4.2.1 两角和与差的余弦公式及其应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦两角和与差的余弦公式这一核心知识点，前承诱导公式将任意角转化为锐角的方法，通过三角函数定义与向量知识推导公式，后启给角求值、给值求值、给值求角等应用，构建完整知识支架。 该资料以问题链引导学生用数学眼光观察角的关系，推导过程渗透向量工具培养逻辑推理（数学思维），例题分层且跟踪训练针对性强，课中助教师高效授课，课后助学生巩固公式应用与角的拆分技巧，提升数学语言表达能力。

§2　两角和与差的三角函数公式 2．1　两角和与差的余弦公式及其应用 1.能利用三角函数的定义和向量知识推导出两角和与差的余弦公式．　2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算． 同学们，大家知道求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α－β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式． 思考1　cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°－cos 30°成立吗？ 提示：不成立．cos 15°>0，cos 45°－cos 30°＝－<0，则cos 15°≠cos 45°－cos 30°. 思考2　已知角α的终边与圆心在原点的单位圆的交点为P，请写出点P的坐标． 提示：P(cos α，sin α). 思考3　观察下图，并阅读教材P152以及右下角的注解部分，分组讨论，你能得到哪些结论？ 提示：A(1，0)，P(cos (α－β)，sin (α－β))，A1(cos β，sin β)，P1(cos α，sin α).根据圆的旋转对称性，易知AP＝A1P1. cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.(Cα＋β) cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(Cα－β) 角度1　　给角求值 　(1)cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D． (2)sin 20°cos 40°＋sin 70°sin 40°＝(　　) A． B． C． D． 【解析】　(1)cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°＝cos (137°－47°)＝cos 90°＝0.故选A. (2)由题知，sin 20°＝sin (90°－70°)＝cos 70°. 原式＝cos 70°cos 40°＋sin 70°sin 40°＝cos (70°－40°)＝cos 30°＝，故选D. 【答案】　(1)A　(2)D 解决给角求值问题的方法 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行局部变形． (2)一般将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时需要逆用或变形公式． [跟踪训练1] (1)cos 15°＋sin 15°的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选A.cos 15°＋sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos (60°－15°)＝cos 45°＝.故选A. (2)求下列各式的值： ①cos ； ②cos cos －cos sin . 解：①cos ＝cos ＝－cos ＝－cos ＝－cos ＝－ ＝－ ＝－. ②原式＝cos cos －cos sin ＝cos cos －sin sin ＝cos ＝cos ＝－. 角度2　给值求值 　(对接教材例2)(1)已知cos α＝，α是第四象限角，sin β＝，β是第二象限角，求cos (α－β)的值； (2)已知α，β∈(0，)，且sin α＝，cos (α＋β)＝－，求cos β的值． 【解】　(1)由题意可知sin α＝－＝－，cosβ＝－＝－，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－－＝－. (2)由题意可知0＜α＋β＜π，所以sin (α＋β)＝＝，且cosα＝， 所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×＝. 给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角变换． (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β). [跟踪训练2] (1)已知sin α＝，α∈(，π)，则cos (－α)的值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选B.因为sin α＝且α∈(，π)，所以cos α＝－，所以cos (－α)＝cos cos α＋sin sin α＝－.故选B. (2)已知cos α＝，cos (α－β)＝且0<β<α<，则cos β＝________． 解析：因为0<β<α<， 所以0<α－β<. 因为cos α＝，所以sin α＝＝， 又cos(α－β)＝， 所以sin (α－β)＝＝， 所以cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝. 答案： 角度3　　给值求角 　已知sin α＝，且cos (α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的值． 【解】　因为sin α＝，0＜α＜， 所以cos α＝＝＝， 因为0＜β＜α＜， 所以0＜α－β＜， 又cos (α－β)＝， 所以sin (α－β)＝ ＝＝， 所以cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×＝， 因为0＜β＜，所以β＝. 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)根据条件确定所求角的范围； (2)求出所求角的某个三角函数值，为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数； (3)结合三角函数值及角的范围求角． [注意]　由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案． [跟踪训练3] 已知cos (α＋β)＝－，tan (π＋α)＝3，其中α，β为锐角．求： (1)sin α的值； (2)β的值． 【解】　(1)因为α，β为锐角，tan (π＋α)＝tan α＝3， 则解得 (2)因为0＜α＜，0＜β＜， 所以0＜α＋β＜π，由cos (α＋β)＝－可得sin (α＋β)＝＝， 所以cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝－×＋×＝＝， 因为β∈(0，)，所以β＝. 　(1)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°＝(　　) A．cos 12° B．－cos 12° C．－ D． (2)求值：cos 40°＋cos 80°＋cos 160°＝________． 【解析】　(1)cos 24°cos 36°－sin 24°·cos 54°＝cos 24°·cos 36°－sin 24°·sin 36°＝cos (24°＋36°)＝cos 60°＝.故选D. (2)cos 40°＋cos 80°＋cos 160° ＝cos (60°－20°)＋cos (60°＋20°)＋cos (180°－20°) ＝cos 60°cos 20°＋sin 60°sin 20°＋cos 60°cos 20°－sin 60°sin 20°－cos 20° ＝2cos 60°cos 20°－cos 20°＝cos 20°－cos 20°＝0. 【答案】　(1)D　(2)0 化简含有非特殊角的三角函数式时，要学会观察非特殊角之间的关系，一般就是根据条件合理拆角，查看两个非特殊角的和与差是否是特殊角，构造特殊角是解决这类问题的突破口． [跟踪训练4] (1)求值：＝______． 解析：原式＝ ＝ ＝＝cos 30°＝. 答案： (2)求值：－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°＝________． 解析：原式＝－sin (180°－13°)sin (180°＋43°)＋sin (180°＋77°)·sin(360°－47°) ＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝. 答案： 　在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在单位圆O上，设∠xOP＝α，且α∈(，).若sin (α＋)＝，则x0的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 【解析】　因为α∈(，)，所以α＋∈(，π)， 因为sin (α＋)＝，所以cos (α＋)＝－， 则x0＝cos α＝cos ＝cos (α＋)cos ＋sin (α＋)sin ＝－×＋×＝－. 故选B. 【答案】　B 两角和与差的余弦公式常常与三角函数的定义、两点间的距离公式、三角形以及平面向量等知识点综合考查，是两角和与差的余弦公式应用的基础题型，解决此类问题只需牢记公式结构，熟悉解题通性通法． [跟踪训练5] 设A，B为锐角三角形ABC的两个内角，向量a＝(2cos A，2sin A)，b＝(3cos B，3sin B)，若a，b的夹角为，则A－B＝_____________． 解析：由题意得，cos ＝ ＝ ＝cos A cos B＋sin A sin B＝cos (A－B)＝， 因为A，B∈(0，)，所以－<A－B<， 所以A－B＝±. 答案：± 1．cos 的值是(　　) A． B． C． D． 解析：选C.cos ＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝×＋×＝.故选C. 2．(多选)(教材P154T2改编)若sin α＝，则cos (－α)的值可能为(　　) A．－ B．－ C． D．－ 解析：选BC.因为sin α＝，所以cos α＝±，当cos α＝时，cos (－α)＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝；当cos α＝－时，cos (－α)＝cos cos α＋sin sin α＝×(－)＋×＝－.故选BC. 3．求值：＝____________． 解析：原式＝ ＝ ＝＝. 答案： 4．在△ABC中，已知cos A＝，cos B＝，则cos C＝________． 解析：在△ABC中，A＋B＋C＝π，故A，B，C∈(0，π)，因为cos A＝，cos B＝，所以sin A＝＝，sinB＝＝，所以cosC＝cos (π－A－B)＝－cos (A＋B)＝sin A sin B－cos A cos B＝×－×＝－. 答案：－ 1．已学习：两角和与差的余弦公式的推导；给角求值、给值求值、给值求角． 2．须贯通：两角和与差的余弦公式既可正用，也可逆用，结合题设条件，将未知的角分解为已知角的和或差，再利用公式求解． 3．应注意：(1)两角和与差的余弦公式的结构特征； (2)给值求角问题中角的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $