7.2.2 单位圆与三角函数线(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“单位圆与三角函数线”，通过“思考1”“思考2”从单位圆上点的坐标关系切入，衔接三角函数定义，构建从代数到几何的学习支架，帮助学生理解三角函数线的意义及表示方法。 其亮点在于以几何直观为核心，结合例题（如作-5π/6的三角函数线求函数值）和跟踪训练（比较2π/3与4π/5的三角函数值），培养学生用数学眼光观察几何元素，用数学思维推理大小关系，用数学语言（集合表示角的范围）表达结论。既帮助学生直观理解三角函数，又为教师提供丰富教学案例，提升教学效果。

7．2.2　单位圆与三角函数线 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 思考1　设点P(x，y)，点P到原点的距离为1，那么x与y具有怎样的关系？若点P是角α终边上的点，则点P的坐标又可以如何表示？ 提示：x2＋y2＝1，P(cos α，sin α). 新知学习 探究 返回导航 思考2　在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，结合三角函数的定义，sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT有什么关系？ 提示：MP，OM，AT三条线段的长度分别为|sin α|，|cos α|，|tan α|. 新知学习 探究 返回导航 单位圆 (cos α，sin α) 新知学习 探究 返回导航 2．三角函数线 正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线． 新知学习 探究 返回导航 点拨　三角函数值可用三角函数线表示，其绝对值就是三角函数线的长度，其正负号可以这样确定：正弦线、正切线的方向与纵轴的正方向相同时为正值，相反时为负值；余弦线的方向与横轴的正方向相同时为正值，相反时为负值． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 利用三角函数线比较三角函数值的大小的步骤 (1)角的位置要“对号入座”； (2)比较三角函数线的长度； (3)由有向线段的方向确定三角函数值的正负．　 新知学习 探究 返回导航 sin α<cos α<tan α 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 利用三角函数线解基本的三角不等式的步骤 (1)作出使得等号成立的角的终边； (2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围； (3)将图中的范围用不等式表示出来．　 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：单位圆；三角函数线． 2．须贯通：利用三角函数线比较三角函数的大小，注意数形结合思想的应用． 3．应注意：三角函数线是有方向的线段，方向决定正负．　 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．　2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题． eq \a\vs4\al(一　单位圆与三角函数线) 1．单位圆 一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为 eq \o(□,\s\up1(1)) ____________．因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为 eq \o(□,\s\up1(2)) ________________． 　(对接教材例1)在单位圆中，作出角－ eq \f(5π,6) 的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出角－ eq \f(5π,6) 的正弦、余弦和正切值． 【解】　如图，作角－ eq \f(5π,6) 的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴，点M为垂足．直线x＝1过点A(1，0)且与角－ eq \f(5π,6) 的终边所在直线交于点T. 所以角－ eq \f(5π,6) 的正弦线为 eq \o(MP,\s\up16(→)) ，余弦线为 eq \o(OM,\s\up16(→)) ，正切线为 eq \o(AT,\s\up16(→)) .依题意∠POM＝ eq \f(π,6) ，所以MP＝ eq \f(1,2) ，OM＝ eq \f(\r(3),2) ，AT＝ eq \f(\r(3),3) ，所以点P坐标为(－ eq \f(\r(3),2) ，－ eq \f(1,2) )， 所以sin (－ eq \f(5π,6) )＝－ eq \f(1,2) ，cos (－ eq \f(5π,6) )＝－ eq \f(\r(3),2) ， tan (－ eq \f(5π,6) )＝ eq \f(\r(3),3) . (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从坐标为(1，0)的点A引单位圆的切线与角的终边交于一点T，即可得到正切线 eq \o(AT,\s\up16(→)) ，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线．　 [跟踪训练1] 角 eq \f(π,5) 和角 eq \f(6π,5) 有相同的(　　) A．正弦线 B．余弦线 C．正切线 D．以上都不对 解析： eq \f(π,5) 与 eq \f(6π,5) 的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线． 二　利用三角函数线比较三角函数值的大小 　比较大小： sin eq \f(2π,3) 与sin eq \f(4π,5) ；tan eq \f(2π,3) 与tan eq \f(4π,5) . 【解】　如图所示，在单位圆中作出 eq \f(2π,3) 对应的正弦线、正切线分别为 eq \o(AB,\s\up16(→)) 和 eq \o(EF,\s\up16(→)) . 作出 eq \f(4π,5) 对应的正弦线、正切线分别为 eq \o(CD,\s\up16(→)) 和 eq \o(EG,\s\up16(→)) . 由图可知| eq \o(AB,\s\up16(→)) |>| eq \o(CD,\s\up16(→)) |，| eq \o(EF,\s\up16(→)) |>| eq \o(EG,\s\up16(→)) |. 又tan eq \f(2π,3) 与tan eq \f(4π,5) 均取负值， 故sin eq \f(2π,3) >sin eq \f(4π,5) ，tan eq \f(2π,3) <tan eq \f(4π,5) . [跟踪训练2] 若－ eq \f(3π,4) <α<－ eq \f(π,2) ，则sin α，cos α，tan α 的大小关系为________________________．(用“<”连接) 解析：如图，在单位圆中，作出满足－ eq \f(3π,4) <α<－ eq \f(π,2) 的一个角及其余弦线 eq \o(OM,\s\up16(→)) 、正弦线 eq \o(MP,\s\up16(→)) 、正切线 eq \o(AT,\s\up16(→)) . 由图知，| eq \o(OM,\s\up16(→)) |<| eq \o(MP,\s\up16(→)) |<| eq \o(AT,\s\up16(→)) |， 所以－| eq \o(MP,\s\up16(→)) |<－| eq \o(OM,\s\up16(→)) |<| eq \o(AT,\s\up16(→)) |， 即sin α<cos α<tan α. eq \a\vs4\al(三　利用三角函数线解不等式（组）) 　在单位圆中画出满足下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥ eq \f(\r(3),2) ； 【解】　作直线y＝ eq \f(\r(3),2) 交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB之间的区域(如图1所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．故满足要求的角α的集合为{α|2kπ＋ eq \f(π,3) ≤α≤2kπ＋ eq \f(2π,3) ，k∈Z}． 在单位圆中画出满足下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (2)cos α≥ eq \f(1,2) . 【解】　作直线x＝ eq \f(1,2) 交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD之间的区域(如图2所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2kπ－ eq \f(π,3) ≤α≤2kπ＋ eq \f(π,3) ，k∈Z}． [跟踪训练3] 求y＝lg (1－ eq \r(2) cos x)的定义域． 解：因为1－ eq \r(2) cos x＞0， 所以cos x＜ eq \f(\r(2),2) ，所以2kπ＋ eq \f(π,4) ＜x＜2kπ＋ eq \f(7π,4) (k∈Z)，如图所示． 所以函数y的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(7π,4))) (k∈Z). 1．已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点P(－ eq \f(3,5) ， eq \f(4,5) )，则cos α的值为(　　) A． eq \f(3,5) B．－ eq \f(3,5) C． eq \f(4,5) D．－ eq \f(4,5) 解析：由三角函数的定义可得cos α＝－ eq \f(3,5) .故选B. 2．(多选)(教材P21T1改编)已知角α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为(　　) A． eq \f(π,4) B． eq \f(3π,4) C． eq \f(5π,4) D． eq \f(7π,4) 解析：由题意知，角α的终边为第一、三象限的角平分线，且0＜α＜2π，故得α＝ eq \f(π,4) 或α＝ eq \f(5π,4) . 3．已知 eq \f(π,4) <θ< eq \f(π,2) ，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是 eq \o(MP,\s\up16(→)) ， eq \o(OM,\s\up16(→)) ， eq \o(AT,\s\up16(→)) ，则| eq \o(MP,\s\up16(→)) |，| eq \o(OM,\s\up16(→)) |，| eq \o(AT,\s\up16(→)) |的大小关系为__________________.(用“>”连接) 解析：如图，可知| eq \o(AT,\s\up16(→)) |>| eq \o(MP,\s\up16(→)) |>| eq \o(OM,\s\up16(→)) |. | eq \o(AT,\s\up16(→)) |>| eq \o(MP,\s\up16(→)) |>| eq \o(OM,\s\up16(→)) | 4．不等式sin x≤ eq \f(1,2) 的解集为___________________________________． 解析：如图，作出满足sin x＝ eq \f(1,2) 的角的正弦线M1P1和M2P2，∠M2OP2＝ eq \f(π,6) ，∠M2OP1＝ eq \f(5π,6) . 当角的终边位于图中阴影部分(包括边界)时满足sin x≤ eq \f(1,2) ，因此不等式 sin x≤ eq \f(1,2) 的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(5π,6)≤x≤2kπ＋\f(13π,6)，k∈Z)) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(5π,6)≤x≤2kπ＋\f(13π,6)，k∈Z)) $