辽宁点石联考2025-2026学年高三上学期期末质量监测数学试卷

绝密★启用前 高三期末质量监测 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 ☆注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的)》 1.在菱形ABCD巾，A店.Ai-A序，则∠BAD A.60° B.30° C.150° D.120° 2.在复平面内，1一20262 对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知集合A,B为实数集的子集，且A={xx∈R,且x￠B},则AUB= A.0 B.Z C.Q D.R 4.已知命题q:3x∈R,a.x2-2a,x+2<0为假命题，则a的取值范围为 A.[0,1) B.(0,2] C.[0,2] D.[0,1] 5.已知函数f(x)=4+2ar是偶函数，则a= A.-2 B.-1 C.1 D.2 6.已知圆柱，圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆柱 的体积，若三者的体积之和为144π，则圆锥的侧面积为 A.4√35π B.4√37π C.9√/35π D.9√37π 7.若函数f)=sin(a十g）(w>0)满足fa)+f)=0,设甲：f(x)的图象关于点（生，0）中 心对称；乙：cos(aw十o)cos(bw十o)≥0，则 A.甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 高三数学第1页（共4页） 8.设函数f(x)=3十x,g(x)=x十log3x,设a=f(2026),b=g(32025),则 A.8∈1,2) B.号∈(2,3) C.8∈3,4) D.4∈(4,5) 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.从1,2,3,4,5中有放回随机抽取一个数字（可以重复），连续抽取6次，得到一组数据1,5,1,4， 5,2,则 A.这组数据的平均数为3 B.这组数据的极差为1 C.这组数据的方差为3 D.继续随机抽取2个数字，则它们均为3的概率为2 10.已知椭圆E:香十y=1的左、右焦点分别为F,F:,P为E上且不在x轴上的动点，则 AE的高心率为号 B.△PFF2的面积的最大值为√3 C.PF十P的最小值为2 D.坐标原点到E的左顶点和上顶点所构成直线的距离为 5 11.已知△ABC的面积为8√5，cosB=6cosA,点D,E满足CB=3CD,AC=3AE,BC⊥DE,点 P满足PB=3PC,则 A.△ABC是等腰三角形 B.PC≤4 C.当A,B,C,P四点共圆时，△PBC的面积不大于4√5 D.当PB⊥PC时，2√3<AP<2√J15 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）】 12.已知双前线T:2一云=1>0)的渐近线方程为=士5，则T的焦距为 13.若20sin0=20+cos0,则cos0= 14.记函数fu)=2x十c0sx(>0)的所有极值点从小到大排列成数列a,设S.是{a,}的前n 项和，则sinS2o25=」 高三数学第2页（共4页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 某兴趣小组对校内学生对中国象棋的兴趣程度进行问卷调查，调查结果如下： 非常感兴趣 比较感兴趣 不感兴趣 男生 100 60 40 女生 50 50 100 用频率估计概率 (1)随机抽取一名男生，求他对中国象棋比较感兴趣的概率； (2)将非常感兴趣与比较感兴趣统称为感兴趣.根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析 学生对中国象棋的兴趣程度是否与学生性别有关， n(ad-bc)2 附：X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+dD' a 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16.(本小题满分15分) 如图，在三棱台ABC-A1B,C,中，AB=BC=2AA1=2A1B1,AA1⊥平面ABC,AB⊥BC (1)证明：平面AB1C⊥平面BCC1B1; (2)点M满足CC1=3CM,求平面A1BM与平面BCC1B1夹角的余弦值. 高三数学第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 平面直角坐标系xOy中，动点P,Q为抛物线C:y=2px(p>0)上不同象限内的两点，且直 线PQ的斜率为1，已知当直线PQ过C的焦点时，PQ=8. (1)求C的方程； (2)求∠POQ的取值范围. 18.(本小题满分17分) 记Sm为正项数列{am}的前n项和，已知2a4=a1a2a3,Sn+1=2Sn. (1)求{am}的通项公式； (2)等差数列{bn}满足b2十b4=4,bb=b2b3b,b15>0. (i)求{bn}的通项公式； (i)求{a,bm}的前n项和Tm. 19.(本小题满分17分) (1)当0≤x≤π时，若m(π一x)≤1，求m的取值范围； (2)设集合S={sin≤nx(r一)，证明：[0，受]二S是[5，元]二S的充要条件； (3)若不等式ax(π一x)≤sinx≤bx(π一x)对于任意0≤x≤π恒成立，求实数a的最大值与 实数b的最小值 高三数学第4页（共4页）参考答案 高三期末质量监测·数学 说明： 、 本解答给出的解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分；如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、单选题 1 2 3 5 6 7 8 A D C A D B 二、多选题 9 10 11 ACD ABD ABD 三、填空题 12.2v26 13.- 铝或0（少写一个不给分）14.号 40 四、解答题 15.解：(1)注意到n(男生)=100+60+40=200， (1分) n(比较感兴趣的男生)=60， (2分) 故p=n(比较感兴趣的男生)=60.3 n(男生) 20010 (4分) (2)可得如下2×2列联表： 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 160 40 200 女生 100 100 200 合计 260 140 400 (7分) 零假设H。为：学生对中国象棋的兴趣程度与学生性别无关， (8分) 第1页共8页 X-40X90X16000X40)2_3s0039.560>6.635. 200×200×260×140 91 (11分) H。不成立， (12分) 于是根据小概率值α=0.01的独立性检验，学生对中国象棋的兴趣程度与学生性别有关 (13分) 【评分细则】本题第二问只要考生X的计算结果正确，没有零假设的过程也给满分. 16.解：(1)由AA1⊥平面ABC,BCC平面ABC知BC⊥AA1, (1分) 由AB⊥BC,AB∩AA1=A,ABC平面ABB1A1,AA1C平面ABBA1得BC⊥平面ABB1A1, (2分) 由AB1C平面ABB1A1知AB1⊥BC, (3分) 由几何关系知AB+BB=4A1B=AB,于是AB1⊥BB1, (4分) 由BB1∩BC=B,BB1C平面BCC1B1,BCC平面BCC1B1可得AB1⊥平面BCC1B1, (5分) 由AB1C平面AB1C1得平面AB1C1⊥平面BCCB1. (6分) (2)以A为坐标原点，BC的方向为x轴正方向，AB的方向为y轴正方向，AA1的方向为之轴正方向，建立 空间直角坐标系Axy之， (7分) 不妨设AB=12,则A(0,0,0),A1(0,0,6),B1(0,6,6),M(10,10,2),于是A1B1=(0,6,0),A1M=(10, 10,-4), (9分) 显然平面BCC1B1的一个法向量AB,=(0,6,6), (11分) n·AB1=0(y=0 设平面A1BM的一个法向量为n=（x,y,z), ,即 ,可取n=（2,0,5), n·A1M=0(5.x+5y-2x=0 (13分) 记平面AB,M与平面BCC,B:的夹角为0，cos0=n·AB 30 =5=558 1m1ABi1V4+25×625s=8°.（15分) 17.解：(1)由题设P(.M),Q(x2,y),直线PQ的方程为y=x一m.当直线PQ过C的焦点时，有m= 2 (2分) (y=2px x1十x2=2p+2m 联立 ,有x2-(2m十2p)x十m2=0.故{ (4分) y=x-m (xix2=m 由于|PQ|=8,故|PQ|=√(x1-x2)十(y一y2)z=8,代人解得p=2(负值舍去).故C的方程为y2= 4x. (6分) 第2页共8页 (2)由题，OP=(,y),OQ=(x2,y),由于动点P,Q为抛物线C:y=4x上不同象限内的两点，故要求 yy2=-4m<0,m0.OP.OQ=x2+y1y2 =m2-4m. (8分) 则|oP|·|OQ|=√+听·√+=m√m+8m+32 则cos∠POQ= OP.0友 m-4 (10分) OP1·1OQ1√m+8m+32 令m-4=t,则m=t+4>0,故t>-4,代人得cos∠POQ= .当t=0时，cos∠POQ=0; √2+16t+8 (11分) 当-4长<0时，2<子放此时eas∠POQ= 1 (13分) √2（+}+ 当>0时，>0，故此时c0s∠P0Q 1 =∈(0,1). (14分) 2(+后广+ 综上所述，cPOQ∈(-号，1)，又∠POQ∈0，x,故∠P0Q∈(0，要). (15分) 18.解：(1)由Sn+1=2Sm,S1=a1>0可知{Sm}是公比为2的等比数列，故Sn=21a1, (2分) 4,n=1 当n≥2时，Sn-1=2-2a1,an=Sn-Sn-1=2m-2a1,故an= (4分) (2m-2a1,n≥2 于是2a4=8a1,a1a2a3=2a,故a=4a1,由an>0可得a1=2, (5分) 2,n=1 故an= (6分) 2-1,n≥2 (2)(1)记{bn}公差为d,由b2十b:=4=2b3可知b3=2, (7分) 故bb5=2b2b,=2(b-2d)(b5+2d)=2bb-4d(b-b)-8d2=2bb-12d2,即bb5=12d2,(9分) 而66，=(a,+d0+2d)=(2+d)2+2d)=4+6d+2d=12d,即(51+2)d-1D=0,d=-号或d 1. (11分) 当d=一号时，6=6，十(n-3)1=-号十9，此时6g=一号<0，不合题意，合去， (12分) 当d=1时，bn=b,十(n-3)d=n-1,此时b1s=14>0,符合题意，故{bn}的通项公式为bn=n-1. (13分) (i)Tn=0×2+1×2+…+(n-1)×2m=1=0×1+1×2+…+(n-1)×2-1, 2Tn=0×2+1×22+…+(n-2)×2m-1+(n-1)×2", (15分) 两式相减，得到T。=(m-1)X2-(2+…+21)=(m-1)·2-21-2g2=(m-1D·20-2+2= 1-2 (n-2)·2"+2. (17分) 第3页共8页 19.解：(1)由题意，不等式m(π一x)≤1对任意x∈[0，π]恒成立，当x∈[0，π]时，π一x∈[0，π].当x=0 时，不等式化为m<1,解得m≤，当m<0时，由于x∈[0，x],则一≥0，放m(红一x)<0<1,不等 式相成立，当0<m<时，对于任意x∈[0，]，有mx一)<（-)=1-票，因为≥0，所以1一员 ≤1.即m1恒皮立，棕上m的取值范同是(-， (3分) (2)令f(x)=sinx,g(x)=nx(元-x).由于f(元-x)=sin(π-x)=sinx=f(x),g(元-x)=n(x-x) [x一(x一x)]=n(元一x)x=g(x).所以不等式sin≤nx(元一x)中的函数关于x=受对称.即x∈S当且 仅当π-x∈S. (6分) 先证明充分性：若[0，受]=S,任取x[受x],则x一x∈[0，受]由[0，受]=s可知x-xS,即满足 不等式条件，根据对称性，x也满足不等式条件，即∈S.所以[受x]二S.再证明必要性：若[受，]二S。 任取z∈[0，受]，则xx∈[受x]由[受元]=S可知元-x∈S.根据对称性x∈s.所以[0，受]=s. (9分) 综上，[0，号]=S是[受x]=S的充要条件. (10分) (3)由(2)中的对称性分析可知，对于不等式a.x(π一x)≤sinx≤bx(π一x),其左侧与右侧同时满足对称 性，故贝需在x[0,号]上考虑不等式恒成立即可 (11分) 由(1，猎测即为实数a的最大值，故下面证明：当a=时，是(x一)≤nx在[0，号]上恒成立，设 函数A)=mx-(x-),其中x∈[0，受]，(=c0sx-（x-2x)=os2-1+2g=1. 元 )=一snx十是.令tx)=0,得sm一是因为0<是<1，所以对于函数y=mx一名由零点存在 定理可知在(0，乏）上存在唯一实根.当x∈(0，xo)时，t()>0,h'()单调递增；当x∈(x)时， t(x)<0,'(x)单调递减.又'(0)=0，（乏）=0.由于'(x)先递增后递减，且两端点值为0，故在0， 受]上()≥0恒成立.所以A(x)在[0，受]上单调递增，放(x)≥k(O)=0,即sin≥r(x-)成立. 元 所以“的最大值为云 (14分) 当x=受时1：登·受解得位4下面证明：当一是时m<专（红一）在[0，受]上恒成立. 设两数g)=是x-)-m,其中[0，受]gx)-（x-2）cos=sx))=-是 第4页共8页 sin么令()=0，得n一是因为<10，所以>0,8，故由零点存在定理：对于函数y一snx一是 在[0，受]上存在唯一实根.当x∈(0，z)时(x)<0,9(x)单调递诚：当x∈(，受)时，(x)>0, (x)单调递增.(0)-年-1>0,9（受）=0.由于p()先递减后递增，且（受）=0，故存在∈ [0,受]使得p()<9(受)=0.结合(0)>0，由零点存在定理可知p(x)在(0，受)上存在唯一零点 1.在(0，x)上9(x)>0,9(x)单调递增：在(x,受）上9(x)<0,9(x)单调递减.又g(0)=0,9(）= 0.所以(x)≥0在[0，受]上恒成立，即号x(r一x)≥sinx所以b的最小值为生.综上所述，实数a的最 大值为只实数6的最小值为，手· (17分) 注：若(2)直接给出n的范围，参照(3)的评分标准给分. 第5页共8页 答案详解 一、单选题 1.A【解析】由A方·AD=号A店=|AB1AD1cOS∠BAD=ABcos∠BAD,0°<∠BAD<180°知∠BAD =60°.故选A. 2.C【解折】易得一2026晒-2026-1=一2026-i,由复数的几何意义可知其对应的点位于第三象 限.故选C 3.D 【解析】由条件可知A={x∈RxB}=CRB,可得AUB=R.故选D. 4.C【解析】由题意可转换为Vx∈R,ax2-2ax十2≥0，当a=0时，2>0，符合题意；当a≠0时，由恒成立 a>0 知 ,得a∈(0,2]，综上：a的取值范围是[0,2].故选C. (-2a)2-8a≤0 5A【解析】由偶函数性质可知)=(-》.即4+20=4十2“，设=2，则F=},显然 由t∈(0，十o∞)时该等式恒成立得a=一2.故选A. 6.D【解析】不妨设三者半径均为r,显然圆柱的高为2r,故其体积为2πr3,故圆锥的体积为2xr3,而球的体 积为专，放14=4+专-9，解得=3，记圆维的高为，由2x-日6得么=6r,故母线 长l=√2+h=√37r,于是圆锥的侧面积S=πrl=√37πr2=9√37π.故选D. 7.C【解析】记A=aaw十p,B=bw十p,因为f(a)+f(b)=0,则sinB=-sinA.充分性：f(x)的图象关于点 (生o)中心对称，则4生B=k长Z,即B=2kx-A,k∈五.则cosB=0s(2kx-)=msA:故 2 cos Acos B=cos2A≥0，充分性成立；必要性：由sinB=-sinA,cos Acos B>≥0，可知cosB≠-cosA,因 此仅能有c0sB=0sA,故B=2欢一A,k∈乙，即4生B=kx,k∈乙，放f()的图象关于点（士，0）中心 2 对称，必要性成立.故选C. 8,B【解析】注意到g3)=3+三1，放公120263+20263+2025X3,日 f(2025) 32025+2025 3225+2025 320+2026_2·32g5+30+20262·35+2X2025=2.故选B. 32025+2025 32025+2025 32025+2025 二、多选题 g.ACD【解析】对于A选项，平均数x=日(1十5十1十4十5十2)=3，故A正确：对于B选项，显然这组数 据的极差为5-1=4，故B错误：对于C选项，这组数据的方差=[1-3)+(5-3)产十(1-3)+ (4-3)+(6一3)+(2-3)P]=名(4十4十4+1十4十1)=3，故C正确：对于D选项，连续抽两个数共有 5=25种可能，这两个数均为3仅一种可能，故p=云，故D正确.故选ACD. 第6页共8页 10.ABD【解析】由题易知a=2,b=1,c=3,所以F1（-√5,0)，F2(√5,0.设P(x,y)(-2<x<2).对于 A,E的离心率：=号-复放A正确：对于B,由题可知，当点P位于E的上，下顶点处时，△PFK的面 积最大，且最大值为号×25×1=，故B正确：对于C,因为PF|+|PF,=4,所以P十PF= 1 1 )mPse)≥2哥)-1.当 且仅当PF1=|PF2=2时，等号成立，故C错误；对于D,由题可知E的左顶点为（一2,0），上顶点为 (0,1),这两点所在直线的方程为x一2y+2=0,原点到直线x一2y+2=0的距离，即 2 √/12+(-2)2 25,故D正确.故选ABD. 5 11.ABD【解析】对于A选项，显然A,B为锐角，由BC⊥DE和三等分点关系有C为锐角，由CD= CEcos C得BC=2 ACcos C,由正弦定理得sinA=2 sin Bcos C=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B,于 是sin Bcos C-sin Ccos B=sin(B-C)=0,由B,C为锐角知B=C,故A正确；对于B选项，cosA= eos(B)=-cos2B=1-2cos BesB.12cBcos B6=0,(3cos B-2)(4cosB+)0, 由B为锐角知c0sB=号取BC中点H,设BH=2,可得AB=AC=3,BC=4,AH=,由面积知 8厅=？×4X,解得1=2，BC=8,而BC+PC≥PB=3PC,得PC<4,故B正确：对于C选项，设 BP=3s,则CP=,当A,P在BC同侧时，显然cos∠BPC=cosA=名cosB=号，由余弦定理知BC- 64=PB+PC-2 PBX PCXce0s∠BPC=9F+-6X日-，而sn∠BPC=V-cos BPC g,故△PBC的面积S=×PBXPCXsin∠BPC-×3×-2x31-32>45,放C 93 28 7 错误：对于D选项，此时由勾股定理得十9-64，得=4厂，记P到BC的距离为d,由相似得B品 5 瓷即d=号-号，作PGLC,垂足为G,由勾胶定理得CG=V一-专，可得GH=4专只，于 是AP=GH+(4H±d)-(9)'+(2后±)-20士8,5+16=36士485∈12,60，故D正确 5 5 故选ABD. ) 三、填空题 12.2 【解析】易得T的渐近线为y=士石，于是云=5，解得6=号，故T的焦距为2√1十无 第7页共8页 2②.故答案为22四 5 5 二粉或0（少写一个不给分）【解析】两边平方，得cos0+40cos9十400=400sin㎡0=400-400c0 得401oe0+40os0=0,得cos日=0或-铝放答案为-8或0. 14.号【解折】令了(a)=日-sim2=0(>0.解得2=晋+2x或晋+2x,k∈N.因此a1=晋a:=, 61 a=13r,a4=17x,…故Ss=41十a2十…十a2g5=(a1十a2)+(as十a4）+(a5十a6)+…十 6 6 (a:十aa)+a:=x+(x+4x)+(x+2·4)+…十(x+1011·4)+吾+2x1012=晋十 红+40452》.1012+2024x=吾+506·2025·2x,故sin5,%=sim(答+5062025·2x)=sim看 2 2故答案为2 第8页共8页