1.4.4 诱导公式与旋转(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦诱导公式与旋转，以风车扇叶为情境导入，引导学生观察质点坐标关系，衔接三角函数定义，搭建从具体旋转现象到抽象公式推导的学习支架。 其亮点在于通过现实情境培养数学眼光，用“三看”策略（看角、函数名称、式子结构）发展数学思维，以表格与小结强化数学语言表达。实例丰富如风车坐标探究、解题口诀应用，助力学生掌握化简求值，教师可高效实施教学。

4．4　诱导公式与旋转 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 风车最早出现在波斯，起初是立轴翼板式风车，后来又发明了水平轴风车．如图所示的风车是由4个扇叶组成，相邻两个扇叶之间的角度为直角． 思考　若将风车扇叶的最外侧看作一个质点，那么四个质点之间存在什么关系？在平面直角坐标系中的坐标之间有什么关系？ 提示：将风车中心置于坐标原点，则同一直线上两个质点的横纵坐标互为相反数，相邻两个质点的横(纵)坐标与纵(横)坐标的绝对值相等． 新知学习 探究 返回导航 cos α －sin α　 －cos α sin α 新知学习 探究 返回导航 sin α cos α －sin α cos α －sin α cos α 新知学习 探究 返回导航 sin α －cos α －sin α －cos α　 cos α　 －sin α cos α　 sin α 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (1)利用诱导公式求值的策略 ①已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用． ②对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 0 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 三角函数式化简的策略 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值． 利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，若加整数倍的π，则函数名称不变；若加二分之奇数倍的π，则函数名称改变． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)若α＝－2 385°，求f(α)； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 诱导公式综合应用要“三看” (1)看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． (2)看函数名称：一般是正弦、余弦互化． (3)看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练3] 已知角θ的终边经过点P(3a，4a)(a＜0). (1)求sin θ的值； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 解析：cos 593°＝cos (630°－37°)＝cos (270°－37°)＝－cos (90°－37°)＝－sin 37°＝－a.故选B. √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 2 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：正弦函数、余弦函数的诱导公式、利用诱导公式进行化简、求值与证明． 2．须贯通：利用诱导公式进行化简与求值． 3．应注意：(1)公式中的角α可以是任意角； (2)函数名称、符号的变化，角与角之间的联系与构造． 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.能借助单位圆的旋转，利用定义推导出正弦函数、余弦函数的诱导公式．　2.能够运用诱导公式求值、化简，掌握诱导公式的综合应用． eq \a\vs4\al(一　诱导公式) 1．诱导公式与旋转 (1)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))) ＝ eq \o(□,\s\up1(1)) ____________，cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))) ＝ eq \o(□,\s\up1(2)) __________． (2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))) ＝ eq \o(□,\s\up1(3)) _____________，cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))) ＝ eq \o(□,\s\up1(4)) _________． 2．诱导公式 sin (α＋2kπ)＝ eq \o(□,\s\up1(5)) ______ (k∈Z) cos (α＋2kπ)＝ eq \o(□,\s\up1(6)) ______ (k∈Z) sin (－α)＝ eq \o(□,\s\up1(7)) ______ cos (－α)＝ eq \o(□,\s\up1(8)) ______ sin (2π－α)＝ eq \o(□,\s\up1(9)) ______ cos (2π－α)＝ eq \o(□,\s\up1(10)) ______ sin (π－α)＝ eq \o(□,\s\up1(11)) ______ cos (π－α)＝ eq \o(□,\s\up1(12)) ______ sin (π＋α)＝ eq \o(□,\s\up1(13)) ______ cos (π＋α)＝ eq \o(□,\s\up1(14)) ______ sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)) ＝ eq \o(□,\s\up1(15)) ______ cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)) ＝ eq \o(□,\s\up1(16)) ______ sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)) ＝ eq \o(□,\s\up1(17)) ______ cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)) ＝ eq \o(□,\s\up1(18)) ______ 角度1　利用诱导公式求值 　(1)(对接教材例8)sin (－1 290°)的值为(　　) A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(\r(3),2) D．－ eq \f(\r(3),2) 【解析】　sin (－1 290°)＝sin (150°－360°×4)＝sin 150°＝sin (90°＋60°)＝cos 60°＝ eq \f(1,2) .故选A. eq \f(1,2) (2)已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)) ＝ eq \f(1,2) ，则cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)) 的值为________． 【解析】cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)) ＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)))) ＝ sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)) ＝ eq \f(1,2) . 【变式探究】 1．(条件变式)本例(2)中条件变为sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－α)) ＝ eq \f(1,2) ，问题不变，如何求解？ 解：因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－α)) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)) ＝ eq \f(3π,2) ，所以cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)) ＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－α)))) ＝ －sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－α)) ＝－ eq \f(1,2) . 2．(设问变式)本例(2)条件不变，求cos ( eq \f(5π,6) －α)的值． 解：cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α)) ＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)))) ＝ －sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)) ＝－ eq \f(1,2) . (2)常见的特殊角 在条件求值问题中，当已知角与结论中的角不同时，要注意这两个角的和或差与 eq \f(π,2) ，π， eq \f(3π,2) ，2π之间的关系，若存在关系，可利用诱导公式整体代换． 与 eq \f(π,2) 有关的特殊角为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)) 与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)) 与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α)) 与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋α)) 与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)) 等． 与π有关的特殊角为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋α)) 与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))) 等． [跟踪训练1] (1)已知cos (75°＋α)＝ eq \f(1,3) ，则cos (105°－α)＋sin (15°－α)＝________． 解析：因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(75°＋α)＝90°， 所以cos (105°－α)＝cos [180°－(75°＋α)]＝ －cos (75°＋α)＝－ eq \f(1,3) ， sin (15°－α)＝sin [90°－(75°＋α)]＝cos (75°＋α)＝ eq \f(1,3) . 所以cos (105°－α)＋sin (15°－α)＝－ eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,3) ＝0. eq \f(12,11) (2)已知sin φ＝ eq \f(6,11) ，则cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)＋φ)) ＋sin (3π－φ)的值为________． 解析：因为sin φ＝ eq \f(6,11) ，所以cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)＋φ)) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π－\f(π,2)＋φ)) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋φ)) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－φ)) ＝sin φ＝ eq \f(6,11) ，sin (3π－φ)＝sin (2π＋π－φ)＝sin (π－φ)＝sin φ＝ eq \f(6,11) ，所以cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)＋φ)) ＋sin (3π－φ)＝ eq \f(6,11) ＋ eq \f(6,11) ＝ eq \f(12,11) . 角度2　利用诱导公式化简 　(对接教材例9)已知f(α)＝ eq \f(sin （π－α）cos （2π－α）cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin （－π－α）) ，试化简f(α). 【解】　 f(α)＝ eq \f(sin （π－α）cos （2π－α）cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin （－π－α）) ＝ eq \f(sin α·cos α·cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,2)－α)),sin α·[－sin （π＋α）]) ＝ eq \f(sin α·cos α\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))),sin α·sin α) ＝ eq \f(sin α·cos α·（－sin α）,sin α·sin α) ＝－cos α. [跟踪训练2] 化简： eq \f(sin （θ－5π）,cos （3π－θ）) · eq \f(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)),sin （θ－3π）) · eq \f(cos （8π－θ）,sin （－θ－4π）) . 解：原式＝ eq \f(－sin （5π－θ）,cos （π－θ）) · eq \f(sin θ,－sin （3π－θ）) · eq \f(cos θ,－sin （4π＋θ）) ＝ eq \f(－sin （π－θ）,－cos θ) · eq \f(sin θ,－sin （π－θ）) · eq \f(cos θ,－sin θ) ＝1. 【解】　f(α)＝ eq \f(－cos α·sin α·sin α,－sin α·（－sin α）) ＝－cos α. eq \a\vs4\al(二　诱导公式的综合应用) 　已知角α的终边不在坐标轴上，f(α)＝ eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,2)))cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))sin （π－α）,cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(π,2)))sin （α－π）) . (1)化简f(α)； 【解】　若α＝－2 385°， f(α)＝－cos (－2 385°)＝－cos (－7×360°＋135°)＝－cos 135°＝sin 45°＝ eq \f(\r(2),2) . (3)若sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6))) ＝ eq \f(1,3) ，求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α)) . 【解】　因为 sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6))) ＝ eq \f(1,3) ， 所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α)) ＝－cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α)) ＝ －cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,6)－α)) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)) ＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6))) ＝－ eq \f(1,3) . 解：点P到坐标原点的距离r＝ eq \r(（3a）2＋（4a）2) ＝5|a|. 因为a＜0，所以r＝－5a. 根据三角函数的定义，可得sin θ＝ eq \f(4a,－5a) ＝－ eq \f(4,5) . (2)求sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ)) ＋cos (θ－π)的值． 解：根据三角函数的定义，可得cos θ＝ eq \f(3a,－5a) ＝－ eq \f(3,5) ， 所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ)) ＋cos (θ－π)＝－cos θ－cos θ＝－2cos θ＝ eq \f(6,5) . 1．已知sin 37°＝a，则cos 593°＝(　　) A．a B．－a C． eq \r(1－a2) D．－ eq \r(1－a2) 解析：因为cos (2π－α)＝cos (－α)＝cos α＝ eq \f(\r(5),3) ，所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)) ＝－cos α＝－ eq \f(\r(5),3) . 故选A. 2．(教材P25T3改编)若cos (2π－α)＝ eq \f(\r(5),3) ，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)) ＝(　　) A.－ eq \f(\r(5),3) B．－ eq \f(2,3) C． eq \f(\r(5),3) D．± eq \f(\r(5),3) 3．已知角α的终边经过点P(－4，3)，则 eq \f(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin （－π－α）,cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α))) ＝________． － eq \f(3,4) 解析：因为角α的终边经过点P(－4，3)，所以sin α＝ eq \f(3,5) ，cos α＝－ eq \f(4,5) ，所以 eq \f(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin （－π－α）,cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α))) ＝ eq \f(－sin α·sin α,－sin α·cos α) ＝ eq \f(sin α,cos α) ＝－ eq \f(3,4) . 4．已知f(α)＝ eq \f(sin （π－α）·cos （2π－α）,cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))·sin （π＋α）·cos （－α）) ，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))) ＝________． 解析：因为f(α)＝ eq \f(sin （π－α）·cos （2π－α）,cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))·sin （π＋α）·cos （－α）) ＝ eq \f(sin α·cos α,－sin α·（－sin α）·cos α) ＝ eq \f(1,sin α) ， 所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))) ＝ eq \f(1,sin \f(π,6)) ＝2. $