1.5.2 余弦函数的图象与性质再认识(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦余弦函数的图象与性质，通过“五点法”作图及性质再认识展开，以正弦函数五点法为基础，借助诱导公式和函数平移知识搭建学习支架，实现新旧知识的自然衔接。 其亮点在于注重数学思维与数学语言的培养，通过实例（如求定义域、值域时运用cosx有界性和二次函数换元）发展推理意识与运算能力，结合例题、跟踪训练及课堂自测，帮助学生系统掌握知识，教师可利用结构化资源提升教学效率。

5．2　余弦函数的图象与性质再认识 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 新知学习 探究 返回导航 思考3　函数y＝f(x＋a)(a>0)的图象可以由函数y＝f(x)的图象怎样平移而得到？ 提示：将函数y＝f(x)的图象沿着x轴向左平移a个单位长度而得到． 新知学习 探究 返回导航 (π，－1)　 (2π，1) 新知学习 探究 返回导航 　(对接教材例4)用“五点(画图)法”画出y＝1－cos x，x∈[0，2π]的图象． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 利用“五点(画图)法”作图时需要注意以下三点： (1)应用的前提条件是精确度要求不高． (2)利用光滑的曲线连接时，一般最高(低)点的附近要平滑，不要出现“拐角”的现象． (3)“五点(画图)法”作出的余弦函数一个周期上的图象是余弦曲线的一部分． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] 用“五点(画图)法”画出y＝1＋2cos x，x∈[0，2π]的图象． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)求下列函数的值域． ①y＝－cos2x＋cosx； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 求值域或最大值、最小值问题的依据 (1)cos x的有界性． (2)cos x的单调性． (3)化为cos x＝f(y)，利用|f(y)|≤1来确定． (4)通过换元转化为二次函数． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 余弦函数y＝cos x的图象关于y轴对称，是偶函数，最小正周期是2π. 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 (2)函数f(x)＝3－cos (2x－1)的最小正周期是__________． 解析：因为f(x)＝3－cos (2x－1)＝3－cos (2x－1＋2π)＝3－cos [2(x＋π)－1]＝f(x＋π)，所以函数f(x)＝3－cos (2x－1)的最小正周期是π. π 新知学习 探究 返回导航 角度3　单调性的应用 　(1)若a＝sin 47°，b＝cos 37°，c＝cos 47°，则a，b，c大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．c>b>a 【解析】　由题意得sin 47°＝sin (90°－43°)＝cos 43°，因为y＝cos x在0°≤x≤90°上单调递减，所以cos 37°>cos 43°>cos 47°，即b>a>c.故选C. √ 新知学习 探究 返回导航 (2)函数y＝2cos x－1的单调递减区间是________________________． 【解析】　因为y＝cos x的单调递减区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，所以函数y＝2cos x－1的单调递减区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z). [2kπ，π＋2kπ](k∈Z) 新知学习 探究 返回导航 (1)对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函数图象并类比正弦函数的相关性质进行记忆，其解题方法与正弦函数的对应性质解题方法一致． (2)单调性是对一个函数的某个区间而言的，不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小． 新知学习 探究 返回导航 √ √ 新知学习 探究 返回导航 对于D，cos (－70°)＝cos 70°＝sin 20°>sin 18°，故D正确．故选AD. 新知学习 探究 返回导航 (2)若y＝sin x与y＝cos x都单调递减，则x的取值范围是___________________________． 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 1．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0，2π]的大致图象为(　　) √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 4．(教材P38T4改编)写出一个同时满足以下条件的函数__________________________． ①是周期函数； ②最大值为3，最小值为－1； ③在[0，1]上单调． 解析：因为f(x)＝2cos x＋1的周期为2π，满足条件①； 又cos x∈[－1，1]，所以2cos x＋1∈[－1，3]，满足条件②； 因为函数y＝cos x在区间[0，1]上单调递减，所以f(x)＝2cos x＋1在区间[0，1]上单调递减，故满足条件③.故函数f(x)＝2cos x＋1符合题意． f(x)＝2cos x＋1(答案不唯一) 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：五点(画图)法、余弦函数的性质、余弦函数单调性的应用． 2．须贯通：五点(画图)法画余弦函数的图象以及余弦函数性质的应用． 3．应注意：(1)单调区间漏写k∈Z； (2)求值域时，忽视cos x本身具有的范围． 课堂巩固 自测 返回导航 目标) 1.能用“五点(画图)法”画余弦函数在[0，2π]上的图象．　2.理解余弦曲线的意义．　3.掌握余弦函数的性质，会求余弦函数的最小正周期、单调区间和最值． 思考1　利用“五点(画图)法”作正弦函数在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2π)) 上的图象，“五点”中的横坐标分别是什么？ 提示：0， eq \f(π,2) ，π， eq \f(3π,2) ，2π. 思考2　借助诱导公式cos x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x)) 及正弦函数图象的“五点(画图)法”，你能得到作余弦函数在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2π)) 上图象的“五个点”吗？ 提示：(0，1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0)) ，(π，－1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0)) ，(2π，1). eq \a\vs4\al(一　余弦函数的图象（五点（画图）法）) 余弦函数y＝cos x，x∈R的图象称作余弦曲线．根据余弦曲线的基本性质，描出(0，1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0)) ， eq \o(□,\s\up1(1)) _________， eq \o(□,\s\up1(2)) __________， eq \o(□,\s\up1(3)) __________这五个点后，函数y＝cos x在区间x∈[0，2π]的图象就基本确定了(如图).因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到余弦函数的简图．这种作余弦曲线的方法也称为“五点(画图)法”． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0)) 【解】　列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝cos x 1 0 －1 0 1 y＝1－cos x 0 1 2 1 0 于是得到函数y＝1－cos x在区间[0，2π]上的五个关键点为(0，0)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1)) ，(π，2)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，1)) ，(2π，0)，描点，并将它们用光滑的曲线顺次连接起来，其图象如图． 解：列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝cos x 1 0 －1 0 1 y＝1＋2cos x 3 1 －1 1 3 于是得到函数y＝1＋2cos x在区间[0，2π]上的五个关键点为(0，3)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1)) ，(π，－1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，1)) ，(2π，3)，描点，并将它们用光滑的曲线顺次连接起来，其图象如图． eq \a\vs4\al(二　余弦函数性质的再认识) 角度1　定义域、最大(小)值和值域 　(1)求f(x)＝ eq \r(2cos x－1) 的定义域． 【解】　要使函数有意义，则2cos x－1≥0，所以cos x≥ eq \f(1,2) ，所以－ eq \f(π,3) ＋2kπ≤x≤ eq \f(π,3) ＋2kπ，k∈Z，所以函数f(x)的定义域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋2kπ，\f(π,3)＋2kπ)) (k∈Z). 【解】y＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos x－\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(1,4) . 因为－1≤cos x≤1， 所以当cos x＝ eq \f(1,2) 时，ymax＝ eq \f(1,4) ； 当cos x＝－1时，ymin＝－2. 所以函数y＝－cos2x＋cosx的值域是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4))) . ②y＝ eq \f(2－cos x,2＋cos x) . 【解】y＝ eq \f(4－（2＋cos x）,2＋cos x) ＝ eq \f(4,2＋cos x) －1. 因为－1≤cos x≤1，所以1≤2＋cos x≤3， 所以 eq \f(1,3) ≤ eq \f(1,2＋cos x) ≤1， 所以 eq \f(4,3) ≤ eq \f(4,2＋cos x) ≤4， 所以 eq \f(1,3) ≤ eq \f(4,2＋cos x) －1≤3，即 eq \f(1,3) ≤y≤3. 所以函数y＝ eq \f(2－cos x,2＋cos x) 的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3)) . 解析：由余弦函数性质易知，当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))) 时，cos x∈[－1，0]，则函数y＝cos x(x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))) )的最大值为0.故选B. [跟踪训练2] (1)函数y＝cos x(x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))) )的最大值是(　　) A．1 B．0 C．－1 D. eq \f(3π,2) (2)已知函数y＝4cos x的定义域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)) ，值域为[a，b]，则b－a的值是(　　) A．4 B．4－2 eq \r(3) C．6 D．4＋2 eq \r(3) 解析：在单位圆中，易知函数y＝4cos x在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)) 上单调递减，当x＝ eq \f(π,3) 时，y＝4cos eq \f(π,3) ＝4× eq \f(1,2) ＝2，即函数的最大值b＝2，当x＝π时，y＝4cos π＝－4，即函数的最小值a＝－4，则b－a＝2－(－4)＝6.故选C. 角度2　周期性与奇偶性 　(1)y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))) 是(　　) A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数 【解析】　因为y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))) ＝cos x，所以该函数是周期为2π的偶函数．故选D. 【解析】　作出函数y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos x＋\f(1,2))) 的图象(图略)，由图象知，该函数的最小正周期为2π.故选A. (2)函数y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos x＋\f(1,2))) 的最小正周期为(　　) A．2π B．π C． eq \f(π,2) D．4π [跟踪训练3] (1)下列关于函数f(x)＝ eq \f(cos x,x) 的说法正确的是(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}，且f(－x)＝ eq \f(cos （－x）,－x) ＝－ eq \f(cos x,x) ＝－f(x)，故f(x)是奇函数．故选A. [跟踪训练4] (1)(多选)下列不等式中成立的是(　　) A．sin 1<sin eq \f(π,3) B．sin eq \f(15π,7) >sin eq \f(4π,5) C.cos eq \f(2π,3) >cos 2 D．cos (－70°)>sin 18° 解析：对于A，因为0<1< eq \f(π,3) < eq \f(π,2) ，y＝sin x在(0， eq \f(π,2) )上单调递增，所以sin 1< sin eq \f(π,3) ，故A正确； 对于B，sin eq \f(15π,7) ＝sin eq \f(π,7) ，sin eq \f(4π,5) ＝sin eq \f(π,5) ＞sin eq \f(π,7) ，即sin eq \f(15π,7) <sin eq \f(4π,5) ，故B错误； 对于C，因为 eq \f(π,2 ) <2< eq \f(2π,3) <π，y＝cos x在( eq \f(π,2) ，π)上单调递减，所以cos eq \f(2π,3) < cos 2，故C错误； eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋π)) ，k∈Z 解析：因为y＝sin x与y＝cos x的单调减区间分别为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2))) ，k∈Z和[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，所以 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2))) ∩[2kπ，2kπ＋π]＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋π)) ，k∈Z. 解析：由题意得 y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2cos x，0≤x<\f(π,2)或\f(3π,2)<x≤2π，,0，\f(π,2)≤x≤\f(3π,2)．)) 显然只有D合适．故选D. 2．(教材P38T1(3)改编)函数y＝－ eq \f(2,3) cos x，当x∈[0，2π]时，函数(　　) A．在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减 B.在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π)) 上单调递增，在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))) 上单调递减 C.在[π，2π]上单调递增，在[0，π]上单调递减 D．在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))) 上单调递增，在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π)) 上单调递减 解析：函数y＝－ eq \f(2,3) cos x的单调递减区间是[π＋2kπ，2π＋2kπ](k∈Z)，单调递增区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z).因为x∈[0，2π]，所以y＝－ eq \f(2,3) cos x在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减． 3．函数y＝ eq \f(1,1－cos x) 的值域是________________． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 解析：因为－1≤cos x≤1，且1－cos x≠0， 所以0<1－cos x≤2，所以y＝ eq \f(1,1－cos x) ≥ eq \f(1,2) ，即函数y＝ eq \f(1,1－cos x) 的值域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) . $