1.3 弧度制 课后达标 检测(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦角的概念、弧度制及终边相同角等核心知识点，通过基础达标、能力提升、素养拓展三层练习构建学习支架，衔接从基础判断到综合应用的知识脉络，助力学生逐步深化理解。 其亮点在于分层设计与逻辑推理结合，以终边相同角判断、扇环面积计算等实例，培养数学思维中的推理能力和数学语言中的模型观念。学生通过自主检测与问题探究提升思维与应用能力，教师可借助分层练习实现精准教学。

§3　课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 16 11 1 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 15 16 11 2 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 15 16 11 2 课后达标 检测 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 3 √ 课后达标 检测 3 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 4 √ 课后达标 检测 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 √ √ √ 解析：对于A，因为－30°＝－360°＋330°，所以－30°与330°终边相同，故A正确； 对于B，－120°＝－360°＋240°，960°＝2×360°＋240°，所以 －120°与960°的终边相同，故B正确； 课后达标 检测 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 课后达标 检测 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 √ √ √ 课后达标 检测 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 课后达标 检测 3 4 5 6 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 7 660° 课后达标 检测 8．已知弧长为π的弧所对的圆心角为20°，则这条弧所在圆的半径为________． 3 4 5 6 7 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 8 9 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 10 2 12 13 14 15 16 11 9 课后达标 检测 10．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合． 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 √ √ √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 14 15 16 11 13 2∶3 课后达标 检测 14．已知角α＝2 040°. (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 √ √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 课后达标 检测 16．如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是 内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角的绝对值为α (0<α<π). (1)当α为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积； 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 1．角 eq \f(25π,12) 的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析： eq \f(25π,12) ＝ eq \f(π,12) ＋2π， eq \f(π,12) 是第一象限角，故 eq \f(25π,12) 是第一象限角．故选A. 2．与－330°角终边相同的角的集合为(　　) A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝－\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))) B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))) C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(11,6)π＋2kπ，k∈Z)))) D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)))) 解析：－330°角的弧度数为－ eq \f(11π,6) ，故与其终边相同的角的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝－\f(11,6)π＋2kπ，k∈Z)))) ＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))) .故选B. 解析：由题意得，最大摆角α＝ eq \f(170π,180) ＝ eq \f(17π,18) ，半径r＝8，由弧长公式可得l＝α·r＝ eq \f(17π,18) ×8＝ eq \f(68π,9) (米).故选A. 3．荡秋千是我国许多民族共有的民族传统体育项目．据现有文献记载，它源自先秦．位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来的最大摆角为170°，则该秋千最大摆角所对的弧长为(　　) A． eq \f(68π,9) 米 B． eq \f(34π,9) 米 C．13.6米 D．198米 解析：设三角形的三个内角的弧度数分别为4x，5x，6x，则有4x＋5x＋6x＝π，解得x＝ eq \f(π,15) ，所以最大内角的弧度数为6x＝ eq \f(2π,5) .故选C. 4．若三角形的三个内角之比为4∶5∶6，则该三角形中最大内角的弧度数是(　　) A． eq \f(5π,6) B． eq \f(2π,3) C． eq \f(2π,5) D． eq \f(3π,5) 5．(多选)下列各组角终边相同的一组是(　　) A．－30°，330° B．－120°，960° C． eq \f(11,6) π，－ eq \f(7,6) π D． eq \f(9,17) π，－ eq \f(25,17) π 对于D，－ eq \f(25,17) π＝－2π＋ eq \f(9,17) π，所以 eq \f(9,17) π与－ eq \f(25,17) π的终边相同，故D正确．故选ABD. 对于C，－ eq \f(7,6) π＝－2π＋ eq \f(5,6) π，即－ eq \f(7,6) π的终边与 eq \f(5,6) π的终边相同， eq \f(11,6) π∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2π)) ， eq \f(5,6) π∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2π)) ，所以 eq \f(11,6) π与 eq \f(5,6) π的终边不相同，即 eq \f(11,6) π与－ eq \f(7,6) π的终边不相同，故C错误； 6．(多选)孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁冬”．玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现有一玉佩如图1所示，其平面图形可以看成扇形的一部分(如图2)，已知AD∥BC，AD＝2AB＝2CD＝2BC＝4，则(　　) A．∠ABC＝ eq \f(2π,3) B．弧AD的长为 eq \f(2π,3) C．该平面图形的周长为6＋ eq \f(4π,3) D．该平面图形的面积为 eq \f(8π,3) － eq \r(3) 解析：如图，分别延长AB与DC交于点O，易得△AOD∽△BOC，得AO＝DO＝4，所以△AOD为等边三角形，∠BOC＝∠BAD＝ eq \f(π,3) ，所以∠ABC＝ eq \f(2π,3) ，得 eq \o(AD,\s\up24(︵)) ＝AO·∠BOC＝ eq \f(4π,3) ，该平面图形的周长为6＋ eq \f(4π,3) ，面积为 eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up24(︵)) ·AO－ eq \f(1,2) ×2× eq \r(3) ＝ eq \f(8π,3) － eq \r(3) .故选ACD. － eq \f(3π,4) 解析：－135°＝－135× eq \f(π,180) ＝－ eq \f(3π,4) ； eq \f(11π,3) ＝ eq \f(11π,3) × eq \f(180°,π) ＝660°. 7．－135°化为弧度为________， eq \f(11π,3) 化为角度为________． 解析：由于20°＝ eq \f(π,9) ，所以根据弧长公式得这条弧所在圆的半径为 eq \f(π,\f(π,9)) ＝9. 9.如图，分别以边长为3的正五边形ABCDE的顶点C，D为圆心，边长为半径画弧，两弧交于点F，则 eq \o(BF,\s\up24(︵)) 的长为________． eq \f(4π,5) 解析：如图，连接CF，DF，由题得△CDF为等边三角形，所以∠DCF＝ eq \f(π,3) ，又∠BCD＝ eq \f(（5－2）π,5) ＝ eq \f(3π,5) ，所以∠BCF＝∠BCD－∠DCF＝ eq \f(3π,5) － eq \f(π,3) ＝ eq \f(4π,15) ，所以 eq \o(BF,\s\up24(︵)) ＝ eq \f(4π,15) ×3＝ eq \f(4π,5) . 解：如题图1，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－ eq \f(π,6) ， 而75°＝75× eq \f(π,180) ＝ eq \f(5π,12) ，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)<θ<2kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)))) . 如题图2，因为30°＝ eq \f(π,6) ，210°＝ eq \f(7π,6) ，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB上的角为α＝kπ＋ eq \f(π,6) ，k∈Z， 又终边在y轴上的角为β＝kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z， 从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)<θ<kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) . 11．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是(　　) A．2π－ eq \r(3) B．π－ eq \r(3) C．2π－2 eq \r(3) D．2π＋ eq \r(3) 解析：由已知得 eq \o(AB,\s\up24(︵)) ＝ eq \o(BC,\s\up24(︵)) ＝ eq \o(AC,\s\up24(︵)) ＝ eq \f(2π,3) ，AB＝BC＝AC＝2，故一个扇形的面积为 eq \f(2π,3) ， 由已知可得，莱洛三角形的面积等于扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍， 所以所求面积为3× eq \f(2π,3) －2× eq \f(1,2) ×2× eq \r(3) ＝2π－2 eq \r(3) .故选C. 12．(多选)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为S1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为 eq \f(\r(5)－1,2) 时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是(　　) A． eq \f(S1,S2) ＝ eq \f(θ,2π－θ) B．若 eq \f(S1,S2) ＝ eq \f(1,2) ，扇形的半径R＝3，则S1＝2π C．若扇面为“美观扇面”，则θ＝(3－ eq \r(5) )π D．若扇面为“美观扇面”，半径R＝20，则S1＝200(3－ eq \r(5) )π 解析：对于A，S1，S2所在的扇形的圆心角分别为θ，2π－θ，设圆面的半径为r，所以 eq \f(S1,S2) ＝ eq \f(\f(1,2)·θ·r2,\f(1,2)·（2π－θ）·r2) ＝ eq \f(θ,2π－θ) ，故A正确； 对于B，若 eq \f(S1,S2) ＝ eq \f(θ,2π－θ) ＝ eq \f(1,2) ，则θ＝ eq \f(2π,3) ，又R＝3，则S1＝ eq \f(1,2) ·θ·R2＝ eq \f(1,2) × eq \f(2π,3) ×9＝3π，故B错误； 对于C，若 eq \f(S1,S2) ＝ eq \f(θ,2π－θ) ＝ eq \f(\r(5)－1,2) ，所以θ＝(3－ eq \r(5) )π，故C正确； 对于D，由C知θ＝(3－ eq \r(5) )π，又R＝20，所以S1＝ eq \f(1,2) ·θ·R2＝ eq \f(1,2) ×(3－ eq \r(5) )π×400＝200(3－ eq \r(5) )π，故D正确，故选ACD. 解析：如图，设内切圆半径为r，则r＝ eq \f(a,3) ， 所以S圆＝π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3))) eq \s\up24(2) ＝ eq \f(πa2,9) ，S扇＝ eq \f(1,2) a2× eq \f(π,3) ＝ eq \f(πa2,6) ，所以S圆∶ S扇＝2∶3. 13．已知扇形圆心角为 eq \f(π,3) ，半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为________． 解：α＝2 040°＝2 040× eq \f(π,180) ＝ eq \f(34π,3) ， 又 eq \f(34π,3) ＝ eq \f(4π,3) ＋5×2π，所以α＝ eq \f(4π,3) ＋5×2π， 所以α与 eq \f(4π,3) 的终边相同，又π< eq \f(4π,3) < eq \f(3π,2) ， 因此α是第三象限角． 解：与α终边相同的角可以写成γ＝ eq \f(4π,3) ＋2kπ，k∈Z，又γ∈[－5π，0)，所以当k＝－3时，γ＝－ eq \f(14π,3) ；当k＝－2时，γ＝－ eq \f(8π,3) ； 当k＝－1时，γ＝－ eq \f(2π,3) . 所以在区间[－5π，0)上与α终边相同的角为－ eq \f(14π,3) ，－ eq \f(8π,3) ，－ eq \f(2π,3) . 15.(多选)如图，A，B是单位圆上的两个点，点B的坐标为(1，0)，∠xOA＝60°，点A以1 rad/s的角速度、点B以2 rad/s的角速度均按逆时针方向开始在单位圆上运动，则(　　) A．当运动1 s时，∠BOA的弧度数为 eq \f(π,3) ＋3 B．当运动 eq \f(π,12) s时，扇形AOB的弧长为 eq \f(π,4) C．当运动 eq \f(π,6) s时，扇形AOB的面积为 eq \f(π,12) D．当运动 eq \f(1,3) s时，点A，点B在单位圆上第一次重合 当运动 eq \f(π,12) s时，∠BOA的弧度数为 eq \f(π,12) ＋ eq \f(π,3) －2× eq \f(π,12) ＝ eq \f(π,4) ，故扇形AOB的弧长为 eq \f(π,4) ×1＝ eq \f(π,4) ，故B正确； 解析：当运动1 s时，点A按逆时针方向运动1 rad，点B按逆时针方向运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为 eq \f(π,3) －1，故A不正确； 设运动t s时，点A，点B在单位圆上第一次重合，则t＋ eq \f(π,3) ＝2t，解得t＝ eq \f(π,3) s，故D不正确．故选BC. 当运动 eq \f(π,6) s时，∠BOA的弧度数为 eq \f(π,6) ＋ eq \f(π,3) －2× eq \f(π,6) ＝ eq \f(π,6) ，故扇形AOB的面积S＝ eq \f(1,2) × eq \f(π,6) ×12＝ eq \f(π,12) ，故C正确； 解：延长BA，CD相交于点O，设内圆弧半径为r，则AB＝CD＝OA＝OD＝r， 所以 eq \o(AD,\s\up24(︵)) ＝rα， eq \o(BC,\s\up24(︵)) ＝2rα， 所以rα＋2rα＋2r＝2l，则r＝ eq \f(2l,3α＋2) ， 所以S扇环＝S扇形OBC－S扇形OAD＝ eq \f(1,2) ×2rα×2r－ eq \f(1,2) ×rα×r＝ eq \f(3,2) αr2 ＝ eq \f(6l2,9α＋\f(4,α)＋12) ≤ eq \f(6l2,2\r(9α·\f(4,α))＋12) ＝ eq \f(l2,4) ， 当且仅当9α＝ eq \f(4,α) ，即α＝ eq \f(2,3) (负值舍去)时，S扇环取得最大值，最大值为 eq \f(l2,4) . (2)当α＝2时，求 eq \o(BC,\s\up24(︵)) 的中点E到弦BC的距离． 解：连接OE，设OE交BC于点F，则由垂径定理得OE⊥BC，则 eq \o(BC,\s\up24(︵)) 的中点E到弦BC的距离为EF， ∠BOE＝ eq \f(1,2) ∠BOC＝1， 由(1)知，r＝ eq \f(2l,3α＋2) ＝ eq \f(2l,3×2＋2) ＝ eq \f(l,4) ， 所以OF＝ eq \f(l,2) cos 1，所以EF＝OE－OF＝2r－ eq \f(l,2) cos 1＝ eq \f(l,2) (1－cos 1). 所以点E到弦BC的距离为 eq \f(l,2) (1－cos 1). $