第1章 三角函数 章末复习提升(一)(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦三角函数章末复习，系统梳理任意角三角函数定义、诱导公式化简与证明、图象变换、性质及综合应用五大核心知识点，构建从概念理解到公式应用，再到图象性质分析与综合问题解决的递进式学习支架。 资料通过多样化训练题（如旋转坐标求解、方程与三角函数结合、图象变换探究），培养学生用数学眼光观察几何运动，用数学思维进行逻辑推理与问题转化，用数学语言规范表达解题过程。分层设计助力课中教学实施，课后可帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

章末复习提升(一) 要点一　任意角的三角函数的定义 有关三角函数的概念主要有以下两个方面： (1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算． (2)对于任意角的三角函数，应掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义． 训练1　在直角坐标系中，已知圆C的圆心在原点，半径等于1，点P从初始位置(0，1)开始，在圆C上按顺时针方向，以 rad/s的角速度旋转3 s后到达P′点，则P′的坐标为(　　) A．(，－) B．(，－) C．(－，－) D．(－，－) 解析：选A.点P(0，1)为角α＝的终边上一点，3 s后点P按顺时针方向旋转到达P′点，点P′落在角β＝－3×＝－的终边上，cos β＝cos (－)＝cos ＝，sin β＝sin (－)＝－sin ＝－，故P′的坐标为(，－).故选A. 训练2　已知θ为第二象限角，点P(x，)在其终边上，且cos θ＝x，则tan θ＝____________． 解析：根据三角函数定义，cos θ＝＝x，解得x＝±或x＝0，因为θ为第二象限角，所以x＝－，所以tan θ＝－＝－. 答案：－ 训练3　已知角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)，且sin θ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 解：由题意得r＝，所以sin θ＝＝m.因为m≠0，所以m＝±，故角θ是第二或第三象限角．当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，角θ是第二象限角，所以cos θ＝＝＝－，tan θ＝＝＝－；当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝＝＝－，tan θ＝＝＝. 要点二　利用诱导公式化简与证明 三角函数的求值与化简主要是指根据三角函数的定义及诱导公式求三角函数式的值或对三角函数式化简．要掌握三角函数的定义、特殊角的三角函数值，熟记诱导公式． 训练4　sin 315°＋sin (－480°)＋cos (－330°)的值为(　　) A． B．－ C．－ D． 解析：选C.原式＝sin (360°－45°)＋sin (－360°－120°)＋cos (－360°＋30°)＝－sin 45°－sin 60°＋cos 30°＝－－＋＝－.故选C. 训练5　若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.因为方程5x2－7x－6＝0的两根分别为x1＝2和x2＝－，所以sin α＝－. 则 ＝ ＝＝－＝，故选B. 训练6　已知角α的终边经过单位圆上的点P. (1)求sin α的值； (2)求·的值． 解：(1)因为点P在单位圆上， 所以sin α＝－. (2)原式＝·＝＝，由余弦的定义得cos α＝，故原式＝. 要点三　三角函数图象及变换 三角函数的图象一般用五点(画图)法，作图的关键是正确找出五个关键点，根据三角函数的图象求解析式可以利用代入法，也可以用五点作图中的关键点法；图象的变换问题要注意变换的顺序以及函数名的统一． 训练7　如图所示为函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜)的图象的一部分，则函数的一个解析式为(　　) A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin 解析：选C.由题图知A＝2，＝－＝，所以T＝π＝，所以ω＝2，因为f(x)的图象过点，所以2＝2sin (2×＋φ)，即sin ＝1，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，又因为0＜|φ|＜，所以φ＝.所以函数解析式f(x)＝2sin . 训练8　函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(ω，A>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到g(x)＝3sin 的图象，则只要将f(x)的图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度，纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 B．向左平移个单位长度，纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变 C．向右平移个单位长度，纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 D．向右平移个单位长度，纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变 解析：选D.因为f(x)的最小值为－1，所以A＝1，再由对称中心与相邻对称轴的距离可得最小正周期T＝4×＝π，从而ω＝2，所以f(x)＝sin (2x＋φ).因为f(x)的图象过点，所以sin ＝－1，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin ，g(x)＝3sin .则将f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度，得到y＝sin [2(x－)＋]＝sin 的图象，然后再将y＝sin 图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍，得到g(x)＝3sin 的图象． 训练9　函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图． (1)求f(x)的解析式； (2)把f(x)的图象上所有点向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？ 解：(1)由题图知A＝3，＝＝5π，故ω＝. 由f(x)＝3sin 的图象过点，得sin ＝0，则＋φ＝2kπ，k∈Z， 又|φ|＜，故φ＝－， 故f(x)＝3sin . (2)由f(x＋m)＝3sin ＝3sin 为偶函数(m＞0)， 知－＝kπ＋(k∈Z)，解得m＝kπ＋(k∈Z). 因为m＞0，所以mmin＝. 故把f(x)的图象上所有点向左至少平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数． 要点四　三角函数的性质 三角函数的性质，应重点掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)及y＝A tan (ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧． 训练10　函数f(x)＝7sin 是(　　) A．最小正周期为3π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为3π的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 解析：选A.因为f(x)＝7sin (x＋)＝7sin ＝－7sin (x＋)＝－7cos x，所以函数f(x)的最小正周期为3π.又因为f(－x)＝－7cos x＝f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为3π的偶函数． 训练11　(多选)关于函数f(x)＝3sin (2x－)＋1(x∈R)，下列命题正确的是(　　) A．若f(x1)＝f(x2)＝1，则x1－x2是π的整数倍 B．原函数等价于f(x)＝3cos ＋1 C．f(x)的图象关于点对称 D．f(x)的图象关于直线x＝－对称 解析：选BD.由f(x)＝3sin (2x－)＋1＝1，得sin ＝0，又函数的周期T＝π，则x1－x2是＝的整数倍，故A错误；f(x)＝3sin ＋1＝3cos [－]＋1＝3cos (－2x)＋1＝3cos (2x－)＋1，故B正确；当x＝时，sin ＝sin (－)＝sin ＝－≠0，即函数f(x)的图象不关于点对称，故C错误；当x＝－时，sin ＝sin (－－)＝sin ＝－1，是最小值，则f(x)的图象关于直线x＝－对称，故D正确． 训练12　将函数y＝f(x)的图象上所有点向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y＝sin x的图象． (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈[0，1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值． 解：(1)函数y＝ sin x的图象上所有点向下平移1个单位长度得y＝sin x－1的图象，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y＝sin x－1的图象，然后将得到的图象上所有点向右平移1个单位长度，得到y＝sin (x－)－1的图象，即f(x)＝sin (x－)－1， 所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝6. 由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得6k－≤x≤6k＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z. (2)因为函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以当x∈[0，1]时，y＝g(x)的最值即为x∈[3，4]时，y＝f(x)的最值． 因为当x∈[3，4]时，x－∈， 所以sin ∈， 所以f(x)∈. 所以当x∈[0，1]时，函数y＝g(x)的最小值是－1，最大值为. 要点五　三角函数的综合应用 1．求解复合函数的有关性质问题时，应同时考虑到内层函数与外层函数的各自特征及它们的相互制约关系，准确地进行等价转化． 2．在求三角函数的定义域时，不仅要考虑函数式有意义，而且要注意三角函数各自的定义域的要求．一般是归结为解三角函数不等式(组)，可利用图象或单位圆． 3．求复合函数的单调区间应按照复合函数单调性的规则进行． 训练13　方程lg |x|＝sin 的实数根的个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选C.由≤1得－1≤lg |x|≤1，即≤|x|≤10，方程lg |x|＝sin 实数根的个数就是函数y＝lg |x|与y＝sin 图象公共点的个数，当x>0时，两函数图象如图所示， 两图象有3个公共点，同理，当x<0时，两图象也有3个公共点， 故两图象共有6个公共点，从而方程有6个实数根．故选C. 训练14　已知a＞0，函数f(x)＝－2a sin ＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1. (1)求常数a，b的值； (2)设g(x)＝f，且lg g(x)＞0，求g(x)的单调区间． 解：(1)因为x∈，所以2x＋∈， 所以sin ∈， 所以－2a sin ∈[－2a，a]. 所以f(x)∈[b，3a＋b]， 又因为－5≤f(x)≤1，所以 解得 (2)由(1)知a＝2，b＝－5， 所以f(x)＝－4sin －1， g(x)＝f＝－4sin －1＝ 4sin －1， 又由lg g(x)＞0得g(x)＞1， 所以4sin －1＞1， 所以sin ＞， 所以2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z， 当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增， 所以g(x)的单调递增区间为，k∈Z. 当2kπ＋≤2x＋＜2kπ＋，k∈Z，即kπ＋≤x＜kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减． 所以g(x)的单调递减区间为，k∈Z . 训练15　已知函数f(x)＝sin . (1)求f(x)的单调递增区间； (2)若函数g(x)＝f(x)－k在区间上有三个零点，求实数k的取值范围． 解：(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z). 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z). 当x∈时，f(x)在区间和上单调递增，在区间上单调递减． f＝－，f＝1，f＝－1，f＝， 函数g(x)＝f(x)－k在区间上有三个零点等价于函数y＝f(x)与y＝k的图象在区间上有三个交点，结合草图可知－≤k≤， 所以函数g(x)在区间上有三个零点时，实数k的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $