7.2.3 同角三角函数的基本关系式 课后达标 检测(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦三角函数核心内容，涵盖同角三角函数关系、象限角判断、恒等变换及实际应用，通过从基础定义（如终边上点的坐标、单位圆）到综合问题（如几何图形中的三角计算）的梯度设计，搭建连贯的学习支架，帮助学生逐步深化理解。 其亮点在于以数学思维为核心，通过多样化题目（如几何情境题、方程与三角结合题）培养逻辑推理与运算能力，如第11题利用正方形面积关系建立三角函数模型，体现用数学眼光观察现实世界。采用分层训练设计，学生能提升问题解决能力，教师可依托此资料实现高效教学。

7．2.3　课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 16 11 1 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 15 16 11 2 √ 课后达标 检测 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 3 √ 课后达标 检测 3 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 4 √ 课后达标 检测 3 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 4 课后达标 检测 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 √ 课后达标 检测 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 课后达标 检测 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 √ √ 课后达标 检测 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 课后达标 检测 3 4 5 6 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 7 课后达标 检测 3 4 5 6 7 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 8 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 10 2 12 13 14 15 16 11 9 3 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 √ √ √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 14 15 16 11 13 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 课后达标 检测 16．已知sin α，cos α是关于x的一元二次方程2x2＋x－m＝0的两根． (1)求sin α＋cos α的值； 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 已知sin α，cos α是关于x的一元二次方程2x2＋x－m＝0的两根． (2)求m的值； 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 已知sin α，cos α是关于x的一元二次方程2x2＋x－m＝0的两根． (3)若0<α<π，求sin α－cos α的值． 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 1．已知x∈(－ eq \f(π,2) ，0)，cos x＝ eq \f(4,5) ，则tan x＝(　　) A． eq \f(3,4) B．－ eq \f(3,4) C． eq \f(4,3) D．－ eq \f(4,3) 解析：因为x∈(－ eq \f(π,2) ，0)，cos x＝ eq \f(4,5) ， 所以sin x＝－ eq \r(1－cos 2 x) ＝－ eq \f(3,5) . 所以tan x＝ eq \f(sin x,cos x) ＝－ eq \f(3,4) .故选B. 2．已知P(1，3)为角α终边上一点，则 eq \f(2sin α－cos α,sin α＋2cos α) ＝(　　) A．－7 B．－1 C．1 D．2 解析：因为P(1，3)为角α终边上一点，所以tan α＝ eq \f(3,1) ＝3，所以 eq \f(2sin α－cos α,sin α＋2cos α) ＝ eq \f(2tan α－1,tan α＋2) ＝ eq \f(5,5) ＝1.故选C. 3．若α为第二象限角，则 eq \f(\r(1－2sin αcos α),cos α－\r(1－cos 2 α)) ＝(　　) A．1 B．－1 C．sin α D．cos α 解析：因为α为第二象限角，则sin α>0，cos α<0， eq \f(\r(1－2sin αcos α),cos α－\r(1－cos 2 α)) ＝ eq \f(\r(（sin α－cos α）2),cos α－\r(sin 2 α)) ＝ eq \f(|sin α－cos α|,cos α－|sin α|) ＝ eq \f(sin α－cos α,cos α－sin α) ＝－1.故选B. 4．已知A为△ABC的内角，且sin A＋cos A＝ eq \f(7,12) ，则△ABC是(　　) A.钝角三角形 B．不等边的锐角三角形 C．直角三角形 D．正三角形 解析：因为sin A＋cos A＝ eq \f(7,12) ， 所以(sin A＋cos A)2＝sin 2A＋cos 2A＋2sin A·cos A＝1＋2sin A cos A＝ eq \f(49,144) ， 所以sin A cos A＝－ eq \f(95,288) ，又因为A∈(0，π)，所以sin A>0，cos A<0，所以A为钝角，所以△ABC是钝角三角形．故选A. 5．设－ eq \f(π,2) <α<0，若 eq \f(sin α,1－cos α) ＝ eq \f(tan α,2) ，则sin α＝(　　) A．－ eq \f(4,5) B．－ eq \f(3,5) C．－ eq \f(2\r(2),3) D．－ eq \f(1,3) 解析：由已知得 eq \f(sin α,1－cos α) ＝ eq \f(tan α,2) ，故 eq \f(sin α,1－cos α) ＝ eq \f(sin α,2cos α) ，因为－ eq \f(π,2) <α<0，所以sin α<0，故 eq \f(1,1－cos α) ＝ eq \f(1,2cos α) ，解得cos α＝ eq \f(1,3) ，则sin α＝－ eq \r(1－cos 2α) ＝－ eq \f(2\r(2),3) .故选C. 6．(多选)已知θ∈(0，π)，cos θ＝－ eq \f(4,5) ，则下列结论正确的是(　　) A．θ为第二象限角 B． eq \f(θ,2) 位于第一象限或第三象限 C．tan θ＝－ eq \f(4,3) D．4sin θcos θ－2cos 2θ＝－ eq \f(16,5) 解析：因为θ∈(0，π)，cos θ＝－ eq \f(4,5) ，所以 eq \f(π,2) <θ<π，θ为第二象限角，A正确； 由上知， eq \f(π,4) < eq \f(θ,2) < eq \f(π,2) ， eq \f(θ,2) 位于第一象限，B错误； 因为θ∈(0，π)，cos θ＝－ eq \f(4,5) ，所以sin θ＝ eq \r(1－cos 2 θ) ＝ eq \f(3,5) ，所以tan θ＝ eq \f(sin θ,cos θ) ＝－ eq \f(3,4) ，C错误； 由上知，4sin θcos θ－2cos 2θ＝4× eq \f(3,5) ×(－ eq \f(4,5) )－2×(－ eq \f(4,5) )2＝－ eq \f(16,5) ，D正确．故选AD. 7．若sin α＝ eq \f(3,5) ，且tan α<0，则cos α＝________． 解析：因为sin α＝ eq \f(3,5) ，tan α＝ eq \f(sin α,cos α) <0，所以cos α<0， 所以cos α＝－ eq \r(1－sin 2 α) ＝－ eq \r(1－（\f(3,5)）2) ＝－ eq \f(4,5) . － eq \f(4,5) 8．若tan θ＝ eq \f(2,3) ，则sin 2θ－sin θcos θ＝________． 解析：因为tan θ＝ eq \f(2,3) ， 则sin 2θ－sin θcos θ＝ eq \f(sin 2θ－sin θcos θ,sin 2θ＋cos 2θ) ＝ eq \f(tan 2θ－tan θ,tan 2θ＋1) ＝ eq \f(（\f(2,3)）2－\f(2,3),（\f(2,3)）2＋1) ＝－ eq \f(2,13) . － eq \f(2,13) 9. eq \f(1－（sin 4x－sin 2xcos 2x＋cos 4x）,sin 2x) ＋3sin 2x＝________． 解析： eq \f(1－（sin 4x－sin 2xcos 2x＋cos 4x）,sin 2x) ＋3sin 2x ＝ eq \f(1－[（sin 2x＋cos 2x）2－3sin 2xcos 2x],sin 2x) ＋3sin 2x ＝ eq \f(1－（1－3sin 2xcos 2x）,sin 2x) ＋3sin 2x ＝ eq \f(1－1＋3sin 2xcos 2x,sin 2x) ＋3sin 2x ＝ eq \f(3sin 2xcos 2x,sin 2x) ＋3sin 2x ＝3cos 2x＋3sin 2x＝3(cos 2x＋sin 2x)＝3. 10．已知sin α＝ eq \f(1,3) ，且α是第二象限角．求： (1)tan α的值； 解：因为sin α＝ eq \f(1,3) ，且α是第二象限角， 所以cos α＝－ eq \r(1－sin 2α) ＝－ eq \f(2\r(2),3) ， 所以tan α＝ eq \f(sin α,cos α) ＝－ eq \f(\r(2),4) . 已知sin α＝ eq \f(1,3) ，且α是第二象限角．求： (2) eq \f(cos 2α－cos αsin α,sin 2α＋1) 的值． 解： eq \f(cos 2α－cos αsin α,sin 2α＋1) ＝ eq \f(cos 2α－cos αsin α,2sin 2α＋cos 2α) ＝ eq \f(1－tan α,2tan 2α＋1) ＝ eq \f(1＋\f(\r(2),4),2×（－\f(\r(2),4)）2＋1) ＝ eq \f(4＋\r(2),5) . 11．如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为α，大正方形的面积为1，小正方形的面积是 eq \f(1,25) ，则tan α＝(　　) A． eq \f(1,4) B． eq \f(3,4) C． eq \f(1,3) D． eq \f(2,3) 解析：因为直角三角形中较小的内角为α，大正方形的面积为1，则直角三角形的两条直角边分别为sin α，cos α，所以小正方形的边长为cos α－sin α， 所以(cos α－sin α)2＝ eq \f(1,25) ， 即cos α－sin α＝ eq \f(1,5) ，① 2sin αcos α＝ eq \f(24,25) ， 所以(sin α＋cos α)2＝1＋ eq \f(24,25) ＝ eq \f(49,25) ， 所以sin α＋cos α＝ eq \f(7,5) .② 由①②得cos α＝ eq \f(4,5) ，sin α＝ eq \f(3,5) ， 所以tan α＝ eq \f(sin α,cos α) ＝ eq \f(\f(3,5),\f(4,5)) ＝ eq \f(3,4) .故选B. 12．(多选)已知tan θ＝－4，则下列结果正确的是(　　) A．sin 2θ＝ eq \f(16,17) B．cos 2θ－sin 2θ＝－ eq \f(15,17) C．3sin θcos θ＝－ eq \f(12,17) D．cos 2θ＝ eq \f(6,17) 解析：sin 2 θ＝ eq \f(sin 2 θ,sin 2 θ＋cos 2 θ) ＝ eq \f(tan 2 θ,tan 2 θ＋1) ＝ eq \f(16,17) ，故A正确； cos 2 θ－sin 2 θ＝ eq \f(cos 2 θ－sin 2 θ,sin 2 θ＋cos 2 θ) ＝ eq \f(1－tan 2 θ,tan 2 θ＋1) ＝－ eq \f(15,17) ，故B正确； 3sin θcos θ＝ eq \f(3sin θcos θ,sin 2 θ＋cos 2 θ) ＝ eq \f(3tan θ,tan 2 θ＋1) ＝－ eq \f(12,17) ，故C正确； cos 2 θ＝ eq \f(cos 2 θ,sin 2 θ＋cos 2 θ) ＝ eq \f(1,tan 2 θ＋1) ＝ eq \f(1,17) ，故D错误．故选ABC. 13．若sin α＝ eq \f(m＋1,m＋2) ，cos α＝ eq \f(m,m＋2) ，则tan α＝________． 解析：由已知可得，sin 2 α＋cos 2 α＝1， 所以( eq \f(m＋1,m＋2) )2＋( eq \f(m,m＋2) )2＝ eq \f(2m2＋2m＋1,m2＋4m＋4) ＝1，整理可得m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3. 当m＝－1时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝ eq \f(sin α,cos α) ＝0； 当m＝3时，sin α＝ eq \f(4,5) ，cos α＝ eq \f(3,5) ，tan α＝ eq \f(sin α,cos α) ＝ eq \f(4,3) . 综上所述，tan α＝0或tan α＝ eq \f(4,3) . 0或 eq \f(4,3) 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α的终边与单位圆交于点A( eq \f(\r(3),2) ， eq \f(1,2) )，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，点B的横坐标为f(θ). (1)求f(θ)的表达式，并求f( eq \f(2π,3) )的值； 解：因为锐角α的终边与单位圆交于点A( eq \f(\r(3),2) ， eq \f(1,2) )，则cos α＝ eq \f(\r(3),2) ，sin α＝ eq \f(1,2) ，可知α＝ eq \f(π,6) ，又因为射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，所以f(θ)＝cos (θ＋α)＝cos (θ＋ eq \f(π,6) )，故f( eq \f(2π,3) )＝cos ( eq \f(2π,3) ＋ eq \f(π,6) )＝ cos eq \f(5π,6) ＝－ eq \f(\r(3),2) . (2)若f(θ－ eq \f(π,6) )＝ eq \f(1,3) ，θ∈(0，π)，求tan θ的值． 解：由题得f(θ－ eq \f(π,6) )＝cos θ＝ eq \f(1,3) ，θ∈(0，π)， 则sin θ＝ eq \r(1－cos 2 θ) ＝ eq \f(2\r(2),3) ，所以tan θ＝ eq \f(sin θ,cos θ) ＝2 eq \r(2) . 15．若θ为第三象限角，且tan θ＝2，则 eq \r(\f(1＋sin θ,1－sin θ)) － eq \r(\f(1－sin θ,1＋sin θ)) 的值是(　　) A．4 B．－4 C． eq \f(1,4) D．－ eq \f(1,4) 解析：由题意可得 eq \r(\f(1＋sin θ,1－sin θ)) － eq \r(\f(1－sin θ,1＋sin θ)) ＝ eq \r(\f(（1＋sin θ）2,1－sin 2θ)) － eq \r(\f(（1－sin θ）2,1－sin 2θ)) ＝ eq \r(\f(（1＋sin θ）2,cos 2θ)) － eq \r(\f(（1－sin θ）2,cos 2θ)) ，且θ为第三象限角，则cos θ<0，1＋sin θ>0，1－sin θ>0，故 eq \r(\f(1＋sin θ,1－sin θ)) － eq \r(\f(1－sin θ,1＋sin θ)) ＝－ eq \f(1＋sin θ,cos θ) ＋ eq \f(1－sin θ,cos θ) ＝－2tan θ＝－4.故选B. 解：因为sin α，cos α是关于x的一元二次方程2x2＋x－m＝0的两根， 所以sin α＋cos α＝－ eq \f(1,2) . 解：由(1)得sin α＋cos α＝－ eq \f(1,2) ，sin αcos α＝－ eq \f(m,2) ，且Δ＝12－8(－m)≥0， 所以sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝ eq \f(1,4) ， 所以1－m＝ eq \f(1,4) ，得m＝ eq \f(3,4) ，满足Δ＝1＋8m≥0，所以m＝ eq \f(3,4) . 解：由(2)可得sin α＋cos α＝－ eq \f(1,2) <0， sin αcos α＝－ eq \f(3,8) <0， 因为0<α<π，所以sin α>0，cos α<0， 所以sin α－cos α＝ eq \r(（sin α＋cos α）2－4sin αcos α) ＝ eq \r(\f(1,4)－4×（－\f(3,8)）) ＝ eq \f(\r(7),2) . $