1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件围绕单位圆与正弦、余弦函数基本性质展开，涵盖定义域、最值与值域、周期性、单调性及函数值符号。课堂导入通过“思考”提问，以单位圆为工具，连接三角函数定义与性质，搭建从定义到性质探究的学习支架。 其亮点在于以单位圆为核心工具，结合例题变式、跟踪训练及图示分析，培养学生数学眼光（几何直观）、数学思维（逻辑推理）。如利用单位圆阴影求解定义域，结合周期性化简函数值，帮助学生直观理解性质，教师可通过分层训练提升教学效率。

4．2　单位圆与正弦函数、 余弦函数的基本性质 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 思考　根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”．因此，单位圆的性质与三角函数的性质有天然的联系，单位圆是研究三角函数性质的好工具．这节课，我们就利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质，试想应该从哪些方面进行研究呢？ 提示：从正弦、余弦函数的定义域、最大(小)值、值域、周期性、单调性以及正弦函数值和余弦函数值的符号进行研究． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制． (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 1　 －1 2kπ 1 (2k＋1)π　 －1 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)已知函数y＝a sin x＋1的最大值为3，求它的最小值． 【解】　当a＞0时，ymax＝a×1＋1＝3，解得a＝2， 所以当sin x＝－1时，ymin＝2×(－1)＋1＝－1； 当a<0时，ymax＝a×(－1)＋1＝3，解得a＝－2， 所以当sin x＝1时，ymin＝－2×1＋1＝－1. 综上，它的最小值为－1. 新知学习 探究 返回导航 求正、余弦函数最值(值域)时的注意点 (1)求正、余弦函数的最值(值域)时应注意定义域，解题时可借助单位圆进行分析． (2)求含有参数的最值(值域)时，应注意对参数分类讨论． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 sin α　 cos α 2π 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 求正弦、余弦函数值的主体思路是“负化正，大化小”，可利用周期性先把要求角的正弦、余弦函数值转化为[0，2π)内的角的正弦、余弦函数值．要熟记特殊角(0°，30°，45°，60°，90°，120°等)的正弦、余弦函数值． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 (2)sin 405°－sin 450°－cos 765°＝________． －1 新知学习 探究 返回导航 [(2k－1)π，2kπ](k∈Z)　 [2kπ，(2k＋1)π](k∈Z) 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能合并． 新知学习 探究 返回导航 √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 解析：因为函数y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，所以A不正确，C不正确． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 {－2，0，2} 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 正弦、余弦函数值的正负规律 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练5] (1)已知点P(cos 305°，sin 305°)，则点P所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：因为270°<305°<360°，所以305°角为第四象限角，所以 cos 305°>0，sin 305°<0，所以点 P(cos 305°，sin 305°)在第四象限．故选D. √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ 课堂巩固 自测 返回导航 2．如果点M(sin θ，cos θ)位于第二象限，那么角θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 √ 课堂巩固 自测 返回导航 [0，π] 课堂巩固 自测 返回导航 [－1，2] 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：正弦、余弦函数的定义域，正弦、余弦函数的值域与最值，正弦、余弦函数的周期性和单调性． 2．须贯通：正弦函数值和余弦函数值都具有周期性，说明角与正弦函数值和余弦函数值的对应关系是多角对一值的关系． 3．应注意：单调区间漏写k∈Z，特殊角函数值记忆错误造成三角不等式解集有误． 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.能利用三角函数的定义，理解正弦函数、余弦函数的基本性质．　 2.初步运用正弦函数、余弦函数的基本性质解决相关问题．　3.掌握正弦函数值、余弦函数值在各个象限内的符号． eq \a\vs4\al(一　定义域) 正弦函数、余弦函数的定义域均是R. 　求下列函数的定义域： (1)y＝ eq \r(2sin α－\r(3)) ； 【解】　要使解析式有意义，则必须2sin α－ eq \r(3) ≥0， 即sin α≥ eq \f(\r(3),2) . 图中阴影部分就是满足条件的角α的取值范围，即{α eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3))) ≤α≤2kπ＋ eq \f(2π,3) ，k∈Z}． (2)y＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin α－\f(\r(2),2))) ＋ eq \r(1－2cos α) . 【解】　要使解析式有意义，则必须 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2cos α≥0，,sin α－\f(\r(2),2)＞0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos α≤\f(1,2)，,sin α＞\f(\r(2),2)．)) 则不等式组的解集如图(阴影部分)所示，即{α eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3))) ≤α＜2kπ＋ eq \f(3π,4) ，k∈Z}． 【变式探究】 (条件变式)将本例(1)函数改为y＝ eq \r(\r(3)－2sin x) ，求其定义域． 解：自变量x应满足 eq \r(3) －2sin x≥0，即sin x≤ eq \f(\r(3),2) ， 图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围，即{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(4π,3))) ≤x≤2kπ＋ eq \f(π,3) ，k∈Z}． [跟踪训练1] 求函数y＝ eq \r(2sin x＋1) 的定义域． 解：要使 eq \r(2sin x＋1) 有意义，则必须满足2sin x＋1≥0，即sin x≥－ eq \f(1,2) ， 图中阴影部分即为所求，则x的取值范围是[2kπ－ eq \f(π,6) ，2kπ＋ eq \f(7π,6) ]，k∈Z. eq \a\vs4\al(二　最大（小）值、值域) 1．当自变量α∈R时，0≤|sin α|≤1，0≤|cos α|≤1. 2．当α＝ eq \o(□,\s\up1(1)) ____________，k∈Z时，正弦函数v＝sin α取得最大值 eq \o(□,\s\up1(2)) ____________；当α＝ eq \o(□,\s\up1(3)) ____________，k∈Z时，正弦函数取得最小值 eq \o(□,\s\up1(4)) ________． 3．当α＝ eq \o(□,\s\up1(5)) ________，k∈Z时，余弦函数u＝cos α取得最大值 eq \o(□,\s\up1(6)) ________；当α＝ eq \o(□,\s\up1(7)) __________，k∈Z时，余弦函数取得最小值 eq \o(□,\s\up1(8)) ________． 2kπ＋ eq \f(π,2) 2kπ－ eq \f(π,2) 　(对接教材例4)(1)求函数y＝cos x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)≤x≤\f(5π,6))) 的值域． 【解】　由单位圆，可知当－ eq \f(π,3) ≤x≤ eq \f(5π,6) 时，cos x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1)) ， 所以y＝cos x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)≤x≤\f(5π,6))) 的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1)) . [跟踪训练2] (1)若cos α＝2m＋3，且α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3))) ，则m的取值范围为(　　) A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) 　　　　　　　 B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(7,4)，－\f(5,4))) C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，－1)) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))) 解析：因为α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3))) ，所以结合单位圆可知cos α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) ，即 eq \f(1,2) ≤2m＋3≤1，解得－ eq \f(5,4) ≤m≤－1.故选C. (2)函数y＝2＋cos x，x∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3))) 的值域是________． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)) 解析：由单位圆，可知当x∈(－ eq \f(π,3) ， eq \f(2π,3) ]时，cos x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)) ，所以2＋ cos x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)) ，所以函数y＝2＋cos x，x∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3))) 的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)) . eq \a\vs4\al(三　周期性) sin (α＋2kπ)＝ eq \o(□,\s\up1(1)) ____________，cos (α＋2kπ)＝ eq \o(□,\s\up1(2)) ____________，其中k∈Z，α∈R，正弦函数v＝sin α和余弦函数u＝cos α均是周期函数，对任何k∈Z且k≠0，2kπ均是它们的周期，最小正周期为 eq \o(□,\s\up1(3)) ____________． 【解析】　sin eq \f(37π,6) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π＋\f(π,6))) ＝sin eq \f(π,6) ＝ eq \f(1,2) ，故选A. 　(1)sin eq \f(37π,6) ＝(　　) A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(\r(3),2) D．－ eq \f(\r(3),2) (2)cos (－1 380°)的值为(　　) A．－ eq \f(1,2) B． eq \f(1,2) C．－ eq \f(\r(3),2) D． eq \f(\r(3),2) 【解析】cos (－1 380°)＝cos (－4×360°＋60°)＝cos 60°＝ eq \f(1,2) .故选B. 解析：cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(41π,3))) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－14π)) ＝cos eq \f(π,3) ＝ eq \f(1,2) .故选A. [跟踪训练3] (1)cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(41π,3))) 的值为(　　) A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(\r(3),2) D． eq \f(\r(3),6) 解析：sin 405°－sin 450°－cos 765°＝sin (360°＋45°)－sin (360°＋90°)－ cos (720°＋45°)＝sin 45°－sin 90°－cos 45°＝ eq \f(\r(2),2) －1－ eq \f(\r(2),2) ＝－1. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2))) (k∈Z) eq \a\vs4\al(四　单调性) 正弦函数v＝sin α在区间 eq \o(□,\s\up1(1)) __________________________上单调递增，在区间 eq \o(□,\s\up1(2)) __________________________上单调递减；余弦函数u＝cos α在区间 eq \o(□,\s\up1(3)) ______________________上单调递增，在区间 eq \o(□,\s\up1(4)) __________________上单调递减． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2))) (k∈Z) 　(对接教材例3)讨论函数u＝cos α在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(2π,3))) 上的单调性． 【解】　在单位圆中画出角α的终边所在区域， 可得u＝cos α在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0)) 上单调递增；在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3))) 上单调递减． [跟踪训练4] (1)(多选)下列选项中不正确的是(　　) A．函数y＝cos x在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π)) 上分别单调递减 B．函数y＝sin x在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2))) 上分别单调递增 C．函数y＝cos x在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 上单调递减 D．函数y＝sin x在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 上单调递增 因为函数y＝sin x 的单调递增区间为[－ eq \f(π,2) ＋2kπ， eq \f(π,2) ＋2kπ](k∈Z)，故B不正确，D正确．故选ABC. (2)已知a＝sin eq \f(π,5) ，b＝sin eq \f(π,7) ，c＝sin eq \f(25π,6) ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c　　　　　　　　 B．b<a<c C．b<c<a D．c<b<a 解析：c＝sin eq \f(25π,6) ＝sin eq \f(π,6) ， 因为0< eq \f(π,7) < eq \f(π,6) < eq \f(π,5) < eq \f(π,2) ， 且v＝sin α在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 上单调递增， 所以sin eq \f(π,7) <sin eq \f(π,6) <sin eq \f(π,5) ，即b<c<a.故选C. eq \a\vs4\al(五　正弦函数值和余弦函数值的符号) 　　　　象限 三角函数　　　 第一 象限 第二 象限 第三 象限 第四 象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ 　(1)已知 eq \f(1,|sin α|) ＝－ eq \f(1,sin α) ，且lg (cos α)有意义，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【解析】　由 eq \f(1,|sin α|) ＝－ eq \f(1,sin α) 可知sin α＜0. 由lg (cos α)有意义，可得cos α＞0， 所以角α是第四象限角．故选D. (2)设角α的终边不在坐标轴上，则函数y＝ eq \f(sin α,|sin α|) ＋ eq \f(cos α,|cos α|) 的值域为______________． 【解析】　当α为第一象限角时，sin α＞0，cos α＞0， 所以 eq \f(sin α,|sin α|) ＋ eq \f(cos α,|cos α|) ＝1＋1＝2， 当α为第二象限角时，sin α＞0，cos α＜0， 所以 eq \f(sin α,|sin α|) ＋ eq \f(cos α,|cos α|) ＝1－1＝0， 当α为第三象限角时，sin α＜0，cos α＜0， 所以 eq \f(sin α,|sin α|) ＋ eq \f(cos α,|cos α|) ＝－1－1＝－2， 当α为第四象限角时，sin α＜0，cos α＞0， 所以 eq \f(sin α,|sin α|) ＋ eq \f(cos α,|cos α|) ＝－1＋1＝0， 综上，函数的值域为{－2，0，2}． (2)若α是第二、三象限角，且cos α＝ eq \f(2m－3,4－m) ，则实数m的取值范围是____________． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2))) 解析：因为α是第二、三象限角，所以－1<cos α<0，即－1< eq \f(2m－3,4－m) ＜0，解得－1<m< eq \f(3,2) . 1．sin eq \f(7π,3) 的值为(　　) A．－ eq \f(\r(3),2) B． eq \f(1,2) C． eq \f(\r(3),2) D．－ eq \f(1,2) 解析：sin eq \f(7π,3) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3))) ＝sin eq \f(π,3) ＝ eq \f(\r(3),2) .故选C. 解析：因为点M(sin θ，cos θ)位于第二象限，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin θ<0，,cos θ>0，)) 所以角θ为第四象限角．故选D. 3．(教材P19T1改编)函数y＝cos x，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，\f(3π,2))) 的单调递减区间为________． 4．(教材P20T4改编)函数y＝－2sin x＋1，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π)) 的值域为____________． 解析：由单位圆可知，当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π)) 时，sin x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)) ，所以y∈[－1，2]，所以y＝－2sin x＋1，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π)) 的值域为[－1，2]. $