(2),3) eq \a\vs4\al(三　利用公式进行化简) 　(对接教材例5)化简： (1) eq \f(tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）,cos （α－π）sin （5π－α）) ； 【解】　原式＝ eq \f(tan （－α）sin （－α）cos （－α）,cos （π－α）sin （π－α）) ＝ eq \f(tan αsin αcos α,－cos αsin α) ＝－tan α. (2) eq \f(sin （1 440°＋α）cos （1 080°－α）,cos （－180°－α）sin （－α－180°）) . 【解】原式＝ eq \f(sin （4×360°＋α）cos （3×360°－α）,cos （－180°－α）sin （－α－180°）) ＝ eq \f(sin αcos α,－cos αsin α) ＝－1. [跟踪训练3] (1)已知f(α)＝ eq \f(tan （π－α）cos （2π－α）cos （π－α）,cos （－α－π）) ，则f(－ eq \f(25π,6) )的值为(　　) A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(\r(3),2) D．－ eq \f(\r(3),2) 解析：f(α)＝ eq \f(tan （π－α）cos （2π－α）cos （π－α）,cos （－α－π）) ＝ eq \f(－tan αcos α（－cos α）,cos （α＋π）) ＝ eq \f(－\f(sin α,cos α)cos α（－cos α）,－cos α) ＝－sin α. 所以f(－ eq \f(25π,6) )＝－sin (－ eq \f(25π,6) )＝sin eq \f(25π,6) ＝sin (4π＋ eq \f(π,6) )＝sin eq \f(π,6) ＝ eq \f(1,2) .故选A. (2)化简： eq \f(sin （α－π）tan （5π－α）,tan （2π－α）cos （－2π－α）) ＝________． 解析： eq \f(sin （α－π）tan （5π－α）,tan （2π－α）cos （－2π－α）) ＝ eq \f(－sin α（－tan α）,－tan αcos α) ＝－tan α. 1．(教材P33T2(2)改编)计算：cos (－ eq \f(16π,3) )＝(　　) A．－ eq \f(1,2) B． eq \f(1,2) C．－ eq \f(\r(3),2) D． eq \f(\r(3),2) 解析：由诱导公式可得，cos (－ eq \f(16π,3) )＝cos eq \f(16π,3) ＝cos (5π＋ eq \f(π,3) )＝cos (π＋ eq \f(π,3) )＝－cos eq \f(π,3) ＝－ eq \f(1,2) .故选A. 2．(多选)设sin (3π－α)＝ eq \f(3,5) ，α∈( eq \f(π,2) ，π)，以下正确的是(　　) A．tan α＝ eq \f(3,4) B．tan α＝－ eq \f(3,4) C．cos α＝ eq \f(4,5) D．cos α＝－ eq \f(4,5) 解析：因为sin (3π－α)＝sin α＝ eq \f(3,5) ，α∈( eq \f(π,2) ，π)， 所以cos α＝－ eq \r(1－sin2α) ＝－ eq \r(1－（\f(3,5)）2) ＝－ eq \f(4,5) ， 所以tanα＝ eq \f(sin α,cos α) ＝－ eq \f(3,4) .故选BD. 3．sin eq \f(13π,6) ＋cos eq \f(13π,3) －tan (－ eq \f(23π,4) )＝________． 解析：sin eq \f(13π,6) ＋cos eq \f(13π,3) －tan (－ eq \f(23π,4) ) ＝sin (2π＋ eq \f(π,6) )＋cos (4π＋ eq \f(π,3) )－tan (－6π＋ eq \f(π,4) ) ＝sin eq \f(π,6) ＋cos eq \f(π,3) －tan eq \f(π,4) ＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) －1＝0. 4．已知sin (53°－α)＝ eq \f(1,5) ，且－270°<α<－90°. (1)求sin (127°＋α)的值； 解：因为sin (53°－α)＝ eq \f(1,5) ， 所以sin (127°＋α)＝sin [180°－(53°－α)]＝sin (53°－α)＝ eq \f(1,5) . 已知sin (53°－α)＝ eq \f(1,5) ，且－270°<α<－90°. (2)求cos (233°－α)的值． 解：因为sin (53°－α)＝ eq \f(1,5) ，且－270°<α<－90°， 所以143°<53°－α<323°，又sin (53°－α)＝ eq \f(1,5) >0， 所以143°<53°－α<180°， 所以cos (53°－α)＝－ eq \r(1－sin2（53°－α）) ＝－ eq \r(1－（\f(1,5)）2) ＝－ eq \f(2\r(6),5) ， 所以cos(233°－α)＝cos [180°＋(53°－α)] ＝－cos (53°－α)＝ eq \f(2\r(6),5) . $