1.5.1 正弦函数的图象与性质再认识(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦正弦函数的图象与性质再认识，核心内容包括五点法作图、定义域、值域、周期性等性质。课堂导入通过问题“从哪些方面研究函数性质”引导，承接函数研究的一般方法，搭建从图象观察到性质探究的学习支架。 其亮点是结合解题技法（如求值域的两种方法）和跟踪训练（如五点法画y=2-sinx简图），通过诱导公式转化角度比较大小等实例，培养数学思维（逻辑推理）和数学眼光（几何直观）。课堂小结梳理重点与易错点，帮助学生系统掌握知识，教师可高效开展教学。

§5　正弦函数、 余弦函数的图象与性质再认识 5．1　正弦函数的图象与性质再认识 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 当我们遇到一个新函数时，要直观、全面地了解其基本特性，自然是从它的图象入手，画出它的图象，观察图象的形状，看它的特殊点，并借助它的图象研究它的性质，今天我们就一起来进一步学习正弦函数的性质． 思考　应该从哪些方面研究正弦函数的性质？ 提示：研究正弦函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、最值等． 新知学习 探究 返回导航 (2π，0) 顺次 新知学习 探究 返回导航 　(对接教材例2)用五点(画图)法画函数y＝2sin x－1，x∈[0，2π]的简图． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] 用五点(画图)法画出函数y＝2－sin x，x∈[0，2π]的简图． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)求使函数y＝－2sin x＋1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域． 新知学习 探究 返回导航 求正弦函数的值域一般有以下两种方法 (1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a(sin x＋b)2＋c型的值域问题． (2)利用sin x的有界性求值域，如y＝a sin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b. 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)f(x)＝|sin x|. 新知学习 探究 返回导航 (1)求与正弦函数有关的周期的常用方法：①定义法；②公式法；③图象法． (2)函数y＝sin x，x∈[a，b]为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sin x，x∈[0，2π]是非奇非偶函数． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练3] (1)f(x)＝x sin x是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇函数，又是偶函数 解析：因为x∈R，所以定义域关于原点对称，又f(－x)＝－x sin (－x)＝x sin x＝f(x)，所以f(x)为偶函数．故选B. √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 角度3　单调性的应用 　(1)(对接教材例1)下列关系式中正确的是(　　) A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.cos 10°<sin 168°<sin 11° 【解析】　sin 168°＝sin (180°－168°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°，因为函数y＝sin x在0°≤x≤90°上单调递增，所以 sin 11°<sin 12°<sin 80°，即 sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C. √ 新知学习 探究 返回导航 (2)y＝2－sin x的单调递减区间为__________________________． 新知学习 探究 返回导航 (1)利用正弦函数的单调性比较大小的步骤： ①一定：利用诱导公式把角化到同一单调区间上． ②二比较：利用函数的单调性比较大小． (2)对形如y＝a sin x＋b形式的函数．当a>0时，其单调性与y＝sin x的单调性相同；当a<0时，其单调性与y＝sin x的单调性相反． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)若x∈[0，π]，则y＝1－3sin x的单调递减区间为________． 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 1．(教材P33T1(3)改编)三角函数y＝2sin x在区间[－π，π]上的图象为(　　) √ 课堂巩固 自测 返回导航 易知C选项正确，故选C. 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 4．函数y＝a sin x＋1的最大值是2，则实数a的值为________． 解析：因为函数y＝a sin x＋1的最大值是2，所以a sin x的最大值为1，当a>0，sin x取最大值1时，a sin x取得最大值，则a＝1；当a<0，sin x取最小值－1时，a sin x取得最大值，则－a＝1，得a＝－1.综上，a＝±1. ±1 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：正弦函数的图象、“五点(画图)法”作图、正弦函数的周期性与奇偶性、正弦函数的单调区间、比较三角函数值的大小、正弦函数的最值(值域)． 2．须贯通：正弦函数的单调性及其应用、求函数的最值(值域). 3．应注意：(1)单调区间漏写k∈Z； (2)求值域时忽视sin x本身具有的范围． 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.能用“五点(画图)法”画正弦函数在[0，2π]上的图象．　2.理解正弦曲线的意义．　3.掌握正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、单调区间和最值． eq \a\vs4\al(一　正弦函数的图象（五点（画图）法）) 根据正弦曲线的基本性质，描出(0，0)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1)) ，(π，0)， eq \o(□,\s\up1(1)) ____________， eq \o(□,\s\up1(2)) ____________这五个关键点后，函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象就基本 确定了(如图).因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们 eq \o(□,\s\up1(3)) ________连接起来，就得到正弦函数的简图．这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1)) 【解】　列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝2sin x－1 －1 1 －1 －3 －1 于是得到y＝2sin x－1在区间[0，2π]上的五个关键点为(0，－1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1)) ，(π，－1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－3)) ，(2π，－1).描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，得函数y＝2sin x－1，x∈[0，2π]的简图，如图． “五点(画图)法”作形如y＝a sin x＋b，x∈[0，2π]的图象时，其步骤如下： (1)列表：取x＝0， eq \f(π,2) ，π， eq \f(3π,2) ，2π，求出对应的函数值． (2)描点：将表中所对应的点(x，y)标在坐标平面内． (3)连线：用光滑的曲线将所描的点顺次连接起来．在连线过程中要注意曲线的“凸性”． 解：列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝2－sin x 2 1 2 3 2 于是得到函数y＝2－sin x在[0，2π]上的五个关键点为(0，2)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1)) ，(π，2)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，3)) ，(2π，2)，描点，并将它们用光滑的曲线顺次连接起来，得函数y＝2－sin x的简图，如图． 【解】　为使函数有意义，需满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,sin x)－1≥0，, 0<sin x<1，)) 即0<sin x≤ eq \f(1,2) . eq \a\vs4\al(二　正弦函数性质的再认识) 角度1　定义域、 最值和值域 　(1)函数y＝ eq \r(log2\f(1,sin x)－1) 的定义域为 ____________________________________________________． {x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ<x≤2kπ＋\f(π,6))) 或2kπ＋ eq \f(5π,6) ≤x<2kπ＋π，k∈Z} 由正弦函数的图象(如图1)或单位圆(如图2)，可得函数的定义域为{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ<x≤2kπ＋\f(π,6))) 或2kπ＋ eq \f(5π,6) ≤x<2kπ＋π，k∈Z}． 故填{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ<x≤2kπ＋\f(π,6))) 或2kπ＋ eq \f(5π,6) ≤x<2kπ＋π，k∈Z}． 【解】当x∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ－\f(π,2)，k∈Z)))) 时，ymax＝－2×(－1)＋1＝3； 当x∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) 时，ymin＝－2×1＋1＝－1， 所以函数y＝－2sin x＋1的值域为[－1，3]. [跟踪训练2] (1)已知函数f(x)＝2a sin x＋b的定义域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3))) ，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值． 解：因为－ eq \f(π,3) ≤x≤ eq \f(2π,3) ，所以－ eq \f(\r(3),2) ≤sin x≤1. 若a>0，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝1，,－\r(3)a＋b＝－5，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝12－6\r(3)，, b＝－23＋12\r(3)．)) 若a<0，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝－5，,－\r(3)a＋b＝1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－12＋6\r(3)，, b＝19－12\r(3)．)) 当a＝0时，不符合题意． 故a＝12－6 eq \r(3) ，b＝－23＋12 eq \r(3) 或a＝－12＋6 eq \r(3) ，b＝19－12 eq \r(3) . 解：令t＝sin x，则－1≤t≤1， y＝－t2＋ eq \r(3) t＋ eq \f(5,4) ＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(\r(3),2))) eq \s\up12(2) ＋2. 所以当t＝ eq \f(\r(3),2) 时，ymax＝2，此时sin x＝ eq \f(\r(3),2) ，即x∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ＋\f(π,3)或x＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))) . 当t＝－1时，ymin＝ eq \f(1,4) － eq \r(3) ，此时sin x＝－1，即x∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))) . (2)求使函数y＝－sin 2x＋ eq \r(3) sin x＋ eq \f(5,4) 取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最值． 角度2　周期性与奇偶性 　判断下列函数的奇偶性，并求函数的最小正周期． (1)f(x)＝sin eq \f(1,2) x(x∈R)； 【解】　因为x∈R，所以定义域关于原点对称，因为f(－x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x)) ＝－sin eq \f(1,2) x＝－f(x)，所以f(x)＝sin eq \f(1,2) x是奇函数．因为sin [ eq \f(1,2) (x＋4π)]＝ sin ( eq \f(1,2) x＋2π)＝sin eq \f(1,2) x，所以f(x)＝sin eq \f(1,2) x的最小正周期是4π. 【解】　作出f(x)＝|sin x|的图象，如图． 由图象易知f(x)＝|sin x|是偶函数，最小正周期为π. (2)判断等式sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋\f(5π,3))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) 是否成立．如果成立，能否说明 eq \f(5π,3) 是函数y＝sin x的周期？ 解：sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋\f(5π,3))) ＝sin eq \f(4π,3) ＝sin (π＋ eq \f(π,3) )＝－sin eq \f(π,3) ，而sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) ＝ －sin eq \f(π,3) ，所以上述等式成立，但不能说明 eq \f(5π,3) 是函数y＝sin x的周期，理由如下，若 eq \f(5π,3) 是函数y＝sin x的周期，则对任意的实数x，都有sin (x＋ eq \f(5π,3) )＝sin x，但当x＝0时，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,3))) ≠sin x，所以 eq \f(5π,3) 不是函数y＝sin x的周期． [－ eq \f(π,2) ＋2kπ， eq \f(π,2) ＋2kπ](k∈Z) 【解析】当－ eq \f(π,2) ＋2kπ≤x≤ eq \f(π,2) ＋2kπ，k∈Z时，y＝2－sin x单调递减，故y＝2－sin x的单调递减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ)) (k∈Z). [跟踪训练4] (1)函数值sin eq \f(3π,5) ，sin eq \f(4π,5) ，sin eq \f(9π,10) 按从大到小的顺序排列为___________________________． sin eq \f(3π,5) >sin eq \f(4π,5) >sin eq \f(9π,10) 解析：因为 eq \f(π,2) < eq \f(3π,5) < eq \f(4π,5) < eq \f(9π,10) <π，又函数y＝sin x在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) 上单调递减，所以sin eq \f(3π,5) >sin eq \f(4π,5) >sin eq \f(9π,10) . eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 解析：若x∈[0，π]，因为[－ eq \f(π,2) ＋2kπ， eq \f(π,2) ＋2kπ](k∈Z)∩[0，π]＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ，所以当x∈[0，π]时，y＝1－3sin x的单调递减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) . 解析：因为y＝2sin x为奇函数，所以y＝2sin x的图象关于原点对称，故排除A，D选项； 三角函数y＝2sin x在区间[－π，π]上的最大值为y＝2sin eq \f(π,2) ＝2，故排除B选项； 2．函数f(x)＝sin x＋1的零点是(　　) A. eq \f(π,2) ＋2kπ(k∈Z) B． eq \f(3π,2) ＋2kπ(k∈Z) C. eq \f(π,2) ＋kπ(k∈Z) D．kπ(k∈Z) 解析：令f(x)＝sin x＋1＝0，则sin x＝－1，所以x＝ eq \f(3π,2) ＋2kπ(k∈Z)，所以函数f(x)＝sin x＋1的零点是 eq \f(3π,2) ＋2kπ(k∈Z).故选B. 3．函数y＝ eq \r(2sin x－1) 的定义域为________________________________． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ)) ，k∈Z 解析：由题意知，自变量x应满足2sin x－1≥0，即sin x≥ eq \f(1,2) .由y＝sin x在[0，2π]上的图象(图略)可知， eq \f(π,6) ≤x≤ eq \f(5π,6) ，又x∈R，故y＝ eq \r(2sin x－1) 的定义域为[ eq \f(π,6) ＋2kπ， eq \f(5π,6) ＋2kπ]，k∈Z . $