2.2.1 向量的加法(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦向量加法核心知识点，从位移合成实例切入，系统构建向量加法的概念、几何意义（平行四边形法则与三角形法则）、运算律（交换律和结合律）及实际应用，形成从具体到抽象再到应用的完整学习支架。 该资料以生活实例（如小王位移）和实际问题（船航行、物体受力）为载体，通过“问题思考—法则建构—运算律应用—实际建模”流程，培养学生用数学眼光观察、数学思维推理、数学语言表达的核心素养。课中辅助教师直观演示法则应用，课后跟踪训练与变式探究助力学生查漏补缺，强化知识理解。

§2　从位移的合成到向量的加减法 2．1　向量的加法 1.借助实例理解向量加法的概念，了解向量加法的几何意义．　2.能熟练地运用平行四边形法则和三角形法则作出已知向量的和向量．　3.通过实例理解向量加法的结合律和交换律，并能熟练运用它们进行向量计算． 如图所示，小王上午从家(点A)到达了公司(点B)，下午从公司(点B)到达了舅舅家(点C)． 思考1　分别用向量表示出小王上午的位移、下午的位移以及这一天的位移． 提示：；；. 思考2　这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？ 提示：＝＋. 定义 求两个向量________的运算，称为向量的加法 法则 平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量a，b 作法 在平面内任取一点A，作有向线段＝a，＝b，以有向线段和为邻边作▱ABCD 结论 有向线段表示的向量即为向量a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝________ 图形 法则 三角形法则 前提 已知两个不共线的向量a，b 作法 在平面内任取一点A，作有向线段＝a，以有向线段的终点为起点，作有向线段＝b，连接A，C得到有向线段 结论 向量称为向量a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝________ 图形 [答案自填] 和　　 　(对接教材例1)如图，按下列要求作答． (1)以A为起点，作出a＋b； (2)以B为起点，作出c＋d＋e. 【解】　(1)将a，b的起点同时平移到点A，利用平行四边形法则作出a＋b，如图． (2)先将共线向量c，d的起点同时平移到点B，计算出c＋d，再平移向量e与之首尾相接，利用三角形法则即可作出c＋d＋e，如图． (1)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点； ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形； ③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和． (2)应用三角形法则求向量和的基本步骤 ①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合； ②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和． [跟踪训练1] 如图，请在图中直接标出下列向量的和： (1)＋； (2)＋＋＋. 解：(1)＋＝，如图所示． (2)＋＋＋＝，如图所示． 交换律 a＋b＝____________ 结合律 (a＋b)＋c＝____________ [答案自填] b＋a　a＋(b＋c) 　根据图示填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝.则 (1)a＋b＋c＝________； (2)b＋d＋c＝________． 【解析】　(1)a＋b＋c＝＋＋＝. (2)b＋d＋c＝＋＋＝＋＋＝. 【答案】　(1)　(2) 向量加法运算律的应用策略 (1)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)． (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． [跟踪训练2] (1)＋＋＋＋＝(　　) A. B．0 C. D. 解析：选B.＋＋＋＋＝(＋＋)＋(＋)＝0＋0＝0.故选B. (2)已知正方形ABCD的边长为1，则|＋＋＋|＝________． 解析：|＋＋＋|＝|(＋)＋(＋)|＝|＋|＝2||＝2. 答案：2 　(对接教材例2)已知在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 【解】　作出图形，如图．设船速v船的方向与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件可知，四边形ABCD为平行四边形， 在Rt△ACD中， ||＝||＝|v水|＝10 m/min， ||＝|v船|＝20 m/min， 所以cos α＝＝＝，又0°<α<90°， 所以α＝60°，从而船速的方向与水流方向成120°角． 故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向． 【变式探究】 1．(设问变式)若本例条件不变，求经过3 h，该船的实际航程是多少千米？ 解：由本例解图可知||＝||＝×20＝10(m/min)＝(km/h)，则经过3 h，该船的实际航程是3×＝(km)． 2．(综合变式)若本例改为若船沿垂直于水流的方向航行，其他条件不变，求船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值． 解：如图所示，||＝||＝|v船|＝20 m/min， ||＝|v水|＝10 m/min， 则tan ∠BAC＝2.所以船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值为2. 应用向量加法解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题． (3)还原：根据向量的运算结果，结合共线向量、相等向量等概念回答原问题． [跟踪训练3] 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计) 解：如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝. 由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°. 所以||＝||cos 30°＝10×＝5(N)，||＝||cos 60°＝10×＝5(N)． 所以A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N. 1．化简＋＋等于(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：选C.根据平面向量加法的运算律，得＋＋＝(＋)＋＝＋＝.故选C. 2．(多选)(教材P87T3改编)如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是(　　) A.＋＋＝ B.＋＝ C.＋＋＝ D.＋＋＝0 解析：选BCD.＋＋＝，故A错误；＋＝＋＝，故B正确；＋＋＝＋＝，故C正确；＋＋＝＋＝＋＝0，故D正确．故选BCD. 3．(教材P88T4改编)若向量a表示向东走1 km，b表示向南走1 km，则向量a＋b表示________________________． 解析：由题意知向量a＋b表示方向为东南方向，大小为的向量，即a＋b表示向东南方向走 km. 答案：向东南方向走 km 4．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|＝________． 解析：|＋＋|＝|＋＋|＝||＝2. 答案：2 1．已学习：向量加法的三角形法则、平行四边形法则、加法运算律、向量加法的实际应用． 2．须贯通：三角形法则和平行四边形法则都可用于求向量的和，体现了数形结合的思想方法． 3．应注意：(1)三角形法则需要向量首尾相接； (2)平行四边形法则需要向量共起点． 学科网（北京）股份有限公司 $