1.6 第1课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换 课后达标 检测(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件以三角函数图像变换为核心，涵盖相位定义、平移伸缩变换等知识点，通过基础题到综合题的梯度设计，搭建从概念理解到复杂变换应用的学习支架。 其亮点在于通过多选、逆向变换等题型，结合数学思维中的逻辑推理和数学语言的精确表达，如通过不同变换步骤的辨析培养学生推理能力。学生能提升变换应用能力，教师可利用分层题目实现高效教学。

第1课时　课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 16 11 1 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 15 16 11 2 √ 课后达标 检测 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 3 √ 课后达标 检测 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 3 课后达标 检测 3 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 4 √ 课后达标 检测 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 √ √ 课后达标 检测 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 课后达标 检测 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 √ √ 课后达标 检测 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 课后达标 检测 3 4 5 6 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 7 右 课后达标 检测 3 4 5 6 7 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 8 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 10 2 12 13 14 15 16 11 9 ①② 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 10 2 12 13 14 15 16 11 9 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 14 15 16 11 13 3 3 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 14 15 16 11 13 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 1．若某简谐运动可用函数f(x)＝4sin (8x－ eq \f(π,9) )，x∈[0，＋∞)表示，则这个简谐运动的相位为(　　) A. eq \f(π,9) B．－ eq \f(π,9) C．8x－ eq \f(π,9) D．8x 解析：由相位的定义可知，8x－ eq \f(π,9) 为相位，所以函数f(x)＝4sin (8x－ eq \f(π,9) )，x∈[0，＋∞)的相位为8x－ eq \f(π,9) .故选C. 解析：为了得到y＝ eq \f(1,2) sin 3x的图象，只需将y＝sin 3x图象上各点纵坐标变为原来的 eq \f(1,2) ，横坐标不变．故选C. 2．为了得到y＝ eq \f(1,2) sin 3x的图象，只需将y＝sin 3x 图象上各点(　　) A．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 B．纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 C．纵坐标变为原来的 eq \f(1,2) ，横坐标不变 D．横坐标变为原来的 eq \f(1,2) ，纵坐标不变 3．函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移 eq \f(π,3) 个单位长度，所得图象经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0)) ，则ω的最小值是(　　) A． eq \f(3,2) B．2 C．1 D． eq \f(1,2) 解析：依题意得，函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) ＝sin ω eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) (ω>0)的图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0)) ， 于是有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋\f(π,3))) ＝sin ω eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋\f(π,3))) ＝sin ωπ＝0(ω>0)， 所以ωπ＝kπ，k∈N＋，即ω＝k，k∈N＋， 因此正数ω的最小值是1.故选C. 解析：由已知可得sin eq \f(1,2) (x＋φ)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(φ,2))) ＝cos eq \f(1,2) x，所以 eq \f(φ,2) ＝ eq \f(π,2) ＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝π＋4kπ(k∈Z).因为φ>0，所以φ的最小值是π.故选C. 4．将函数f(x)＝sin eq \f(1,2) x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得到函数g(x)＝cos eq \f(1,2) x的图象，则φ的最小值是(　　) A． eq \f(π,4) B． eq \f(π,2) C．π D．2π 5．(多选)有下列四种变换，其中能使y＝sin x的图象变为y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4))) 的图象的是(　　) A．先向右平移 eq \f(π,4) 个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) B．先向右平移 eq \f(π,8) 个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) C．先将各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移 eq \f(π,4) 个单位长度 D．先将各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移 eq \f(π,2) 个单位长度 解析：由y＝sin x的图象变为y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4))) 的图象有两种变换方式，第一种：先平移，后伸缩，即先向右平移 eq \f(π,4) 个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)；第二种：先伸缩，后平移，即先将各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移 eq \f(π,2) 个单位长度．故选AD. 6．(多选)要得到函数y＝cos (2x＋ eq \f(π,3) )的图象，只需将函数y＝cos x图象上的所有点(　　) A．向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) (纵坐标不变) B．向左平移 eq \f(π, 3) 个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) (纵坐标不变) C．横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) (纵坐标不变)，再向左平移 eq \f(π,6) 个单位长度 D．横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2 ) (纵坐标不变)，再向右平移 eq \f(π,12 ) 个单位长度 解析：函数y＝cos x的图象向左平移 eq \f(π,3) 个单位长度，得y＝cos (x＋ eq \f(π,3) )的图象，再将横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) (纵坐标不变)，得y＝cos (2x＋ eq \f(π,3) )的图象；将函数y＝cos x图象上所有点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) (纵坐标不变)，得y＝cos 2x的图象，再向左平移 eq \f(π,6 ) 个单位长度，得y＝cos 2(x＋ eq \f(π,6) )，即y＝ cos (2x＋ eq \f(π,3) )的图象．故选BC. eq \f(π,12) 解析：y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) ＝sin 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12))) ，所以将其图象向右平移 eq \f(π,12) 个单位长度得到y＝sin 2x的图象． 7．把函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) 的图象向________平移________个单位长度得到y＝sin 2x的图象． 8．若把函数y＝sin 2x图象上的各点向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度，再把它们的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标也缩短到原来的一半，则所得图象的函数解析式为____________________． 解析：由题意得，函数y＝sin 2x图象上的各点向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝sin 2(x－ eq \f(π,6) )＝sin (2x－ eq \f(π,3) )，图象上所有点的横坐标再缩短到原来的一半，纵坐标也缩短到原来的一半后，所得图象的函数解析式为y＝ eq \f(1,2) sin (4x－ eq \f(π,3) ). y＝ eq \f(1,2) sin (4x－ eq \f(π,3) ) 9．下列函数中：①y＝－sin 2x；②y＝cos 2x；③y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) ，其图象仅通过向左(或向右)平移就能与函数y＝sin 2x的图象重合的是________．(填序号) 解析：对于①，将y＝－sin 2x的图象向左平移 eq \f(π,2) 个单位长度，可得到y＝ －sin 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))) ＝sin 2x的图象，故①符合要求； 对于②，将y＝cos 2x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) 的图象向右平移 eq \f(π,4) 个单位长度，可得到y＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋\f(π,2))) ＝sin 2x的图象，故②符合要求； 对于③，y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) ，无论向左还是向右平移，纵坐标不变，故③不符合条件． 10．使函数y＝f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的 eq \f(1,2) ，然后再将其图象沿x轴向左平移 eq \f(π,6) 个单位长度得到的曲线与y＝sin 2x的图象相同，求f(x)的解析式． 解：方法一(正向变换)： y＝f(x) eq \o(――――→,\s\up16(横坐标缩短为原来的\f(1,2),纵坐标不变)) y＝f(2x) eq \o(――――→,\s\up24(沿x轴向左),\s\do15(平移\f(π,6)个单位长度)) y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))))) ， 即y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) ， 所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) ＝sin 2x. 令2x＋ eq \f(π,3) ＝t，则2x＝t－ eq \f(π,3) ， 所以f(t)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(π,3))) ， 即f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3))) . 方法二(逆向变换)： 根据题意得，y＝sin 2x eq \o(――――――――→,\s\up20(沿x轴向右),\s\do15(平移\f(π,6)个单位长度)) y＝ sin 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) eq \o(――――――――→,\s\up20(横坐标伸长到原来的2倍),\s\do15(纵坐标不变)) y＝f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3))) . 11．为了得到函数y＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) 的图象，需将函数y＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))) 图象上所有的点(　　) A．向左平移 eq \f(7π,12) 个单位长度 B．向右平移 eq \f(7π,12) 个单位长度 C．向左平移 eq \f(7π,24) 个单位长度 D．向右平移 eq \f(7π,24) 个单位长度 解析：y＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))) ＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)－\f(π,2))) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) ，将其图象上所有的点向右平移 eq \f(7π,24) 个单位长度，得到函数y＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(7π,24)))＋\f(π,4))) ＝ cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) 的图象．故选D. 12．设ω>0，函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3))) ＋2的图象向右平移 eq \f(4π,3) 个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是(　　) A． eq \f(2,3) B． eq \f(4,3) C． eq \f(3,2) D．3 解析：y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3))) ＋2 eq \o(―――――――→,\s\up24(向右平移\f(4π,3)个单位长度)) y1＝sin [ω eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4π,3))) ＋ eq \f(π,3) ]＋2＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)－\f(4π,3)ω)) ＋2.因为y与y1的图象重合，所以－ eq \f(4π,3) ω＝2kπ(k∈Z).所以ω＝－ eq \f(3,2) k.又因为ω>0，k∈Z，所以当k＝－1时，ω取最小值为 eq \f(3,2) .故选C. 13．若P(x，y)是函数y＝sin (x－ eq \f(π,4) )图象上的一点，则 Q( eq \f(1,3) x，3y)就是函数y＝A sin (ωx－ eq \f(π,4) )(ω>0，A>0)图象上的相应的点，则A＝______，ω＝______． 解析：因为P(x，y)是函数y＝sin (x－ eq \f(π,4) )图象上的一点，则Q( eq \f(1,3) x，3y)就是函数y＝A sin (ωx－ eq \f(π,4) )(ω>0，A>0)图象上的相应的点，所以将y＝sin (x－ eq \f(π,4) )图象上所有点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,3) (纵坐标不变)，得到函数y＝sin (3x－ eq \f(π,4) )的图象，再将所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得到函数y＝3sin (3x－ eq \f(π,4) )的图象，所以A＝3，ω＝3. 解：由于y＝cos x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))) ， 方法一：将函数y＝cos x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))) 的图象向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度，得到y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) 的图象，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的 eq \f(1,2) (纵坐标不变)，得到曲线C2：y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) . 14．请提供两种变换方法把曲线C1：y＝cos x变换成曲线C2：y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) . 方法二：将函数y＝cos x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))) 上所有点的横坐标缩短为原来的 eq \f(1,2) (纵坐标不变)，得到y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) 的图象，再向右平移 eq \f(π,12) 个单位长度，得到曲线C2：y＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))＋\f(π,2))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) . eq \r(2) 15．已知函数f(x)＝A sin 2x(A>0)，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数解析式为y＝g(x).若g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))) ＝ eq \r(2) ，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8))) 的值为________． 解析：将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝A sin x，因为g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))) ＝ eq \r(2) ，所以g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))) ＝A sin eq \f(π,4) ＝ eq \f(\r(2),2) A＝ eq \r(2) ，所以A＝2，所以f(x)＝2sin 2x，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8))) ＝ 2sin eq \f(3π,4) ＝2× eq \f(\r(2),2) ＝ eq \r(2) . 16．已知函数 f(x)＝cos (2x－ eq \f(π,6) ). (1)将函数f(x)的图象向左平移 eq \f(π,12) 个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标与纵坐标均变为原来的2倍得到函数g(x)的图象，写出函数g(x)的解析式； 解：f(x)的图象向左平移 eq \f(π,12) 个单位长度得到曲线C：y＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2（x＋\f(π,12)）－\f(π,6))) ＝cos 2x. 把曲线C上各点的横坐标与纵坐标均变为原来的2倍，得图象对应的解析式为g(x)＝2cos x． 解：因为关于x的方程g(x)－m＝0在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，\f(π,3))) 上恰有一个实数解，即g(x)＝m有一个根， 即y＝g(x)＝2cos x在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，\f(π,3))) 上的图象与直线y＝m有一个交点，画出图象如图， 由图可知，实数m的取值范围为－1≤m<1或m＝2. (2)在(1)的条件下，若关于x的方程g(x)－m＝0在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，\f(π,3))) 上恰有一个实数解，求实数m的取值范围． $