第1章 三角函数 章末综合检测(一)(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

章末综合检测(一) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某扇形的圆心角为30°，半径为2，则该扇形的弧长为(　　) A．60　　　B．　　　C．　　　D． 解析：选D.30°＝，所以弧长为l＝×2＝.故选D. 2．如果点P(2sin θ，sin θcos θ)位于第四象限，那么角θ的终边所在象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.因为点P(2sin θ，sin θcos θ)位于第四象限，所以即 所以角θ的终边所在的象限是第二象限．故选B. 3．函数f(x)＝(2－x－2x)·cos x的图象大致为(　　) 解析：选B.因为f(－x)＝(2x－2－x)·cos (－x)＝－(2－x－2x)·cos x＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数，排除A，C；又f(2)＝(－4)×cos 2>0，所以排除D，故选B. 4．已知函数f(x)＝2sin ＋1(ω>0)在区间(0，π)上恰有两个零点，则实数ω的取值范围是(　　) A. B． C． D． 解析：选D.令f(x)＝2sin ＋1＝0，得sin ＝－.因为0<x<π，所以<ωx＋<＋ωπ，因为函数f(x)在(0，π)上恰好有两个零点，所以<＋ωπ≤，解得<ω≤3.故选D. 5．若将f(x)＝2sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则f(x)在上的最小值为(　　) A．－2 B．－ C．－1 D．－ 解析：选C.函数f(x)＝2sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，图象所对应函数解析式为g(x)＝2sin ＝2sin ，由g(x)的图象关于y轴对称，则＋φ＝kπ＋，k∈Z，可得φ＝kπ＋，k∈Z，又<，所以φ＝，即f(x)＝2sin ，当x∈时，2x＋∈，所以当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最小值，f(x)min＝2sin ＝2×＝－1.故选C. 6．下列各式中正确的是(　　) A．tan >tan B．tan 2>tan 3 C．cos >cos D．sin <sin 解析：选C.对于A项，tan ＝tan ＝－tan <0<tan ，故A错误；对于B项，<2<3<π，由于函数y＝tan x在上单调递增，故tan 2<tan 3，故B错误；对于C项，cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝，cos ＝cos ＝cos ＝cos <0，故cos >cos ，故C正确；对于D项，因为函数y＝sin x在上单调递增，且－<－<－<，所以sin >sin ，故D错误．故选C. 7．下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是(　　) A．f(x)＝sin B．f(x)＝ C．f(x)＝cos D．f(x)＝ 解析：选D.对于A项，f(0)＝sin ＝0，f＝sin ＝1≠f(0)，故f(x)＝sin 不以为周期，故A错误；对于B项，f＝＝＝f(x)，故f(x)＝以为周期，当x∈时，2x∈，由y＝sin x在上单调递减，且在上y＝sin x>0，故f(x)＝在上单调递减，故B错误；对于C项，f(0)＝cos ＝1，f＝cos ＝0≠f(0)，故f(x)＝cos 不以为周期，故C错误；对于D项，f＝＝＝f(x)，故f(x)＝以为周期，当x∈时，2x∈，由y＝cos x在上单调递减，但在上y＝cos x<0，故x∈时，f(x)＝＝－cos 2x，故f(x)＝在上单调递增，故D正确．故选D. 8．已知函数f(x)＝cos (sin x)，则下列四个选项正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)的最小正周期为2π C．直线x＝是f(x)图象的一条对称轴 D．f(x)在上单调递增 解析：选C.对于A项，因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝cos ＝cos (－sin x)＝cos (sin x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A错误；对于B项，由f(x＋π)＝cos ＝cos (－sin x)＝cos (sin x)＝f(x)，可得f(x)的最小正周期为π，故B错误；对于C项，f＝cos ＝cos (cos x)，f＝cos ＝cos (cos x)，即f＝f，所以直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，故C正确；对于D项，当x∈时，函数y＝sin x单调递增，值域为(－1，0)，当x∈(－1，0)时，函数y＝cos x单调递增，故f(x)在上单调递增．当x∈时，函数y＝sin x单调递增，值域为(0，1)，当x∈(0，1)时，函数y＝cos x单调递减，故f(x)在上单调递减，故D错误．故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是(　　) A．－与的终边相同 B．若α为第二象限角，则为第一象限角 C．终边经过点(m，m)(m>0)的角的集合是 D．若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为 解析：选ACD.对于A项，因为＝－＋2π，所以－与的终边相同，故A正确；对于B项，取α＝500°，则α为第二象限角，但为第三象限角，故B错误；对于C项，终边经过点(m，m)(m>0)的角的集合是，故C正确；对于D项，设扇形的半径为r，则r sin 1＝1，可得r＝，因此，该扇形的面积为S＝×2×r2＝，故D正确．故选ACD. 10．函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(0<ω≤2，－<φ<)的部分图象如图，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)＝cos B．f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的新函数是奇函数 C．g(x)＝f＋1图象的对称中心是，k∈Z D．若方程f(x)＝1在(0，m)上有且只有6个根，则m∈ 解析：选ABC.对于A项，由f(0)＝－1，得sin φ＝－1，即sin φ＝－，又－<φ<，所以φ＝－.又f(x)的图象过点，则f＝0，即sin ＝0，所以－＝kπ，k∈Z，即ω＝8k＋2，k∈Z，又0<ω≤2，所以ω＝2，所以f(x)＝sin ＝cos ，故A正确；对于B项，f(x)的图象向右平移个单位长度后得到图象对应的函数为y＝f＝cos ＝cos ＝－sin 2x，此函数为奇函数，故B正确；对于C项，g(x)＝sin [2－]＋1＝sin ＋1，令2x＋＝kπ(k∈Z)得x＝－＋(k∈Z)，所以g(x)图象的对称中心为，k∈Z，故C正确；对于D项，由f(x)＝1，得sin ＝，解得x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z，因为x∈(0，m)，所以2x－∈，又方程f(x)＝1在(0，m)上有6个根，从小到大为，，，，，，而第7个根为，所以m∈，故D错误．故选ABC. 11．已知函数f(x)＝cos ＋，下列结论正确的是(　　) A．f(x)在区间上单调递增 B．函数f(x)图象的对称轴为直线x＝kπ(k∈Z) C．函数y＝f(x)sin x在[0，2π]上有5个零点 D．∀x∈R，2cos 1≤f(sin x)≤2 解析：选BD.f(x)＝cos ＋＝cos x＋＝其部分图象如图， 对于A，当x∈时，cos x≥0，f(x)＝2cos x，易知f(x)在区间上单调递减，故A错误； 对于B，因为y＝cos x图象的对称轴为直线x＝kπ(k∈Z)，而直线x＝kπ(k∈Z)也是y＝图象的对称轴，故B正确； 对于C，当x∈时，y＝f(x)sin x＝0，此时，有无数多个零点，故C错误； 对于D，因为－1≤sin x≤1，又偶函数f(x)在上单调递减，所以2cos 1≤f(sin x)≤2，故D正确．故选BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．用一根长度为1的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角的弧度数为________． 解析：设扇形的弧长为l，半径为r，则1＝2r＋l，1＝2r＋l≥2，则rl≤，当且仅当2r＝l时，等号成立，所以扇形面积S＝rl≤，当2r＝l时，扇形面积取得最大值．此时圆心角的弧度数为＝＝2. 答案：2 13．已知f(x)＝cos (0<φ<π)，且f(－x)＝－f(x)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝__________． 解析：由f(－x)＝－f(x)可得f(x)为奇函数，f(0)＝cos φ＝0，因为0<φ<π，解得φ＝，所以f(x)＝cos ＝－sin x，满足题设，所以f(x)的最小正周期T＝＝4，且f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝506×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝－1. 答案：－1 14．函数f(x)＝sin 在上单调递增，且f(x)的图象向左平移π个单位长度后与原来的图象重合．若方程f(x)＝－在上的解为x1，x2，则f(x1＋x2)＝__________． 解析：设f(x)的最小正周期为T，则T≥－＝，故T≥，又f(x)的图象向左平移π个单位长度后与原来的图象重合，故π为函数的一个周期，故最小正周期T＝π，即＝π，解得ω＝±2，若ω＝－2，则f(x)＝sin ＝－sin (2x－)，当x∈时，令z＝2x－∈，由于y＝－sin z在上单调递减，故f(x)在上单调递减，不合要求， 若ω＝2，则f(x)＝sin ， 当x∈时，2x＋∈，此时满足f(x)＝sin 在上单调递增，满足要求，所以ω＝2. 又x∈，所以2x＋∈(π，2π)，由对称性可得＝， 即x1＋x2＝，故f(x1＋x2)＝f＝sin ＝sin ＝. 答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)化简求值： (1)； (2). 解：(1) ＝＝1. (2)＝ ＝＝＝. 16．(本小题满分15分)小美同学用“五点(画图)法”画函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx＋φ 0 π 2π x A sin (ωx＋φ) 0 3 －3 0 (1)请将上表数据补充完整并求出函数f(x)的解析式； (2)若g(x)＝f＋1，求使不等式g(x)≥成立的x的取值集合． 解：(1)根据表中已知数据可得A＝3，解得 所以f(x)＝3sin . 表格数据补全如下： ωx＋φ 0 π 2π x A sin (ωx＋φ) 0 3 0 －3 0 (2)由题意g(x)＝f＋1 ＝3sin ＋1 ＝3sin ＋1，不等式g(x)≥， 即3sin ＋1≥， 即sin ≥，所以2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，所以使不等式g(x)≥成立的x的取值集合为. 17．(本小题满分15分)如图，某公园摩天轮的半径为40 m，圆心距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处． (1)已知在时刻t(单位：min)时点P距离地面的高度f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋h(其中A>0，ω>0，<π)，求函数f(t)的解析式及2 026 min时点P距离地面的高度； (2)当点P距离地面(50＋20) m及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？ 解：(1)依题意，A＝40，h＝50，T＝3，则ω＝，所以f(t)＝40sin ＋50， 由f(0)＝10可得，40sin φ＋50＝10，sin φ＝－1，因为<π，所以φ＝－， 故在时刻t时点P距离地面的高度f(t)＝40sin ＋50(t≥0)，因此f(2 026)＝40sin ＋50＝70， 故2 026 min时点P距离地面的高度为70 m. (2)由(1)知f(t)＝40sin ＋50＝50－40cos ，其中t≥0， 依题意，令f(t)≥50＋20， 即－40cos ≥20， 所以cos ≤－， 解得2kπ＋≤t≤2kπ＋，k∈N，则3k＋≤t≤3k＋，k∈N， 由－＝0.5，可知转一圈中有0.5 min可以看到公园的全貌． 18．(本小题满分17分)已知点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)图象上的任意两点，f(0)＝－1，且当＝4时，＝. (1)求当x∈时，f(x)的单调递增区间； (2)将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标也变为原来的，再将所得函数图象上的所有点向左平移个单位长度得到y＝g(x)的图象，若g(x)在区间(0，m)上有最大值没有最小值，求实数m的取值范围． 解：(1)依题意可得 解得 又当max＝4时，min＝，所以T＝＝. 又ω>0，即ω＝2，所以f(x)＝2sin . 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 则f(x)在R上的单调递增区间为，k∈Z. 又x∈，所以f(x)的单调递增区间为，. (2)将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的得到y＝sin 的图象，再将y＝sin 的图象向左平移个单位长度得到y＝g(x)＝sin ＝sin 的图象，当x∈(0，m)时，4x＋∈，因为g(x)在区间(0，m)上有最大值没有最小值，所以<4m＋≤，解得<m≤，所以实数m的取值范围为. 19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝2sin . (1)若不等式≤3对任意x∈恒成立，求整数m的最大值； (2)若函数g(x)＝f，将函数g(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，得到函数h(x)的图象，求函数y＝log2(1－h(x))的单调递增区间． 解：(1)当x∈时，x＋∈，则sin ∈， 所以f(x)＝2sin ∈， 因为不等式≤3对任意x∈恒成立，所以不等式－3≤f(x)－m≤3对任意x∈恒成立， 所以不等式m－3≤f(x)≤m＋3对任意x∈恒成立，所以 解得－1≤m≤4，则整数m的最大值为4. (2)因为g(x)＝f＝2sin (－x＋)＝2sin ＝2cos ， 将函数g(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)得到y＝2cos 的图象，再将y＝2cos 的图象向右平移个单位长度得到h(x)＝2cos ＝2sin 2x的图象， 令1－h(x)>0， 即sin 2x<， 所以－＋2kπ<2x<＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ<x<＋kπ，k∈Z， 所以函数y＝log2(1－h(x))的定义域为，k∈Z， 令m(x)＝1－h(x)＝1－2sin 2x，x∈，k∈Z，则m(x)在，k∈Z上单调递增，在，k∈Z上单调递减， 又y＝log2x在定义域(0，＋∞)上单调递增， 所以函数y＝log2(1－h(x))的单调递增区间为，k∈Z. 学科网（北京）股份有限公司 $