1.3 弧度制(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件围绕弧度制展开，涵盖概念、角度弧度互化及扇形弧长面积公式，通过海浪、嘴角等生活弧度实例导入，结合1度角规定、弧长与半径比值等问题，衔接初中角度制知识，搭建认知支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过问题链引导数学思维推理，即时练与跟踪训练强化数学语言表达。课堂小结系统梳理知识，助学生建立角与实数的对应，教师可借此提升教学效率，学生能深化对知识的理解与应用。

§3　弧度制 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 同学们，弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度，世界才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵…….而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变． 思考1　在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？ 新知学习 探究 返回导航 思考2　在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？ 提示：圆心角是确定的． 新知学习 探究 返回导航 单位长度1 1 长度 弧度 新知学习 探究 返回导航 3．弧度数 正数 负数 0 新知学习 探究 返回导航 【即时练】 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．(　　) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关.(　　) (3)1弧度是1度的圆心角所对的弧．(　　) × √ × 新知学习 探究 返回导航 2．下列说法正确的是(　　) A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 √ 新知学习 探究 返回导航 解析：对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确； 对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误； 对于C，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角所对的弧长是不相等的，故C错误； 对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误． 新知学习 探究 返回导航 3．若圆O上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角(正角)的大小为________． 解析：圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，弧长等于半径的弧所对圆心角为1弧度角． 1弧度 新知学习 探究 返回导航 关于弧度制的理解 (1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的． (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系． 新知学习 探究 返回导航 π 180° 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)－216°； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (3)将－157°30′化成弧度为________． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 【解析】　对于A，B，弧度和角度属于不同度量单位，不能混用，A，B错误； 新知学习 探究 返回导航 (2)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(包含边界)的角θ的集合是___________________________． 新知学习 探究 返回导航 用弧度制表示终边相同的角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)注意角度制与弧度制不能混用． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)①把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角； 新知学习 探究 返回导航 ②若β∈[－4π，0]，且β与①中α的终边相同，求β. 新知学习 探究 返回导航 αR 新知学习 探究 返回导航 　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝120°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； 新知学习 探究 返回导航 (2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角． 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 (综合变式)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练3] (1)一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 √ 新知学习 探究 返回导航 (2)已知扇形的圆心角为α(α>0)，半径为r. ①若α＝2，r＝2，求扇形的周长和面积； 新知学习 探究 返回导航 ②若扇形的面积是定值S(S>0)，求扇形的周长最小时，圆心角α的值． 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 3．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在第二、四 象限的平分线上，则角α的集合是______________________________． (用弧度制表示) 课堂巩固 自测 返回导航 4．若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，求扇形的半径及面积． 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：弧度制的概念、角度制与弧度制的互化、扇形的弧长与面积的计算． 2．须贯通：角度制与弧度制是两种不同度量角的制度，任何一个角无论是以弧度为单位还是以角度为单位，都是一个与半径无关的定值，并且它们之间存在着一定的换算关系． 3．应注意：(1)弧度与角度不能混用； (2)弧长公式、扇形面积公式的圆心角必须以弧度为单位． 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．　 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系．　 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 提示：1度的角等于周角的 eq \f(1,360) . 思考3　射线OA绕端点O旋转到OB形成角α，在旋转过程中，射线OA上的两点P，Q(不同于点O)形成的轨迹的长度为l，l1，其中OP＝r，OQ＝r1，在旋转过程中，弧长l1与半径r1的比值和弧长l与半径r的比值有何关系？ 提示：设α＝n°，因为l1＝ eq \f(nπr1,180) ，所以 eq \f(l1,r1) ＝n eq \f(π,180) . 故 eq \f(l,r) ＝ eq \f(l1,r1) . eq \a\vs4\al(一　弧度制概念) 1．单位圆：半径为 eq \o(□,\s\up1(1)) ____________的圆． 2．弧度制 (1)弧度 在单位圆中，把长度等于 eq \o(□,\s\up1(2)) ________的弧所对的圆心角称为1弧度的角．其单位用符号rad表示，读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写). (2)弧度制 在单位圆中，每一段弧的 eq \o(□,\s\up1(3)) ________就是它所对圆心角的弧度数．这种以 eq \o(□,\s\up1(4)) ________作为单位来度量角的方法，称作弧度制． eq \a\vs4\al(二　弧度与角度的换算) 1．常见角度与弧度互化公式如下： 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝ eq \o(□,\s\up1(1)) ________ rad π rad＝ eq \o(□,\s\up1(2)) ________ 1°＝ eq \f(2π,360) rad＝ eq \f(π,180) rad ≈0.017 45 rad 1 rad＝ eq \f(360°,2π) ＝ eq \f(180°,π) ≈57°18′ 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 eq \f(π,6) eq \f(π,4) eq \f(π,3) eq \f(π,2) eq \f(2π,3) eq \f(3π,4) eq \f(5π,6) π eq \f(3π,2) 2π 角度1　角度制与弧度制的互化 　(对接教材例1、例2)将下列角度与弧度进行互化： (1)37°30′； 【解】　37°30′＝37.5°＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(75,2))) eq \s\up12(°) ＝ eq \f(75,2) × eq \f(π,180) ＝ eq \f(5π,24) . 【解】　－216°＝－216× eq \f(π,180) ＝－ eq \f(6π,5) . 【解】　－ eq \f(11π,5) ＝－ eq \f(11π,5) × eq \f(180°,π) ＝－396°. (3) eq \f(7π,12) ； 【解】　 eq \f(7π,12) ＝ eq \f(7π,12) × eq \f(180°,π) ＝ eq \f(7,12) ×180°＝105°. (4)－ eq \f(11π,5) . 角度制与弧度制的互化原则及方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ eq \f(π,180) rad和1 rad＝ eq \f(180°,π) 进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α· eq \f(180°,π) ；n°＝ n· eq \f(π,180) rad. [跟踪训练1] (1)200°的弧度数为(　　) A． eq \f(7π,10) B． eq \f(10π,9) C．9π D．10π 解析：由200× eq \f(π,180) ＝ eq \f(10π,9) .故选B. (2)(多选)下列转化结果正确的是(　　) A．67°30′化成弧度是 eq \f(3π,8) B．－ eq \f(10π,3) 化成角度是－600° C．－150°化成弧度是－ eq \f(7π,6) D． eq \f(π,12) 化成角度是15° 对于D， eq \f(π,12) ＝ eq \f(π,12) × eq \f(180°,π) ＝15°，故D正确．故选ABD. 解析：对于A，67°30′化成弧度是 eq \f(π,180) ×67.5＝ eq \f(3π,8) ，故A正确； 对于B，－ eq \f(10π,3) ＝－ eq \f(10π,3) × eq \f(180°,π) ＝－600°，故B正确； 对于C，－150°＝－150× eq \f(π,180) ＝－ eq \f(5π,6) ，故C错误； － eq \f(7π,8) 解析：－157°30′＝－157.5°＝－157.5× eq \f(π,180) ＝－ eq \f(7π,8) . 角度2　用弧度制表示角 　(1)与60°角终边相同的角的集合是(　　) A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝k·360°＋\f(π,4)，k∈Z)) B．{α|α＝2kπ＋60°，k∈Z} C．{α|α＝2k·360°＋60°，k∈Z} D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)) 对于C，D，因为60°换算成弧度制为 eq \f(π,3) ，所以与60°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}或{α|α＝2kπ＋ eq \f(π,3) ，k∈Z}，C错误，D正确．故选D. [2kπ－ eq \f(π,6) ，2kπ＋ eq \f(3π,4) ]，k∈Z 【解析】　由题图，终边OB对应角为2kπ－ eq \f(π,6) ，k∈Z，终边OA对应角为2kπ＋ eq \f(3π,4) ，k∈Z，所以终边落在题图中阴影部分角θ的集合是[2kπ－ eq \f(π,6) ，2kπ＋ eq \f(3π,4) ]，k∈Z. [跟踪训练2] (1)集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(kπ≤α≤kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))) 中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 解析：当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋ eq \f(π,4) (n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤ eq \f(π,4) 的终边相同，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋ eq \f(π,4) (n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋ eq \f(π,4) 的终边相同．故选B. 解：－1 480°＝－1 480× eq \f(π,180) ＝－ eq \f(74π,9) ＝－8π－ eq \f(2π,9) ＝－10π＋ eq \f(16π,9) ＝ eq \f(16π,9) ＋2×(－5)π， 其中 eq \f(3π,2) < eq \f(16π,9) <2π，所以 eq \f(16π,9) 是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角． 解：由题意知，β＝α＋2kπ＝ eq \f(16π,9) ＋2kπ(k∈Z)， 又因为β∈[－4π，0]，所以令k＝－1，得β＝－ eq \f(2π,9) ，令k＝－2，得β＝－ eq \f(20π,9) . 综上所述，β＝－ eq \f(2π,9) 或β＝－ eq \f(20π,9) . eq \f(1,2) lR eq \a\vs4\al(三　扇形的弧长面积公式) 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝ eq \o(□,\s\up1(1)) ________． (2)扇形面积公式：S＝ eq \o(□,\s\up1(2)) ________＝ eq \o(□,\s\up1(3)) ________． eq \f(1,2) αR2 【解】　由题意知α＝120°＝ eq \f(2π,3) ，所以弧长l＝αR＝ eq \f(2π,3) ×10＝ eq \f(20π,3) (cm). 【解】　由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2R＋αR＝10，,\f(1,2)αR2＝4，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R＝1，,α＝8)) (舍去)或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R＝4，,α＝\f(1,2)，)) 故扇形的圆心角为 eq \f(1,2) . 解：由题意知l＋2R＝20， 所以S＝ eq \f(1,2) lR＝ eq \f(1,2) (20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5 cm时，S取得最大值，最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2. 扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的弧长公式：l＝αR，面积公式：S＝ eq \f(1,2) lR＝ eq \f(1,2) αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用扇形弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解． 解析：设扇形圆心角的弧度数为α，半径为r，由题意可知，扇形面积S＝ eq \f(1,2) αr2＝2，弧长l＝αr＝2，解得r＝2，α＝1，即这个扇形圆心角的弧度数为1.故选D. 解：由题意可得扇形的周长C＝2r＋αr＝2×2＋2×2＝8， 面积S＝ eq \f(1,2) αr2＝ eq \f(1,2) ×2×4＝4. 解：由题意可得S＝ eq \f(1,2) αr2，则αr＝ eq \f(2S,r) ，则扇形周长为C＝2r＋αr＝2r＋ eq \f(2S,r) ≥2 eq \r(2r·\f(2S,r)) ＝4 eq \r(S) ，当且仅当2r＝ eq \f(2S,r) ，即r＝ eq \r(S) 时等号成立，此时α＝ eq \f(2S,r2) ＝2.即扇形的周长取最小值4 eq \r(S) 时，α＝2. 1．(多选)(教材P12练习T1，T2改编)下列转化结果正确的是(　　) A．150°化成弧度是 eq \f(5π,6) B．－ eq \f(π,4) 化成角度是45° C．－120°化成弧度是－ eq \f(2π,3) D． eq \f(7π,4) 化成角度是315° eq \f(7π,4) ＝ eq \f(7π,4) × eq \f(180°,π) ＝315°，故D正确．故选ACD. 解析：150°化成弧度是 eq \f(5π,6) ，故A正确； － eq \f(π,4) 化成角度是－45°，故B错误； －120°化成弧度是－ eq \f(2π,3) ，故C正确； 解析：因为分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，将分针拨快是顺时针旋转，所以分针拨快10分钟，则分针所转过的弧度数为－ eq \f(10,60) ×2π＝－ eq \f(π,3) .故选B. 2．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度是(　　) A． eq \f(π,3) B．－ eq \f(π,3) C． eq \f(π,6) D．－ eq \f(π,6) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)))) 解析：因为角 eq \f(3π,4) 的终边所在直线在第二、四象限的平分线上，所以角α的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)))) . 解：设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，因为216°＝216× eq \f(π,180) ＝ eq \f(6π,5) ，所以l＝αr＝ eq \f(6π,5) r＝30π，解得r＝25，所以S＝ eq \f(1,2) lr＝ eq \f(1,2) ×30π×25＝375π. $