7.2.3 同角三角函数的基本关系式(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦同角三角函数基本关系式，通过具体角的三角函数值观察规律，结合单位圆上点P(x,y)验证猜想，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解平方关系与商数关系的推导脉络。 其亮点在于以数学眼光抽象数量关系，通过单位圆模型引导发现规律，用数学思维设计“知一求二”“齐次式转化”等方法培养推理与运算能力，以数学语言规范符号表述。实例丰富如已知tanα求三角函数值的分类讨论，助力学生掌握方法，教师可直接用于教学提升效率。

7．2.3　同角三角函数的基本关系式 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 新知学习 探究 返回导航 提示：对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切 (cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1. 新知学习 探究 返回导航 思考2　如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点．你能验证思考1的猜想吗？ 新知学习 探究 返回导航 1 1 tan α 商 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 点拨　(1)“同一个角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在式子有意义的前提下)关系式都成立；(2)sin2α是(sin α)2的缩写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sinα2，后者表示α2的正弦值，两者是不同的． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)已知tan α＝2，求sin α和cos α的值． 新知学习 探究 返回导航 已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解．   (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方法求解． 新知学习 探究 返回导航 [提醒]　当角θ的范围不确定且涉及开方时，常根据三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)进行讨论．　 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 tanα与sin α，cos α的齐次式的相互转化 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．　 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 已知tan α＝2，计算： (2)cos αsin α. 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 (设问变式)本例条件不变，求tan α的值． 新知学习 探究 返回导航 sin θ±cos θ与sin θcos θ的关系 sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ. [注意]　求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值时，往往先根据条件求出并利用sin θcos θ的值，进而根据sin θcos θ的符号来确定角θ的终边位置，从而确定sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的符号．　 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．　 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 (2)证明：tan2αsin2α＝tan2α－sin2α. 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：同角三角函数的基本关系，利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明． 2．须贯通：同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，在化简、求值时，灵活运用“切化弦”“弦化切”的技巧，运用由部分到整体、整体代换的方法． 3．应注意：运用平方关系求值时，角α的取值范围决定三角函数值的符号．　 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.理解同角三角函数的基本关系式．　2.能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简和证明． 思考1　观察下表，你能发现什么？ α 0 eq \f(π,6) eq \f(π,4) eq \f(π,3) eq \f(π,2) sin α 0 eq \f(1,2) eq \f(\r(2),2) eq \f(\r(3),2) 1 cos α 1 eq \f(\r(3),2) eq \f(\r(2),2) eq \f(1,2) 0 tan α 0 eq \f(\r(3),3) 1 eq \r(3) 不存在 提示：若余弦不为0，则正切等于正弦与余弦的比值，即tan α＝ eq \f(y,x) ＝ eq \f(sin α,cos α) ； 因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2＋y2＝1，即sin2α＋cos2α＝1. eq \a\vs4\al(一　同角三角函数的基本关系式) 1．基本关系 类别 关系式 文字表述 平方 关系 sin2α＋cos2α＝ eq \o(□,\s\up1(1)) ____ 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 eq \o(□,\s\up1(2)) ____ 商数 关系 eq \f(sin α,cos α) ＝ eq \o(□,\s\up1(3)) ________ (α≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z) 同一个角α的正弦、余弦的 eq \o(□,\s\up1(4)) ____等于角α的正切 2.公式变形 sin2α＋cos2α＝1⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,（sinα±cos α）2＝1±2sin αcos α.)) tan α＝ eq \f(sin α,cos α) ⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin α＝tan αcos α（α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z），,cos α＝\f(sin α,tan α)（α≠\f(kπ,2)，k∈Z）.)) 　(对接教材例1)(1)已知sin α＝ eq \f(12,13) ，并且α是第二象限角，求cos α和tan α； 【解】　cos2α＝1－sin2α＝1－( eq \f(12,13) )2＝ eq \f(25,169) ， 又α是第二象限角，所以cosα＝－ eq \f(5,13) ，tan α＝ eq \f(sin α,cos α) ＝－ eq \f(12,5) . 【解】　由 eq \f(sin α,cos α) ＝tan α＝2，可得sin α＝2cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，故(2cosα)2＋cos2α＝1，解得cos2α＝ eq \f(1,5) . 又由tanα＝2>0，知α是第一或第三象限角． 当α是第一象限角时，则cos α＝ eq \f(\r(5),5) ， sin α＝ eq \f(2\r(5),5) ；当α是第三象限角时，则cos α＝－ eq \f(\r(5),5) ， sin α＝－ eq \f(2\r(5),5) . [跟踪训练1] (1)已知α为第四象限角，且tan α＝－ eq \f(1,2) ，则sin α＝(　　) A． eq \f(\r(5),5) B．－ eq \f(\r(5),5) C． eq \f(2\r(5),5) D．－ eq \f(2\r(5),5) 解析：由题意，sin α＝－ eq \f(1,2) cos α，即cos α＝－2sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，联立可得sin 2α＝ eq \f(1,5) .又α为第四象限角，则sin α＝－ eq \f(\r(5),5) .故选B. (2)已知α为钝角，sin α＝ eq \f(\r(10),10) ，则cos α＝_____________________. 解析：因为sin α＝ eq \f(\r(10),10) ，所以cos α＝± eq \r(1－sin 2α) ＝± eq \f(3\r(10),10) ，因为α为钝角，所以cos α＝－ eq \f(3\r(10),10) . － eq \f(3\r(10),10) eq \a\vs4\al(二　基本关系的简单应用) 角度1　利用弦切互化求值 　已知 eq \f(4sin α－2cos α,5sin α＋3cos α) ＝1. (1)求tan α的值； 【解】　方法一： eq \f(4sin α－2cos α,5sin α＋3cos α) ＝1，等式左边的分子，分母同除以cos α得， eq \f(4tan α－2,5tan α＋3) ＝1，即5tan α＋3＝4tan α－2， 解得tan α＝－5. 方法二：由 eq \f(4sin α－2cos α,5sin α＋3cos α) ＝1可得4sin α－2cos α＝5sin α＋3cos α，即sin α＝－5cos α， 所以tan α＝ eq \f(sin α,cos α) ＝－5. 【解】　2sin2α－3cos2α＋sinαcos α ＝ eq \f(2sin2α－3cos2α＋sinαcos α,sin2α＋cos2α) ＝ eq \f(2tan2α－3＋tanα,tan2α＋1) ＝ eq \f(2×（－5）2－3－5,（－5）2＋1) ＝ eq \f(21,13) . 已知 eq \f(4sin α－2cos α,5sin α＋3cos α) ＝1. (2)求2sin2α－3cos2α＋sinαcos α的值． [跟踪训练2] 已知tan α＝2，计算： (1) eq \f(sin α＋cos α,5cos α－2sin α) ； 解：因为tan α＝2，所以 eq \f(sin α＋cos α,5cos α－2sin α) ＝ eq \f(tan α＋1,5－2tan α) ＝ eq \f(2＋1,5－2×2) ＝3. 解：因为tan α＝2，所以cos αsin α＝ eq \f(cos αsin α,cos 2 α＋sin 2 α) ＝ eq \f(tan α,1＋tan 2 α) ＝ eq \f(2,1＋22) ＝ eq \f(2,5) . 角度2　sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 　已知sin α－cos α＝ eq \f(1,5) ，α∈(0，π)，求： (1)sin αcos α的值； 【解】　由sin α－cos α＝ eq \f(1,5) 可得(sin α－cos α)2＝ eq \f(1,25) ⇒1－2sin αcos α＝ eq \f(1,25) ⇒sin αcos α＝ eq \f(12,25) . 已知sin α－cos α＝ eq \f(1,5) ，α∈(0，π)，求： (2)sin α＋cos α的值． 【解】　由sin αcos α＝ eq \f(12,25) >0和α∈(0，π)可得sin α>0，cos α>0，故α∈(0， eq \f(π,2) )，故(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝ eq \f(49,25) ⇒sin α＋cos α＝ eq \f(7,5) . 解：由本例(2)可知sin α＋cos α＝ eq \f(7,5) ，再结合已知条件sin α－cos α＝ eq \f(1,5) ，联立方程组， 解得sin α＝ eq \f(4,5) ，cos α＝ eq \f(3,5) ， 所以tan α＝ eq \f(4,3) . [跟踪训练3] 若sin α＋cos α＝ eq \f(1,3) ，α∈(0，π)，则 eq \f(1,sin α) － eq \f(1,cos α) 的值为__________． 解析：由sin α＋cos α＝ eq \f(1,3) ⇒(sin α＋cos α)2＝ eq \f(1,9) ⇒sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝ eq \f(1,9) ⇒sin αcos α＝－ eq \f(4,9) <0， eq \f(3\r(17),4) 又α∈(0，π)，所以α∈( eq \f(π,2) ，π)， 因此cos α－sin α ＝－ eq \r(（sin α＋cos α）2－4sin αcos α) ＝－ eq \r(\f(1,9)＋\f(16,9)) ＝－ eq \f(\r(17),3) ， 于是 eq \f(1,sin α) － eq \f(1,cos α) ＝ eq \f(cos α－sin α,sin αcos α) ＝ eq \f(－\f(\r(17),3),－\f(4,9)) ＝ eq \f(3\r(17),4) . eq \a\vs4\al(三　三角函数式的化简与证明) 角度1　三角函数式的化简 　化简： (1) eq \f(sin α,1＋sin α) － eq \f(sin α,1－sin α) ； 【解】　原式 ＝ eq \f(sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）,（1＋sin α）（1－sin α）) ＝ eq \f(－2sin2α,1－sin2α) ＝ eq \f(－2sin2α,cos2α) ＝－2tan2α. (2) eq \f(\r(1＋2sin 10°cos 10°),cos 10°＋\r(1－cos210°)) ； 【解】　原式＝ eq \f(\r(（cos10°＋sin 10°）2),cos 10°＋sin 10°) ＝ eq \f(|cos 10°＋sin 10°|,cos 10°＋sin 10°) ＝1. (3)sin2αtanα＋ eq \f(cos2α,tanα) ＋2sin αcos α. 【解】　原式＝sin2α· eq \f(sinα,cos α) ＋cos2α· eq \f(cosα,sin α) ＋2sin αcos α ＝ eq \f(sin4α＋cos4α＋2sin2αcos2α,sinαcos α) ＝ eq \f(（sin2α＋cos2α）2,sinαcos α) ＝ eq \f(1,sin αcos α) . 【变式探究】 (综合变式)在本例(2)中，将式子中的“10°”换成“锐角α”，化简 eq \f(\r(1＋2sin αcos α),cos α＋\r(1－cos2α)) . 解： eq \f(\r(1＋2sin αcos α),cos α＋\r(1－cos2α)) ＝ eq \f(\r(（sinα＋cos α）2),cos α＋\r(sin2α)) ＝ eq \f(|sinα＋cos α|,cos α＋|sin α|) ＝ eq \f(sin α＋cos α,cos α＋sin α) ＝1. 角度2　三角函数式的证明 　(对接教材例5)求证： eq \f(sin α－cos α＋1,sin α＋cos α－1) ＝ eq \f(1＋sin α,cos α) .　 【证明】　方法一：左边 ＝ eq \f(（sin α－cos α＋1）（sin α＋cos α＋1）,（sin α＋cos α－1）（sin α＋cos α＋1）) ＝ eq \f(（sin α＋1）2－cos2α,（sinα＋cos α）2－1) ＝ eq \f(sin2α＋2sinα＋1－cos2α,2sinαcos α) ＝ eq \f(2sin2α＋2sinα,2sin αcos α) ＝ eq \f(sin α＋1,cos α) ＝右边． 所以原等式成立． 方法二：因为(sin α－cos α＋1)cos α ＝sin αcos α－cos2α＋cosα ＝sin αcos α＋cos α－(1－sin2α) ＝cosα(sin α＋1)－(1＋sin α)(1－sin α) ＝(1＋sin α)(cos α－1＋sin α) ＝(1＋sin α)(sin α＋cos α－1)， 且sin α＋cos α－1≠0，cos α≠0， 所以 eq \f(sin α－cos α＋1,sin α＋cos α－1) ＝ eq \f(1＋sin α,cos α) . 证明三角恒等式常用的方法 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．　 (4)变更命题法，如要证明 eq \f(a,b) ＝ eq \f(c,d) ，可证ad＝bc或证 eq \f(d,b) ＝ eq \f(c,a) 等． (5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“ eq \f(左边,右边) ＝1”． [跟踪训练4] (1)化简： eq \f(2cos2α－1,1－2sin2α) ＋(1＋tan2α)·cos2α.　 解：原式 ＝ eq \f(2cos2α－（sin2α＋cos2α）,sin2α＋cos2α－2sin2α) ＋(1＋ eq \f(sin2α,cos2α) )·cos2α ＝ eq \f(cos2α－sin2α,cos2α－sin2α) ＋ eq \f(cos2α＋sin2α,cos2α) ·cos2α ＝1＋1＝2. (2)求证： eq \f(1＋2sinαcos α,sin2α－cos2α) ＝ eq \f(tanα＋1,tan α－1) . 证明：方法一：左边 ＝ eq \f(sin2α＋cos2α＋2sinαcos α,sin2α－cos2α) ＝ eq \f(（sinα＋cos α）2,sin2α－cos2α) ＝ eq \f(sinα＋cos α,sin α－cos α) ＝ eq \f(tan α＋1,tan α－1) ＝右边． 所以原等式成立． 方法二：右边＝ eq \f(\f(sin α,cos α)＋1,\f(sin α,cos α)－1) ＝ eq \f(sin α＋cos α,sin α－cos α) ＝ eq \f(（sin α＋cos α）2,（sin α－cos α）（sin α＋cos α）) ＝ eq \f(1＋2sin αcos α,sin2α－cos2α) ＝左边． 所以原等式成立． 1．若α为第三象限角，则 eq \f(2sin α,\r(1－cos 2α)) 的值为(　　) A．2 B．－1 C．1 D．－2 解析：因为α为第三象限角，则sin α<0，因此， eq \f(2sin α,\r(1－cos 2α)) ＝ eq \f(2sin α,|sin α|) ＝ － eq \f(2sin α,sin α) ＝－2.故选D. 2．(多选)(教材P26练习AT1(1)改编)已知θ∈(－ eq \f(π,2) ， eq \f(π,2) )，且sin θ＝ eq \f(1,2) ，则关于θ表述正确的是(　　) A.θ＝ eq \f(π,6) B．cos θ＝－ eq \f(\r(3),2) C．tan θ＝ eq \r(3) D．tan θ＝ eq \f(\r(3),3) 解析：因为θ∈(－ eq \f(π,2) ， eq \f(π,2) )，且sin θ＝ eq \f(1,2) ，所以θ∈(0， eq \f(π,2) )，则θ＝ eq \f(π,6) ， cos θ＝ eq \f(\r(3),2) ，tan θ＝ eq \f(\r(3),3) .故选AD. 3．(教材P26练习BT2(4)改编)已知 eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－cos θ) ＝4，则tan θ＝____________． 解析：因为 eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－cos θ) ＝4，所以 eq \f(tan θ＋1,tan θ－1) ＝4，解得tan θ＝ eq \f(5,3) . eq \f(5,3) 4．(1)化简： eq \f(1－sin4θ－cos4θ,1＋sin4θ－cos4θ) ； 解：原式＝ eq \f(1－（sin2θ＋cos 2θ）2＋2sin 2θcos 2θ,1＋（sin 2θ＋cos 2θ）（sin 2θ－cos 2θ）) ＝ eq \f(2sin 2θcos 2θ,2sin 2θ) ＝cos 2θ. 证明：右边＝tan 2α－sin 2α＝ eq \f(sin 2α,cos 2α) －sin 2α ＝sin 2α( eq \f(1,cos 2α) －1)＝sin 2α· eq \f(1－cos 2α,cos 2α) ＝sin 2α· eq \f(sin 2α,cos 2α) ＝sin 2αtan 2α＝左边，所以原等式成立． $