2.1 从位移、速度、力到向量(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

§1　从位移、速度、力到向量 学业标准 素养目标 1．了解向量的物理背景，理解零向量、单位向量的概念．(难点) 2．掌握向量的几何表示，理解相等向量、共线向量、向量夹角的含义．(重点) 1．通过学习向量的有关概念，重点提升数学抽象等核心素养． 2．会用有向线段表示向量，重点提升直观想象等核心素养. [对应学生用书P48] 导学1　有向线段向量的概念与表示 在物理中，位移与距离是同一个概念吗？现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等，怎样正确区分这些量呢？ [提示]　位移与距离不是同一个概念；这些量中有些只有大小，没有方向，但有些既有大小又有方向，因此应该从大小和方向两个方面对这些量进行区分． 甲由A地向正北方向走了1 km，然后向正东方向又走了1 km，到达B地，问甲走的路程和位移各为多少？ [提示]　路程2 km，位移是向北偏东45°方向移动了 km. ◎结论形成 1．有向线段的概念及表示 具有方向和长度的线段称为有向线段(如图所示)．以A为起点，B为终点的有向线段，记作.线段AB的长度称为有向线段的长度，记作||. 2．向量的概念 (1)定义：既有__大小__又有__方向__的量统称为向量． (2)表示 (3)向量的模 向量a的大小，记作|a|，又称作向量的模． 3．零向量与单位向量 长度为__0__的向量称为零向量，记作0或　，任何方向都可以作为零向量的__方向__．模等于__1个单位长度__的向量称为单位向量． 导学2　向量的基本关系 如图所示，△ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则与，与是什么关系？ [提示]　与是平行向量(共线向量)，与是相等向量． ◎结论形成 1．相等向量 是指它们的长度__相等__且方向__相同__．向量a与b相等，记作　a＝b　.若两条有向线段方向相同、长度相等，则它们表示的向量是__相等__的，代表相等向量的有向线段与起点位置__无关__． 2．共线向量 若两个非零向量a，b的方向__相同__或__相反__，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作　a∥b　. 3．相反向量 若两个向量的长度__相等__、方向__相反__，则称它们互为相反向量．相反向量是共线向量．若其中一个向量为a，则它的相反向量记作　－a　. 4．规定零向量与任一向量__共线__，即对于任意的向量a，都有　0∥a　.零向量的相反向量仍是__零向量__． 导学3　向量的夹角 在等边△ABC中，∠ABC等于多少？向量与的夹角是多少？ [提示]　∠ABC＝，而与的夹角是. ◎结论形成 向量的夹角 定义 已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则　θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)　称为向量a与b的夹角 范围 　[0°，180°]　 特殊 θ＝__0°__ a与b同向 θ＝　180°　 a与b反向 θ＝　90°　 a与b垂直，记作　a⊥b　.规定__零向量__可与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有0⊥a 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量能比较大小．(　　) (2)任意两个单位向量都相等．(　　) (3)向量与向量是相等向量．(　　) (4)若非零向量∥，那么AB∥CD．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(多选题)已知非零向量a，b，下列说法正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若a＝b，则|a|＝|b| C．若a∥b，则a＝b D．若a＝b，则a∥b 解析　若|a|＝|b|，则当a，b的方向不同时，a≠b，A错误；若a＝b，则一定有|a|＝|b|，B正确；若a∥b，则只能说明非零向量a，b共线，当a，b的大小不同或方向相反时，都有a≠b，C错误；若a＝b，则a，b方向相同，所以a∥b，D正确．故选BD． 答案　BD 3．如图所示，若小正方形的边长为1，则下列结论正确的个数为(　　) ①＝2；②＞；③与都是单位向量；④||＞||. A．1　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析　依题意知||＝2＞||＝，||＝1，因为向量有方向，所以两个向量不能比较大小(规定两个向量可以相等，即大小相等，方向相同的向量叫做相等向量)，向量的模可以比较大小．所以③④正确． 答案　B 4．如图所示，以1 cm×3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中， (1)以A为始点，可以写出________个不同的向量； (2)向量与的夹角等于________． 解析　由图可知，以A为始点的向量有，，，，，，，共有7个． ∵＝，∴向量与的夹角等于. 答案　(1)7　(2) [对应学生用书P50] 题型一　向量的有关概念 给出下列命题： ①若两个向量相等，则它们的始点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则a＝b； ③若＝，则四边形ABCD是平行四边形； ④在平行四边形ABCD中，一定有＝； ⑤若m＝n，n＝k，则m＝k； ⑥若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中不正确的命题的个数为(　　) A．2　　　 B．3　　　 C．4　　　 D．5 [解析]　两个向量始点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有始点相同、终点相同，故①不正确．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确．③也不正确，因为A，B，C，D可能落在同一条直线上．零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b＝0，则a与c就不一定平行了．因此⑥也不正确． [答案]　C 解决与向量概念有关问题的方法 解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度．如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题． [触类旁通] 1．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 解析　与长度相等，方向相反，A正确；单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，B错误；向量的模可以比较大小，而向量不可以比较大小，C错误；向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，D正确． 答案　AD 题型二　向量的几何表示及应用一题多变 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量． (1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向 ； (2)，使||＝4，点B在点A正东方向； (3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向． [解析]　如图中的，和. [母题变式] (1)(变结论)求向量与的夹角； (2)(变结论)求向量与的夹角． 解析　(1)∵点A在点O北偏东45°方向， ∴与的夹角为45°. (2)∵点C在点B北偏东30°方向， ∴向量与的夹角为45°－30°＝15°. [素养聚焦]　本题考查向量的表示，突出考查了直观想象等核心素养． 用有向线段表示向量的方法 (1)用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量的模的大小确定向量的终点． (2)必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(夹角)或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量． [触类旁通] 2．(2024·全国高一专题练习)如图所示，某人从点A出发，向西走了200 m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了200 m到达C点，最后又改变方向，向东走了200 m到达D点，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，(图中1个单位长度表示100 m)； (2)求的模． 解析　(1)根据题意，可知点B在坐标系中的坐标为(－2,0)， 又点D在点B的正北方，所以CD⊥BD， 又||＝200，所以||＝200，即D，C两点在坐标系中的坐标为(－2,2)，(－4,2)，即可作出，，如图所示． (2)如图所示，作出向量， 由题意，可知CD∥AB且CD＝AB＝200，所以四边形ABCD是平行四边形，则||＝||＝200，所以的模为200(m)． 题型三　相等向量与共线向量 　(1)如图，D，E，F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形，则与向量的模相等且共线的向量的个数是________． (2)O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中： ①分别找出与，相等的向量． ②找出与共线的向量． ③找出与模相等的向量． ④向量与是否相等？ [解析]　(1)符合题意的向量有：，，，，，，，共7个． (2)①＝，＝. ②与共线的向量有：，，. ③与模相等的向量有：，，，，，，. ④向量与不相等，因为它们的方向不相同． [答案]　(1)7　(2)略 向量相等与向量共线的探求方法 (1)寻找向量相等：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． (2)寻找向量共线：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量．注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． [触类旁通] 3．(2024·青岛二中期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？ 解析　由已知得AM＝MB＝BC＝CN＝ND＝DA＝MN， 所以相等向量有＝＝＝，共有12对， ＝＝，共有6对． ＝，共有2对，＝，共有2对，＝，共有2对，所以共有24对． 知识落实 技法强化 1．向量的有关概念及几何表示． 2．相等向量、共线向量及向量的夹角. 1．零向量与实数零的区别；零向量方向是任意的，单位向量的模是确定的． 2．数形结合思想的应用. 学科网（北京）股份有限公司 $$