7.2.2 单位圆与三角函数线 课后达标 检测(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦三角函数线、角的终边位置及应用，通过基础达标题回顾三角函数线概念，衔接能力提升中的逻辑推理与素养拓展的综合应用，构建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于结合具体题目如判断终边位置、求对称点坐标，培养学生用数学眼光观察数量关系，用数学思维推理角与坐标的联系，用数学语言表达几何问题。助力学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供分层教学资源，提高教学效率。

7．2.2　课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 16 11 1 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 15 16 11 2 √ 课后达标 检测 3．已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边(　　) A．在x轴上 B．在y轴上 C．在直线y＝x上 D．在直线y＝x或y＝－x上 解析：因为sin α＝1或sin α＝－1，所以角α的终边在y轴上．故选B. 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 3 √ 课后达标 检测 3 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 4 √ 课后达标 检测 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 √ 课后达标 检测 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 课后达标 检测 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 √ √ 课后达标 检测 3 4 5 6 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 7 课后达标 检测 8．设P是角α终边上一点，且OP＝1，若点P关于原点的对称点为Q，则Q点的坐标是____________________. 解析：由P(cos α，sin α)，得Q(－cos α，－sin α). 3 4 5 6 7 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 8 (－cos α，－sin α) 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 10 2 12 13 14 15 16 11 9 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 14 15 16 11 13 课后达标 检测 14．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合： (1)tan α＝－1； 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 15．点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 课后达标 检测 证明：如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，过点P作PM⊥Ox，PN⊥Oy，垂足分别为M，N. 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 1．已知角α的终边与单位圆交于点(－ eq \f(\r(3),2) ，－ eq \f(1,2) )，则sin α的值为(　　) A．－ eq \f(\r(3),2) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(\r(3),2) D． eq \f(1,2) 解析：根据任意角的正弦的定义，可得sin α＝－ eq \f(1,2) . 2．如果 eq \o(OM,\s\up16(→)) ， eq \o(MP,\s\up16(→)) 分别是角α＝ eq \f(π,5) 的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是(　　) A．| eq \o(MP,\s\up16(→)) |<| eq \o(OM,\s\up16(→)) |<0 B．| eq \o(MP,\s\up16(→)) |<0<| eq \o(OM,\s\up16(→)) | C．| eq \o(MP,\s\up16(→)) |>| eq \o(OM,\s\up16(→)) |>0 D．| eq \o(OM,\s\up16(→)) |>| eq \o(MP,\s\up16(→)) |>0 解析：角β＝ eq \f(π,4) 的余弦线与正弦线的长度相等，结合图象可知角α＝ eq \f(π,5) 的余弦线和正弦线满足| eq \o(OM,\s\up16(→)) |>| eq \o(MP,\s\up16(→)) |>0. 4．点P为单位圆x2＋y2＝1与x轴正半轴的交点，将点P沿圆周逆时针旋转至点P′，当转过的弧长为 eq \f(2π,3) 时，点P′的坐标为(　　) A．( eq \f(1,2) ，－ eq \f(\r(3),2) ) B．(－ eq \f(1,2) ， eq \f(\r(3),2) ) C．(－ eq \f(\r(3),2) ， eq \f(1,2) ) D．( eq \f(\r(2),2) ，－ eq \f(1,2) ) 解析：点P从点(1，0)开始逆时针旋转到点P′，转过的角度为θ，则θ＝ eq \f(l,r) ＝ eq \f(2π,3) ，从而可知P′(－ eq \f(1,2) ， eq \f(\r(3),2) ). 5．已知A是△ABC的一个内角，且tan A－ eq \r(3) ≥0，则sin A的取值范围是(　　) A．[ eq \f(\r(3),2) ，1) B．[ eq \f(1,2) ，1) C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))) 解析：因为tan A－ eq \r(3) ≥0，所以tan A≥ eq \r(3) ，令tan A＝ eq \r(3) ，又0＜A＜π，所以A＝ eq \f(π,3) ，在单位圆中，作角 eq \f(π,3) 的正切线MT，如图所示．由图可得，当 eq \f(π,3) ≤A＜ eq \f(π,2) 时，tan A≥ eq \r(3) ，所以 eq \f(\r(3),2) ≤sin A＜1， 即sin A的取值范围是[ eq \f(\r(3),2) ，1).故选A. 6．(多选)已知角α的终边与单位圆交于点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(m,5))) ，则sin α的值可能是(　　) A． eq \f(4,5) B． eq \f(3,5) C．－ eq \f(4,5) D．－ eq \f(3,5) 解析：由题意可得sin α＝ eq \f(m,\r(32＋m2)) ＝ eq \f(m,5) ，解得m＝±4.当m＝4时，sin α＝ eq \f(4,5) ；当m＝－4时，sin α＝－ eq \f(4,5) .故A，C正确，B，D错误．故选AC. 7．若角α的正弦线的长度为 eq \f(1,2) ，且方向与y轴的正方向相反，则sin α的值为________. 解析：由题设可知sin α的值为－ eq \f(1,2) . － eq \f(1,2) 9．已知角α的终边与单位圆的交点为P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5))) ，则2cos α＋tan α＝______________． 解析：角α的终边与单位圆的交点为P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5))) ，则cos α＝－ eq \f(4,5) ，tan α＝－ eq \f(3,4) ，则2cos α＋tan α＝－ eq \f(8,5) － eq \f(3,4) ＝－ eq \f(47,20) . － eq \f(47,20) 10．作出角 eq \f(3π,4) 的正弦线、余弦线和正切线． 解：如图，作角 eq \f(3π,4) 的终边与单位圆的交点为P.过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，过A(1，0)作单位圆的切线AT，与角 eq \f(3π,4) 的终边的反向延长线交于点T，则角 eq \f(3π,4) 的正弦线为 eq \o(MP,\s\up16(→)) ，余弦线为 eq \o(OM,\s\up16(→)) ，正切线为 eq \o(AT,\s\up16(→)) . 11．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝ eq \f(2,3) ，则这个三角形是(　　) A．等边三角形 　 B．直角三角形 C．不等边的锐角三角形 　 D．钝角三角形 解析：当0＜α≤ eq \f(π,2) 时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而 sin α＋cos α＝ eq \f(2,3) ，所以α必为钝角，所以该三角形为钝角三角形． 12．若0≤θ<2π，且不等式cos θ<sin θ和tan θ<sin θ成立，则角θ的取值范围是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f(5π,4))) 解析：由三角函数线知，在[0，2π)内使cos θ<sin θ的角θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4))) ，使 tan θ<sin θ的角θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) ∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π)) ，故θ的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) .故选B. 13．将sin eq \f(2π,5) ，cos eq \f(6π,5) ，tan eq \f(2π,5) 按从小到大的顺序排列为________________________________． 解析：在单位圆中分别作角 eq \f(2π,5) 与角 eq \f(6π,5) (图略)，可知 eq \f(6π,5) 为第三象限角，所以cos eq \f(6π,5) <0.又0< eq \f(2π,5) < eq \f(π,2) ，所以 eq \f(2π,5) 的正切线大于正弦线，即0<sin eq \f(2π,5) < tan eq \f(2π,5) ，所以cos eq \f(6π,5) <sin eq \f(2π,5) <tan eq \f(2π,5) . cos eq \f(6π,5) <sin eq \f(2π,5) <tan eq \f(2π,5) 解：如图1所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于点P和P′，则OP和OP′就是角α的终边，所以∠xOP＝ eq \f(3π,4) ＝π－ eq \f(π,4) ，∠xOP′＝－ eq \f(π,4) ，所以满足条件的所有角α的集合是{α|α＝－ eq \f(π,4) ＋kπ，k∈Z}． 利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合： (2)sin α<－ eq \f(1,2) . 解：如图2所示，过点(0，－ eq \f(1,2) )作x轴的平行线，交单位圆于点P和P′，则sin ∠xOP＝sin ∠xOP′＝－ eq \f(1,2) ，所以∠xOP＝ eq \f(11π,6) ，∠xOP′＝ eq \f(7π,6) ，所以满足条件的所有角α的集合是{α| eq \f(7π,6) ＋2kπ<α< eq \f(11π,6) ＋2kπ，k∈Z}． 解析：因为 eq \f(3π,4) ＜3＜π，作出单位圆如图所示． 3弧度的正弦线、余弦线分别为 eq \o(MP,\s\up16(→)) ， eq \o(OM,\s\up16(→)) ， 所以sin 3>0，cos 3<0，所以sin 3－cos 3＞0. 因为| eq \o(MP,\s\up16(→)) |＜| eq \o(OM,\s\up16(→)) |，所以sin 3＋cos 3＝| eq \o(MP,\s\up16(→)) |－| eq \o(OM,\s\up16(→)) |＜0. 故点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限． 16．已知α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ，求证：1＜sin α＋cos α＜ eq \f(π,2) . 所以MP＝y＝sin α，OM＝x＝cos α，在△OMP中，MP＋OM＞OP， 即sin α＋cos α＞1. 因为S△OAP＝ eq \f(1,2) OA·MP＝ eq \f(1,2) y＝ eq \f(1,2) sin α， S△OBP＝ eq \f(1,2) OB·NP＝ eq \f(1,2) x＝ eq \f(1,2) cos α， S扇形OAB＝ eq \f(1,4) π×12＝ eq \f(π,4) ， 又因为S△OAP＋S△OBP＜S扇形OAB， 所以 eq \f(1,2) sin α＋ eq \f(1,2) cos α＜ eq \f(π,4) ， 即sin α＋cos α＜ eq \f(π,2) ， 所以1＜sin α＋cos α＜ eq \f(π,2) . $