精品解析：辽宁朝阳市2025-2026学年高三第一学期期末教学质量检测数学试题

2023级高三第一学期期末教学质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解对数不等式求出集合 ，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 又， 所以. 故选：D 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数的除法计算化简，再结合复数的虚部的定义判断即可. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故选：D. 3. 若圆与圆交于A，B两点，则弦长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出圆心坐标和半径.然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再根据圆心到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后利用勾股定理求出弦长. 【详解】圆，圆心，半径. 圆，圆的圆心，半径. 两圆方程相减可得：，化简得，即，此为公共弦所在直线方程. 求圆心到直线的距离. 根据勾股定理，弦长的一半，已知，，则，所以. 故选：B. 4. 已知向量，向量，若向量，则实数m=（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】计算出，根据向量垂直得到方程，求出答案. 【详解】，又， 故，解得. 故选：C 5. 甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件 表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件 表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件 表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ） A. 事件 与事件 互斥 B. C. 记 的对立事件为，则 D. 事件 与事件 相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法将三人抛掷硬币的结果一一列举，再结合古典概型、独立事件、互斥事件、对立事件及条件概率公式一一判定选项即可. 【详解】由题意可知三人抛掷硬币可能的结果有（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）. 则事件 的可能结果有（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），共6种情况. 事件 的可能结果有（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共4种情况. 事件 的可能结果有（反，反，反），共1种情况. 对于A，事件 与事件 都有（反，反，反）这种情况，故事件 与事件 不互斥，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，故C错误； 对于D，，，所以，故事件 与事件 相互独立，故D正确. 故选：D. 6. 已知拋物线（）的焦点为 ，点 为拋物线上位于第一象限内一点，若且直线的斜率为，则拋物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设拋物线的准线为，作，垂足为 ，由题意可得直线的倾斜角为，根据抛物线的定义可判断为等边三角形，进而得，，从而利用三角函数列式计算. 【详解】设拋物线的准线为，作，垂足为 ，由抛物线的定义得．因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，所以，故为等边三角形，因此，且，所以，得，所以抛物线的方程为. 故选：C． 7. 在三棱锥中，，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若 为的中点，结合题设知 是外接圆的圆心，进而有棱锥的球心 在过 且垂直于平面的直线上，若平面，在平面内过 作，构建合适的空间直角坐标系，令并标注出相关点坐标，应用球体半径相等列方程求参数，进而得到半径，即可求球体面积. 【详解】由题设为直角三角形且斜边，若 为的中点，则 是外接圆的圆心， 所以棱锥，即棱锥的球心 在过 且垂直于平面的直线上， 若平面，则球心 在直线上，在平面内过 作，如图示， 由，则，所以是二面角平面角的补角，为 ， 又，，可得， 构建空间直角坐标系，设，且， 所以外接球半径，则，可得， 所以外接球半径，其表面积为. 故选：B 8. 已知与都是定义在上的连续可导函数，如果与仅当 时的函数值为0，且时，那么下列6种情形： ①和都在上单调递增； ②和都在上单调递减； ③0是的极大值，也是的极大值； ④0是的极小值，也是的极小值； ⑤0是的极小值，但不是的极值； ⑥0是的极大值，但不是的极值. 上述情形中不可能出现的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】举例特殊函数判断①、②、③、④、⑥均可以，根据极小值的定义和条件证明⑤不可以. 【详解】①，令，，易知与都是定义在上的连续可导函数，如果与仅当 时的函数值为0，且都单调递增，，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 所以时，，满足，故①可能； ②，令，，由①可知，也成立，故②可能； ③，令，，显然合题意，故③可能； ④，令，，显然合题意，故④可能； ⑤，0是的极小值，在0附近存在一个区间D，当，且时，，又时，所以当，且时，，所以0也是的极小值，故⑤不可能； ⑥，令，，结合图像判断，显然符合题意，故⑥可能， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2 C. 平均数为2，方差为2.4 D. 中位数为3，极差为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】举例即可判断ABD的正误；根据出现点数6时方差可判断C. 【详解】对于A，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点6，所以A正确； 对于B，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B正确； 对于C，若平均数为2，且出现点数6，则方差，所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，所以C错误； 对于D，当郑骰子出现的结果为3，3，3，3，6时，满足中位数为3，极差为3，故D正确， 故选：ABD 10. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数有两个极值点，则 B. 当时，函数在上有最小值 C. 当时，函数有一个零点 D. 当时，函数在上单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】利用函数极值点与导数的关系可判断A选项；当时，利用导数分析函数在上的单调性，利用函数的最值与导数的关系可判断B选项；当时，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断C选项；利用函数的单调性与导数的关系可判断D选项. 【详解】对于A，函数有两个极值点，即方程有两个不等的实根， 此时，，则，故A错误； 对于B，当时，设的两个不等的实根分别为、，且， 由韦达定理可得，必有， 当时， ，此时函数在上单调递减， 当时， ，此时函数在上单调递增， 故函数在上有最小值，故B正确； 对于C，当时，，， 令，可得或， 当时， ，此时函数在区间上单调递增， 当时， ，此时函数在区间上单调递减， 当时， ，此时函数在区间上单调递增. 所以，函数的极大值为，极小值为，作出函数的图象如图所示， 由图可知，函数有两个零点，故C错误； 对于D，当且 时，，故函数在上单调递增，故D正确， 故选：BD. 11. 已知双曲线的左，右焦点分别是，下列说法正确的有（ ） A. 若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 B. 若双曲线的通径长为2，则 C. 若 是双曲线与以为直径的圆的交点，则的面积为2 D. 若点在双曲线上，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】在双曲线中，. 若离心率，则，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，A正确． 将代入，得， 又，所以，解得． 由题意得，解得，B正确．由题意，得． 不妨设点 在第一象限，，则， 所以，解得，所以的面积，C正确． 因为点在双曲线上，所以，解得． 因为点在第一象限，所以，D错误． 故选：ABC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则等于______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两角和差的正切公式求得，再由二倍角公式实现弦化切的目标，得到. 【详解】由题意得， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，若对于任意的，则实数 的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，当时，得到是上的减函数，满足题意；当时，转化为对于恒成立，设，结合二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解. 【详解】当时，解得，可得在上单调递减，在上单调递减， 如图（1）所示，此时函数是上的减函数， 则对任意成立，符合题意； 当时，如图（2）所示， 若，即对于恒成立， 即对于恒成立， 设，可得其图象开口向上，且对称轴为， 当时，则满足，解得，不符合题意，舍去 当时，则满足， 即，解得，解得，所以， 综上：，即实数 的取值范围为. 故答案为：. 14. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机抽取2次，每次取1个球，记m为第一次取出的球上的数字，n为取出的两个球上数字的平均值，则m与n差的绝对值不超过1的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题可知总样本空间有36种，再在其中找出符合题意的情况，计算概率即可. 【详解】由题知从中不放回的随机抽取2次，共有种， 其中符合题意得有：， 共18种， 则概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】（1）； （2）分布列： 0 1 2 3 期望为，方差为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差. 【小问1详解】 设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. 【小问2详解】 依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 16. 已知数列满足：，. （1）求证：数列为等差数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将变形为，进而利用等差数列定义证明即可； （2）先利用等差数列通项公式求解，则，然后利用裂项相消法求和即可； （3）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由题意，由得， 所以，又， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列； 【小问2详解】 由（1）可得，即， 所以． 所以 ； 【小问3详解】 由知， 所以， 所以， 两式相减得： ， 所以． 17. 如图，四棱锥的底面 是菱形，平面 ，为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）在棱上是否存在一点 ，使得二面角正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：如图，连接AC，交BD于点O，则O为AC的中点．连接OE， 因为 是的中点，所以 ， 又平面，平面， 所以平面， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）连接AC，交BD于点O，可得，由线面平行的判定定理可证结论； （2）利用，且三棱锥与三棱锥同底面积，三棱锥的高是三棱锥的高的二倍 （3）以O为坐标原点，分别以OA，OB所在直线为x，y轴，以过点O且平行于PD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz．求出平面与平面的法向量，由向量夹角的余弦值求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，且三棱锥与三棱锥底面积相同， 三棱锥的高是三棱锥的高的二倍， 【小问3详解】 存在点F，使得二面角的正弦值为． 因为底面 是菱形，底面 ， 与平面 ， 所以，，， 故以O为坐标原点，分别以OA，OB所在直线为x，y轴，以过点O且平行于PD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． 则，，，，，， 故，，， 设，， 则，． 设平面的法向量为， 则，， 则，令，则，故， 设平面BDF的法向量为， 则，即， 则，令得，故， 因为二面角的正弦值为， 所以二面角的余弦值的绝对值为， 令， 化简得，解得或． 因为，所以或． 18. 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且的周长为. （1）求的方程； （2）求面积的取值范围； （3）若轴于点M，轴于点N，直线AN与BM交于点C，求证：点C在一条定直线上，并求此定直线． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，求出 ，再由离心率为求出 ，由可求出，从而可求出椭圆方程； （2）由题意可设直线方程为，联立椭圆方程，利用根与系数的关系，然后结合条件可表示出面积，换元化简后利用基本不等式即可求得所求； （3）根据题意表示出直线和的方程，联立可求出点 的横坐标，结合（2）中结论即可得解. 【小问1详解】 由椭圆定义可知的周长为，即， 因为离心率，所以， 又因为，所以， 故的方程为. 【小问2详解】 依题意，得，设直线AB方程为， 联立，消去 ，得， 易知， 设，，则，， 因为， 令，则， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以，又，所以， 故面积的取值范围. 【小问3详解】 因为轴，轴，所以，， 所以直线AN：，直线BM：， 联立解得， 又因为，，所以， 故，从而点C在定直线上. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹. 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围． （3）为正整数，当时，曲线在点处的切线记为，直线与 轴交点的纵坐标记为，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导函数，按照和分类讨论研究其单调性即可. （2）（法一）设，令，则，根据导数研究其单调性，进而求解最值，即可得解. （法二）设，多次求导研究其单调性，进而求出最值，即可得解. （3）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程及，利用导数法证得，从而结合等差数列求和公式证明不等式即可. 【小问1详解】 函数，则，定义域为， 当时，，在上单调递减； 当时，时，，时，， 在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 （法一）设， 则，令，则，即当时，， 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， ， ， 所以，即. （法二）根据题意可知恒成立， 设， 则， 令， 则在定义域上单调递增，易知， 即，使得， 即时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 则， 所以，即 【小问3详解】 由题设，则， 则，， 此时在处的切线方程为， 令 得与 轴交点纵坐标为； ， 对于且，则，即在上单调递增， ，即， ，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高三第一学期期末教学质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 若圆与圆交于A，B两点，则弦长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知向量，向量，若向量，则实数m=（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 5. 甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件 表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件 表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件 表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ） A. 事件 与事件 互斥 B. C. 记 的对立事件为，则 D. 事件 与事件 相互独立 6. 已知拋物线（）的焦点为，点 为拋物线上位于第一象限内一点，若且直线的斜率为，则拋物线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知与都是定义在上的连续可导函数，如果与仅当时的函数值为0，且时，那么下列6种情形： ①和都在上单调递增； ②和都在上单调递减； ③0是的极大值，也是的极大值； ④0是的极小值，也是的极小值； ⑤0是的极小值，但不是的极值； ⑥0是的极大值，但不是的极值. 上述情形中不可能出现的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2 C. 平均数为2，方差为2.4 D. 中位数为3，极差为3 10. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数有两个极值点，则 B. 当时，函数在上有最小值 C. 当时，函数有一个零点 D. 当时，函数在上单调递增 11. 已知双曲线的左，右焦点分别是，下列说法正确的有（ ） A. 若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 B. 若双曲线的通径长为2，则 C. 若 是双曲线与以为直径的圆的交点，则的面积为2 D. 若点在双曲线上，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则等于______. 13. 已知函数，若对于任意的，则实数的取值范围是_____. 14. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机抽取2次，每次取1个球，记m为第一次取出的球上的数字，n为取出的两个球上数字的平均值，则m与n差的绝对值不超过1的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 16. 已知数列满足：，. （1）求证：数列为等差数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）设，求数列的前n项和. 17. 如图，四棱锥的底面是菱形，平面，为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）在棱上是否存在一点，使得二面角正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 18. 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且的周长为. （1）求的方程； （2）求面积的取值范围； （3）若轴于点M，轴于点N，直线AN与BM交于点C，求证：点C在一条定直线上，并求此定直线． 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围． （3）为正整数，当时，曲线在点处的切线记为，直线与 轴交点的纵坐标记为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $