1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦任意角的正弦函数、余弦函数概念，从初中锐角三角函数的直角三角形定义切入，通过单位圆模型将概念推广到任意角，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接新旧知识。 其亮点在于结合数学眼光（抽象单位圆模型）和数学思维（推理运算），设计即时练、例题（如单位圆求负角函数值）及变式探究，培养学生逻辑推理与运算能力。学生能深化概念理解，教师可借助系统例题与训练提升教学效率。

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4．1　单位圆与任意角的正弦函数、 余弦函数定义 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 思考1　定义中的三个三角函数，对于同样大的一个角来说，如果三角形的大小改变(相似变化)，其三角函数值是否改变？ 提示：不变． 新知学习 探究 返回导航 思考2　如图，如果一个锐角α的终边与单位圆⊙O的交点是P(x，y)，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，你能否用点P的坐标表示sin α，cos α，tan α？这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？ 新知学习 探究 返回导航 纵坐标v 横坐标u 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，则v＝sin α为锐角α的正弦函数，u＝cos α为锐角α的余弦函数． 新知学习 探究 返回导航 正弦值 余弦值 sin α cos α 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)求出角α的终边与单位圆的交点P的坐标； 新知学习 探究 返回导航 (3)求出角α的正弦函数值和余弦函数值． 新知学习 探究 返回导航 单位圆法求三角函数的步骤 (1)先求出角的终边与单位圆交点的坐标； (2)再利用任意角的三角函数的定义求解． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 1．(条件变式)将本例中“已知角α的终边经过点P(4，－3)”变为“设函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象过定点P，且点P在角α的终边上”，求 cos α＋sin α＋1的值． 新知学习 探究 返回导航 2．(综合变式)将本例中“点P(4，－3)”变为“点P(4a，－3a)(a≠0)” 求sin α，cos α的值． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 (2)若函数f(x)＝loga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象经过定点A，若点A在角α的终边OP上(O是坐标原点)，则sin α＝__________． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练3] 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求2sin α＋cos α的值． 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 3．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________． 课堂巩固 自测 返回导航 4．已知角α的终边在直线y＝2x上，则sin α＋cos α＝________． 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：任意角的正弦函数和余弦函数、利用角α的终边上除原点外的任意一点的坐标求三角函数值、已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值． 2．须贯通：任意角α的三角函数值，只与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关． 3．应注意：正弦、余弦函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点的位置无关． 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义．　2.会用三角函数定义解决相关问题． 在初中，我们通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数，如图所示． 定义sin α＝ eq \f(对边,斜边) ，cos α＝ eq \f(邻边,斜边) ，tan α＝ eq \f(对边,邻边) . 提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ eq \f(y,x) ；能． eq \a\vs4\al(一　锐角的正弦函数和余弦函数) 对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，故u是由角α唯一确定的，v也是由角α唯一确定的．过点P向x轴作垂线，垂足为M.在 Rt△OMP 中，OP＝1，OM＝u，MP＝v，有sin α＝ eq \f(MP,OP) ＝ eq \f(v,1) ＝v，cos α＝ eq \f(OM,OP) ＝ eq \f(u,1) ＝u. 由此可知，对于锐角α来说，点P的 eq \o(□,\s\up1(1)) __________是该角的正弦值，点P的 eq \o(□,\s\up1(2)) ____________是该角的余弦值． eq \f(3,5) 【即时练】 1．已知锐角α的终边与单位圆交于点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5))) ，则sin α＝________，cos α＝________． eq \f(4,5) 解析：因为角α的终边与单位圆交于点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5))) ，所以sin α＝y＝ eq \f(3,5) ，cos α＝x＝ eq \f(4,5) . 解析：当α＝ eq \f(π,6) 时，设α的终边与单位圆的交点P的坐标为(x，y)(x>0，y>0).根据直角三角形中锐角 eq \f(π,6) 的对边是斜边的一半，可知y＝ eq \f(1,2) (如图)，又由勾股定理得x2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up24(2) ＝1，解得x＝ eq \f(\r(3),2) .所以点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))) .因此sin eq \f(π,6) ＝ eq \f(1,2) ，cos eq \f(π,6) ＝ eq \f(\r(3),2) . 2．当α＝ eq \f(π,6) 时，则sin α＝____________，cos α＝____________． eq \f(1,2) eq \f(\r(3),2) eq \a\vs4\al(二　任意角的正弦函数和余弦函数) 1.如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的．把点P的纵坐标v叫作角α的 eq \o(□,\s\up1(1)) ____________，把点P的横坐标u叫作角α的 eq \o(□,\s\up1(2)) ____________． 于是，在弧度意义下，对于α∈R，称v＝ eq \o(□,\s\up1(3)) ______为任意角α的正弦函数，u＝ eq \o(□,\s\up1(4)) ________为任意角α的余弦函数． 2．设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则 sin α＝ eq \o(□,\s\up1(5)) ________，cos α＝ eq \o(□,\s\up1(6)) ________．其中r＝ eq \r(x2＋y2) . eq \f(y,r) eq \f(x,r) 角度1　单位圆法求正弦函数值、余弦函数值 　(对接教材例2)在单位圆中，已知α＝－ eq \f(13,6) π. (1)画出角α； 【解】　因为α＝－ eq \f(13,6) π＝－2π－ eq \f(π,6) ，所以角α的终边与－ eq \f(π,6) 的终边相同，如图，以原点O为角的顶点，以x轴的非负半轴为角的始边，顺时针旋转 eq \f(13,6) π，与单位圆交于点P，则角α如图所示． 【解】　因为α＝－ eq \f(13,6) π，所以点P在第四象限． 过点P作PM⊥x轴于点M，由(1)知，∠MOP＝－ eq \f(π,6) ，则在Rt△MOP中，∠OMP＝ eq \f(π,2) ，∠MOP＝ eq \f(π,6) ，OP＝1，由直角三角形的边角关系，得OM＝ eq \f(\r(3),2) ，MP＝ eq \f(1,2) ，所以点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2))) . 【解】　根据正弦、余弦函数的定义，得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,6)π)) ＝－ eq \f(1,2) ，cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,6)π)) ＝ eq \f(\r(3),2) . [跟踪训练1] (1)在平面直角坐标系xOy中，已知sin α＝－ eq \f(4,5) ，cos α＝ eq \f(3,5) ，那么角α的终边与单位圆的交点的坐标为(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5))) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))) 解析：因为sin α＝－ eq \f(4,5) ，cos α＝ eq \f(3,5) ，所以角α的终边与单位圆的交点的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))) .故选A. (2)已知角α的终边与单位圆交于点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，y)) ，则sin α＝________． ± eq \f(1,2) 解析：由题意得， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2))) eq \s\up24(2) ＋y2＝1，所以y＝± eq \f(1,2) ，所以sin α＝y＝± eq \f(1,2) . 【解析】　根据题意，r＝OP＝ eq \r(42＋（－3）2) ＝5，所以sin α＝－ eq \f(3,5) ，cos α＝ eq \f(4,5) ，所以cos α＋sin α＋1＝ eq \f(4,5) ＋(－ eq \f(3,5) )＋1＝ eq \f(6,5) .故选C. 角度2　已知角的终边上一点求正弦函数值、余弦函数值 　(对接教材例1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，点P到坐标原点O的距离为r，则cos α＋sin α＋1的值为(　　) A． eq \f(4,5) B．－ eq \f(4,5) C． eq \f(6,5) D．－ eq \f(6,5) 解：对于函数f(x)＝ax＋1＋1，令x＋1＝0，所以x＝－1，f(－1)＝2，故f(x)＝ax＋1＋1的图象过定点P(－1，2)，r＝OP＝ eq \r(（－1）2＋22) ＝ eq \r(5) ，所以 cos α＝－ eq \f(1,\r(5)) ＝－ eq \f(\r(5),5) ，sin α＝ eq \f(2,\r(5)) ＝ eq \f(2\r(5),5) ，所以cos α＋sin α＋1＝－ eq \f(\r(5),5) ＋ eq \f(2\r(5),5) ＋1＝ eq \f(\r(5)＋5,5) . 解：当a>0时，sin α＝ eq \f(－3a,\r(（4a）2＋（－3a）2)) ＝－ eq \f(3,5) ，cos α＝ eq \f(4a,\r(（4a）2＋（－3a）2)) ＝ eq \f(4,5) ； 当a<0时，sin α＝ eq \f(－3a,\r(（4a）2＋（－3a）2)) ＝ eq \f(3,5) ，cos α＝ eq \f(4a,\r(（4a）2＋（－3a）2)) ＝－ eq \f(4,5) . 综上所述，当a>0时，sin α＝－ eq \f(3,5) ，cos α＝ eq \f(4,5) ；当a<0时，sin α＝ eq \f(3,5) ，cos α＝－ eq \f(4,5) . 已知角的终边上一点求正弦函数值、 余弦函数值的步骤 (1)在角α的终边上任选一点P(x，y)，求出点P到原点的距离r(r>0)； (2)根据sin α＝ eq \f(y,r) ，cos α＝ eq \f(x,r) ，tan α＝ eq \f(y,x) ，求出三角函数值． 解析：因为角θ的终边过点P(2 eq \r(3) ，－2)，所以P到原点的距离r＝ eq \r(（2\r(3)）2＋（－2）2) ＝4，由三角函数的定义知cos θ＝ eq \f(x,r) ＝ eq \f(\r(3),2) .故选A. [跟踪训练2] (1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(2 eq \r(3) ，－2)，则cos θ＝(　　) A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(1,2) C．－ eq \f(1,2) D．－ eq \f(\r(3),2) eq \f(\r(10),10) 解析：由对数函数的性质易知函数f(x)＝loga(x－2)＋1过定点A(3，1)，点A在角α的终边OP上，所以r＝ eq \r(32＋12) ＝ eq \r(10) ，由三角函数定义可得sin α＝ eq \f(y,r) ＝ eq \f(1,\r(10)) ＝ eq \f(\r(10),10) ，所以sin α＝ eq \f(\r(10),10) . 角度3　已知角的终边所在直线求正弦函数值、余弦函数值 　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋ eq \f(3,cos α) 的值． 【解】　由题意知，cos α≠0.设角α的终边上除原点外的任一点为 P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝ eq \r(k2＋（－3k）2) ＝ eq \r(10) |k|. 当k>0时，r＝ eq \r(10) k，α是第四象限角， sin α＝ eq \f(y,r) ＝ eq \f(－3k,\r(10)k) ＝－ eq \f(3\r(10),10) ， eq \f(1,cos α) ＝ eq \f(r,x) ＝ eq \f(\r(10)k,k) ＝ eq \r(10) ， 所以10sin α＋ eq \f(3,cos α) ＝10× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10))) ＋3× eq \r(10) ＝－3 eq \r(10) ＋3 eq \r(10) ＝0； 当k<0时，r＝－ eq \r(10) k，α是第二象限角， sin α＝ eq \f(y,r) ＝ eq \f(－3k,－\r(10)k) ＝ eq \f(3\r(10),10) ， eq \f(1,cos α) ＝ eq \f(r,x) ＝ eq \f(－\r(10)k,k) ＝－ eq \r(10) ， 所以10sin α＋ eq \f(3,cos α) ＝10× eq \f(3\r(10),10) ＋3×(－ eq \r(10) )＝3 eq \r(10) －3 eq \r(10) ＝0. 综上所述，10sin α＋ eq \f(3,cos α) ＝0. 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a，b)，则角α的正弦函数值与余弦函数值分别为sin α＝ eq \f(b,\r(a2＋b2)) ，cos α＝ eq \f(a,\r(a2＋b2)) . 解：在直线3x＋4y＝0上任取一点P(4a，－3a)(a≠0)，则r＝ eq \r(（4a）2＋（－3a）2) ＝5|a|. 当a＞0时，r＝5a，故sin α＝ eq \f(－3a,5a) ＝－ eq \f(3,5) ，cos α＝ eq \f(4a,5a) ＝ eq \f(4,5) ，所以2sin α＋cos α＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) ＋ eq \f(4,5) ＝－ eq \f(2,5) ； 当a＜0时，r＝－5a，故sin α＝ eq \f(－3a,－5a) ＝ eq \f(3,5) ，cos α＝ eq \f(4a,－5a) ＝－ eq \f(4,5) ，所以 2sin α＋cos α＝2× eq \f(3,5) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5))) ＝ eq \f(2,5) .故2sin α＋cos α的值为 eq \f(2,5) 或－ eq \f(2,5) . 1．(教材P16T1改编)已知角α的终边经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5))) ，则cos α的值为(　　) A．－2 B． eq \f(2\r(5),5) C．－ eq \f(2\r(5),5) D．－ eq \f(\r(5),5) 解析：由题知点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5))) 在单位圆上，根据三角函数的定义，角的终边与单位圆交点的横坐标为该角的余弦值，即cos α＝－ eq \f(\r(5),5) .故选D. 2．已知点P(m，1)是角α终边上的一点，且sin α＝ eq \f(1,3) ，则m的值为(　　) A．2 B．－2 eq \r(2) C．2 eq \r(2) 或2 D．2 eq \r(2) 或－2 eq \r(2) 解析：因为点P(m，1)是角α终边上的一点，且sin α＝ eq \f(1,3) ，所以sin α＝ eq \f(1,\r(m2＋1)) ＝ eq \f(1,3) ，解得m＝2 eq \r(2) 或m＝－2 eq \r(2) .故选D. － eq \f(\r(3),2) 解析：因为sin 30°＝ eq \f(1,2) ，cos 30°＝ eq \f(\r(3),2) ， 所以角α的终边过点P(1，－ eq \r(3) )， 所以r＝OP＝ eq \r(12＋（－\r(3)）2) ＝2， 所以sin α＝－ eq \f(\r(3),2) . ± eq \f(3\r(5),5) 解析：在直线y＝2x上任取一点P(x，2x)(x≠0)， 则r＝ eq \r(x2＋4x2) ＝ eq \r(5) |x|. ①若x>0，则r＝ eq \r(5) x， 从而sin α＝ eq \f(2x,\r(5)x) ＝ eq \f(2\r(5),5) ，cos α＝ eq \f(x,\r(5)x) ＝ eq \f(\r(5),5) ， 所以sin α＋cos α＝ eq \f(3\r(5),5) . ②若x<0，则r＝－ eq \r(5) x， 从而sin α＝ eq \f(2x,－\r(5)x) ＝－ eq \f(2\r(5),5) ，cos α＝ eq \f(x,－\r(5)x) ＝－ eq \f(\r(5),5) ， 所以sin α＋cos α＝－ eq \f(3\r(5),5) . 综上，sin α＋cos α＝± eq \f(3\r(5),5) . $