6.6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积 课后达标 检测(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间几何体表面积计算，涵盖圆柱、圆锥、圆台、棱锥及组合体等核心知识点。通过回顾几何体结构特征，结合轴截面分析半径、母线、高等要素，推导侧面积与表面积公式，构建从结构到公式再到应用的学习支架。 其亮点在于融入生活实例（如陀螺、方斗）和分层练习，以数学眼光观察现实问题，用数学思维进行逻辑推理（如圆锥侧面展开图弧长与底面周长关系），通过数学语言精准表达公式与计算过程。例如第15题陀螺表面积计算，需分析圆柱与圆锥组合结构并应用公式，培养空间观念与应用意识。学生能提升空间想象和运算能力，教师可通过分层题目落实不同层次教学目标。

6．1　课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 16 11 1 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 15 16 11 2 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 15 16 11 2 课后达标 检测 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 3 √ 课后达标 检测 3 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 4 √ 课后达标 检测 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 √ √ 课后达标 检测 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 课后达标 检测 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 √ √ √ 课后达标 检测 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 课后达标 检测 7.如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________． 解析：由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积加上圆柱的侧面积，同时减去圆柱的两个底面的面积，即S＝6×42＋4×2π×1－2π×12＝96＋6π. 3 4 5 6 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 7 96＋6π 课后达标 检测 8.我国有一种容器叫作方斗，方斗的形状是一个上大下小的正四棱台(如图)，如果一个方斗的高为3分米(即该方斗上、下底面的距离为3分米)，上底边长为6分米，下底边长为4分米，则此方斗外表面的侧面积为__________平方分米．(容器厚度忽略不计) 3 4 5 6 7 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 8 课后达标 检测 3 4 5 6 7 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 8 课后达标 检测 9．把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为________cm，表面积为________cm2. 3 4 5 6 7 8 1 10 2 12 13 14 15 16 11 9 20 224π 课后达标 检测 解析：设圆锥的母线长为l，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S＝πl2(cm2).又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl(cm2). 因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周， 所以πl2＝2.5×8πl，所以l＝20 (cm). 圆锥的表面积S表＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm2). 3 4 5 6 7 8 1 10 2 12 13 14 15 16 11 9 课后达标 检测 10．如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′. (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比； 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 (2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积． 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 课后达标 检测 13.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，∠A1AB＝∠A1AC＝45°，则该斜三棱柱的侧面积是____________． 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 14 15 16 11 13 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 14 15 16 11 13 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 (2)求这个正四棱柱表面积的最大值． 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 课后达标 检测 16．如图，一个几何体由一个长方体ABCD－A1B1C1D1与一个半圆柱组成，且C1D1，CD分别为圆柱上、下底面的直径，AD＝2，AA1＝1，设DC＝m.试求：(以下结果用m表示) 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 (1)该几何体的表面积； 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 (2)从点D1沿几何体表面到点C的最短距离f(m). 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 1．已知一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为(　　) A．2 B．2 eq \r(2) C．4 D．8 解析：圆台的轴截面如图，设圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r，R，由题意知，l＝ eq \f(1,2) (r＋R)，S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，所以l＝4.故选C. 2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是(　　) A． eq \f(1＋2π,2π) B． eq \f(1＋4π,4π) C． eq \f(1＋2π,π) D． eq \f(1＋4π,2π) 解析：设圆柱底面半径、母线长分别为r，l， 由题意知l＝2πr，S侧＝l2＝4π2r2. S表＝S侧＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)， eq \f(S表,S侧) ＝ eq \f(2πr2（2π＋1）,4π2r2) ＝ eq \f(1＋2π,2π) .故选A. 3．已知某圆锥的表面积是14π，其侧面展开图是顶角为 eq \f(π,3) 的扇形，则该圆锥的侧面积为(　　) A．π B．2π C．6π D．12π 解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面展开图的弧长为2πr， 则由l· eq \f(π,3) ＝2πr，所以l＝6r.圆锥的表面积是14π，即πr2＋πr·6r＝14π，解得r2＝2， 所以侧面积S侧＝6πr2＝12π.故选D. 4．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH.正四棱锥P-EFGH的高为 eq \r(3) ，EF＝2，AE＝1，则该组合体的表面积为(　　) A．20 B．4 eq \r(3) ＋12 C．16 D．4 eq \r(3) ＋8 解析：由题意，正四棱锥P-EFGH的斜高为 eq \r(（\r(3)）2＋12) ＝2，该组合体的表面积为2×2＋4×2×1＋4× eq \f(1,2) ×2×2＝20. 5．(多选)已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，若θ＝30°，侧棱长为 eq \r(21) ，则(　　) A．正四棱锥的底面边长为6 B．正四棱锥的底面边长为3 C．正四棱锥的侧面积为24 eq \r(3) D．正四棱锥的侧面积为12 eq \r(3) 解析：如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH⊥AB， 易得侧面与底面所成的锐二面角的平面角为∠SHO. 设底面边长为2a(a＞0)，因为∠SHO＝30°， 所以OH＝a，OS＝ eq \f(\r(3),3) a，SH＝ eq \f(2\r(3),3) a， 在Rt△SAH中，a2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)a)) eq \s\up12(2) ＝21，所以a＝3，底面边长为6，故A正确，B错误； 所以侧面积为S＝ eq \f(1,2) ×6×2 eq \r(3) ×4＝24 eq \r(3) ，故C正确，D错误．故选AC. 6．(多选)已知圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的(　　) A．母线长是20 B．表面积是1 100π C．高是10 eq \r(2) D．轴截面为等腰梯形 解析：圆台的轴截面是等腰梯形，D正确； 设圆台母线长为l，又圆台侧面展开图扇环的圆心角是180°，即π， 所以l＝ eq \f(2π×（20－10）,π) ＝20，A正确； 表面积为S＝π×102＋π×202＋π(10＋20)×20＝1 100π，B正确； 高h＝ eq \r(202－（20－10）2) ＝10 eq \r(3) ，C错误．故选ABD. 20 eq \r(10) 解析：方斗大致图形如图所示，设点O，O1分别为上、下两底面的中心，M，N分别为AD，A1D1的中点，则MN为等腰梯形A1D1DA的高．根据题意可知MO＝3分米，NO1＝2分米，OO1＝3分米， 则MN＝ eq \r(32＋（3－2）2) ＝ eq \r(10) 分米， 所以此方斗的侧面等腰梯形ADD1A1的高为 eq \r(10) 分米．所以此方斗外表面的侧面积为4× eq \f(（4＋6）×\r(10),2) ＝20 eq \r(10) (平方分米). 解：设小棱锥的底面边长为a，斜高为h，则大棱锥的底面边长为2a，斜高为2h，所以大棱锥的侧面积为6× eq \f(1,2) ×2a·2h＝12ah，小棱锥的侧面积为6× eq \f(1,2) ah＝3ah， 棱台的侧面积为12ah－3ah＝9ah， 所以大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比为12ah∶3ah∶9ah＝4∶1∶3. 解：因为小棱锥的底面边长为4 cm，所以大棱锥的底面边长为8 cm，因为大棱锥的侧棱长为12 cm，所以大棱锥的斜高为 eq \r(122－42) ＝8 eq \r(2) (cm)，所以大棱锥的侧面积为6× eq \f(1,2) ×8×8 eq \r(2) ＝192 eq \r(2) (cm2)，所以棱台的侧面积为192 eq \r(2) × eq \f(3,4) ＝144 eq \r(2) (cm2)，棱台的上、下底面的面积和为6× eq \f(\r(3),4) ×42＋6× eq \f(\r(3),4) ×82＝24 eq \r(3) ＋96 eq \r(3) ＝120 eq \r(3) (cm2)，所以棱台的表面积为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(120\r(3)＋144\r(2))) cm2. 11．已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为1∶3∶ eq \r(3) ，若侧棱长为 eq \r(5) ，则该棱台的侧面积为(　　) A．16 B．10 C． eq \f(13\r(3),3) D．30 解析：设上底面边长为x，则下底面边长为3x，高为 eq \r(3) x，上底面正方形对角线长为 eq \r(2) x，下底面正方形对角线长为3 eq \r(2) x，又侧棱长为 eq \r(5) ，所以( eq \r(5) )2＝( eq \r(3) x)2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2)x－\r(2)x,2))) eq \s\up12(2) ，解得x＝1，所以侧面等腰梯形的高为 eq \r(（\r(5)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－1,2)))\s\up12(2)) ＝2，所以该棱台的侧面积为4× eq \f(1,2) ×(1＋3)×2＝16.故选A. 12．已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为(　　) A．8π B．16π C．8 eq \r(2) π D．4 eq \r(2) π 解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，则r>2， 由圆锥的底面圆心到母线的距离为2，得2l＝rh，即 h＝ eq \f(2l,r) . 又l2＝r2＋h2，所以l2＝r2＋ eq \f(4l2,r2) ，解得l2＝ eq \f(r4,r2－4) ＝ eq \f(1,\f(1,r2)－\f(4,r4)) .由r>2，得 eq \f(1,r2) － eq \f(4,r4) ＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,r2)－\f(1,4))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(1,16) ≤ eq \f(1,16) ，当 eq \f(2,r2) ＝ eq \f(1,4) ，即r＝2 eq \r(2) 时，l取得最小值4，则圆锥的侧面积为2 eq \r(2) ×4π＝8 eq \r(2) π，故选C. 2 eq \r(2) ＋2 解析：过点B作BM⊥AA1于点M，连接MC，如图所示．因为∠CAM＝∠BAM＝45°，CA＝BA，AM＝AM，所以△CAM≌△BAM， 所以MC＝MB＝ eq \f(\r(2),2) ，∠CMA＝∠BMA＝90°，即CM⊥AA1.又因为CM∩BM＝M，CM，BM⊂平面BCM，所以AA1⊥平面BCM.又因为BC⊂平面BCM，所以AA1⊥BC.又因为AA1∥CC1，所以CC1⊥BC，所以平行四边形BCC1B1为矩形，所以该斜三棱柱的侧面积为2× eq \f(\r(2),2) ×2＋1×2＝2 eq \r(2) ＋2. 14.如图，一个圆锥的底面半径为1，高为2 eq \r(2) ，其中内接一个高为x的正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱). (1)若正四棱柱底面边长为y，请写出y关于x的函数关系式； 解：画圆锥的轴截面，SF是圆锥的高，EF＝x，如图所示，因为正四棱柱底面边长为y，则 eq \f(\r(2)y,2) ＝ eq \f(2\r(2)－x,2\r(2)) ，整理得y＝ eq \r(2) － eq \f(x,2) (0＜x＜2 eq \r(2) ). 解：正四棱柱的表面积S＝4xy＋2y2＝4x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－\f(x,2))) ＋2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－\f(x,2))) eq \s\up12(2) ＝－ eq \f(3,2) x2＋2 eq \r(2) x＋4＝－ eq \f(3,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2\r(2),3))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(16,3) ，所以当x＝ eq \f(2\r(2),3) 时，表面积S取得最大值，最大值为 eq \f(16,3) . 15.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，它是一种绕一个支点高速转动的刚体，其形状可以看成圆柱与圆锥的组合体．如图，一陀螺尖底长PO为3，柱体与锥体部分的高之比为2∶1，底面周长为2π，则陀螺的表面积为(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(\r(2),2))) π B．6π C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(\r(2),2))) π D．(5＋ eq \r(2) )π 解析：由底面周长为2π，可得底面半径r＝1.又尖底长PO为3，柱体与锥体部分的高之比为OO1∶PO1＝2∶1，得圆柱的高为2，圆锥的高为1，所以圆锥的母线长为 eq \r(12＋12) ＝ eq \r(2) ，则陀螺的表面积为π×1× eq \r(2) ＋π×12＋2π×2＝(5＋ eq \r(2) )π.故选D. 解：几何体的表面积S＝(2m＋1×2)×2＋m＋π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2))) eq \s\up12(2) ＋π× eq \f(m,2) ×1＝ eq \f(πm2,4) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋5)) m＋4. 解：当路径经过长方体表面时，f(m)＝m＋1； 当路径经过半圆柱表面时，f(m)＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)m))\s\up12(2)) ； 取 eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)m))\s\up12(2)) ＞m＋1，即m＞ eq \f(8,π2－4) ； 取 eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)m))\s\up12(2)) ≤m＋1，即m≤ eq \f(8,π2－4) . 所以当m> eq \f(8,π2－4) 时， f(m)＝m＋1， 当m≤ eq \f(8,π2－4) 时，f(m)＝ eq \r(1＋\f(π2,4)m2) ， 即f(m)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1，m＞\f(8,π2－4)，, \r(1＋\f(π2,4)m2)，0＜m≤\f(8,π2－4)．)) $