精品解析：黑龙江省智研联盟2025-2026学年高三上学期1月第一次联合考试数学试题

黑龙江省智研联盟 2025-2026学年度上学期1月份第一次联合考试 高三年级数学学科试卷 本试卷共150分，共4页.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2. 选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔记清楚. 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效. 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数（为虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的运算法则将复数化简为，然后根据模长计算公式计算即可得解. 【详解】， . 故选：A. 2. 设a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣1）﹣ax2，给出以下结论：（1）f（x）存在唯一零点与a的取值无关；（2）若a=e﹣2，则f（x）存在唯一零点；（3）若a＜e﹣2，则f（x）存在两个零点.其中正确的个数是 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】 令,则,转化的零点个数为与的交点个数,利用导函数判断的单调性,进而求解即可. 【详解】由题,令f（x）=0,即,令（x＞0）, 则,当x∈（0,e2）时,,当x∈（e2,+∞）时,, ∴g（x）在（0,e2）单调递增,在（e2,+∞）单调递减, ∴, 当时,；当时,, ∴当 时, 有一个零点；当时,没有零点；当时,有两个零点；当时,有一个零点. 所以只有（2）正确, 故选:C 【点睛】本题考查利用导函数判断函数的零点个数,考查分类讨论思想和转化思想. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积公式求解即可. 【详解】因为在中，，，， 所以． 故选：A． 4. 已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和方差的二级结论计算. 【详解】因为数据，，，的平均数是，方差为， 则新数据，，，的平均数为：，方差为， 因为数据，，，，的平均数是，方差是， 则，，，，，的平均数是， 方差为， 故选：A． 5. 已知抛物线，、分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出点的坐标，点在第二象限，则轴，分析出为等腰直角三角形，求出点的坐标，代入双曲线的渐近线方程，求出的值，即可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】抛物线的准线方程为，易知点， 不妨设点在第二象限，则轴，且，故为等腰直角三角形， 所以，故点， 所以点在直线上，可得，解得， 因此双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 6. 已知偶函数的定义域为且，，则函数的零点个数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令得， 作出和在上的函数图象如图所示， 由图像可知和在上有个交点， ∴在上有个零点， ∵，均是偶函数， ∴在定义域上共有个零点， 故选． 点睛： 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 7. 已知正四棱锥的所有棱长都相等，是的中点，则，所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义可得分别取SC，DC，AD边的中点F，G，H易得EF∥HA，EF=HA，故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥DF，又根据中点的性质可得FG∥SD从而将异面直线转化为了相交直线，即∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角，然后再利用余弦定理，求∠HFG的余弦值即可． 【详解】由于正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等，故不妨设棱长为a． 取SC的中点F，连接EF，则EF∥BC，EF=BC， 取AD的中点H连接HF则可得EF∥HA，EF=HA， 故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥HF． 再取DC中点G，连接HG，则FG∥SD， 所以∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角． ∵HF=AE=a，FG=a，HG==A， ∴cos∠HFG=＞0． 即AE、SD所成的角的正弦值为． 故选C． 【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角．解题的关键是要紧紧抓住利用平行的传递性（通常利用平行四边形的性质或中位线定理）将异面直线转化为相交直线然后在三角形中利用余弦定理求解（要注意的是利用于余弦值的正负判断是这个角还是这个角的补角）． 8. 对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在是单调的；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”.若函数存在“倍值区间”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数在其定义域内是单调递增的，结合定义可知，，可得故，是方程的两个实数根，由此构造函数，求导分析出满足条件的的取值范围． 【详解】因为函数在单调递增， 若函数存在“倍值区间”， 则，且， 故，是方程的两个不等的实数根， 即在上有两个不等的实根， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 故当时，取最小值， 又因为当时，，且， 所以若在上有两个不等的实根，则， 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为π B. 的单调递增区间为， C. 的图象向左平移个单位后的函数是偶函数 D. 在上有3个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数的解析式，再利用正弦函数的相关性质逐一分析选项. 【详解】由图象可知， 因为，根据正弦函数的周期公式，由可得， 又，解得，所以； 把代入得，即， 因为，所以，解得，则； 由前面计算已经得出，所以的最小正周期为，选项A正确； 令， ​先解不等式，移项可得，即，解得， 再解不等式，移项可得，即，解得， 所以的单调递增区间为，选项B正确； 的图象向左平移个单位，根据“左加右减”原则，得到 ， 对于函数，，所以是偶函数，选项C正确； 令，则，解得， 当时，时，；时，， 所以在上有个零点，选项D错误. 故选：ABC. 10. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（    ） A. 以线段为直径的圆与轴相切 B. C. D. 当时，的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，，根据抛物线的定义验证线段中点到轴的距离与线段的长度关系即可判断A；设直线的方程为，，由直线与抛物线联立可得交点坐标关系，根据坐标计算可得，从而可判断B；由坐标运算计算弦长，焦半径与，从而判断C；根据平面向量坐标关系由可得，结合韦达定理结果可得的值，根据面积公式计算的面积即可判断D. 【详解】设，，如图：    对于A：由抛物线定义知：，则线段中点的横坐标， 即线段的中点到轴的距离是，所以以线段为直径的圆与轴相切，故A正确； 对于B：由题意知，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 所以，， 由，得， 所以，， 因为，，所以，所以，故B正确； 对于C： 所以，故C错误； 对于D：当，可得即，又，所以， 则，所以，可得三点共线， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列结论中错误的有（ ） A. 一定有极大值 B. 当时，有极小值 C. 当时，可能无零点 D. 若在区间上单调递增，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得，当，得到在定义域上单调递增，无极值，可判定A错误；若时，得到函数的单调区间，结合极值的概念，可判定B错误；由时， 在定义域上单调递增，结合时，，当时，，可判定C错误；结合函数的单调性，列出不等式，可判定D正确. 【详解】由函数，可得， 若，则恒成立，即在定义域上单调递增，无极值，故A错误； 若，令，解得；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值，所以B错误； 若，由上知在定义域上单调递增，当时，，当时，，故使得，故C错误； 若在区间上单调递增，由时，恒成立，满足题意； 当时，则满足，即，综上可得，故D正确. 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列{an}的公差为2，若a4是a2，a8的等比中项，则数列{an}的前5项和S5＝________． 【答案】30 【解析】 【分析】由题意，根据a4是a2，a8的等比中项，可得，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出. 【详解】解：依题意，，即 解得a4＝8，故a1＝2，a5＝10，. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式． 13. 若，则等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角公式计算可得； 【详解】解：因为 所以 故答案为： 14. 7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙两人必须相邻，则有_______种不同的排法（用数字作答）；若要求甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，则有_________种不同的排法.（用数字作答） 【答案】 ①. 1440 ②. 960； 【解析】 【分析】 利用捆绑法全排可求甲、乙两人必须相邻的排法；利用捆绑法全排，再利用插空法即可求解. 【详解】甲、乙两人必须相邻，甲、乙相邻全排有(种) 然后把甲、乙看成一个整体全排，共有（种）； 甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，把甲、乙看成一个整体全排， 然后把甲、乙看成一个整体，插在与丙均不相邻的空中， 共有（种）. 故答案为：1440；960 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量 ，，且的最小正周期为 （1）求的值； （2）若，解方程； （3）在中，为原点，，，且为锐角，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件并结合三角恒等变换求出的表达式，再根据的最小正周期为即可求出． （2）根据求出的范围，结合已知条件即可确定的值． （3）求出向量，及，根据是锐角，得到且向量，不共线，进而得到关于的不等式，求出的取值范围． 【小问1详解】 ， 因为的最小正周期为，，所以，解得． 【小问2详解】 由得，，即， 所以，或，， 所以，或，， 又，所以. 【小问3详解】 因为，，所以， 因为为锐角，所以，解得. 若向量，共线，则，即，解得. 所以向量，不共线时，. 综上，m的取值范围为. 16. 设函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的极小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，求得切点处切线的斜率，再利用点斜式求方程； （2）求出导函数，根据的正负性判断函数的单调性即可. 【小问1详解】 当时，， 得，且，． 所以，曲线在点处的切线方程是， 整理得 【小问2详解】 若，则，则． 令，解得或       当变化时，的正负如下表： 因此，函数在处取得极小值，且． 17. 如图，在圆台中，四边形为轴截面，上、下底面半径分别为1，3，高为4，位于圆上，，为上的点，连接． （1）若成等比数列． ①求证：平面； ②求平面与平面夹角的余弦值； （2）若为的中点，求三棱锥的外接球半径． 【答案】（1） ①在圆台中，， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以，即， 在中，因为成等比数列， 所以，即， 所以与相似，所以， 因为，平面，所以平面 ② （2） 【解析】 【分析】（1）①由线面垂直的判定定理证明即可；②建立空间直角坐标系，根据面面角向量法计算即可求解； （2）由，得的外心为的中点，设三棱锥外接球的球心为，由建立等式计算即可求解. 【小问1详解】 ①略 ②分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由已知得， 所以，即平面的法向量为， 又，所以， 设平面的法向量为， 所以，设，则， 所以平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 【小问2详解】 因为，所以的外心为的中点， 所以可设三棱锥外接球的球心为， 由已知得， 因为，所以，解得， 所以三棱锥的外接球半径为． 18. 某大型企业生产的产品细分为10个等级，为了解这批产品的等级分布情况，从流水线上随机抽取了1000件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分：检测到1级到3级的评为优秀，检测到4级到6级的评为良好，检测到7级到9级的评为合格，检测到10级的评为不合格.以下把频率视为概率，现有如下检测统计表： 等级 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 10 90 100 150 150 200 100 100 50 50 （1）从这1000件产品中随机抽取1件，请估计这件产品评分为良好或优秀的概率； （2）从该企业的流水线上随机抽取4件产品，设这一件产品中评分为优秀的产品个数为，求的分布列、期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望. 【解析】 【分析】（1）记事件A：产品的评分为优秀，事件B：产品的评分为良好，计算和，相加可得结果； （2）由题意可知，计算取每个值所对应的概率，可得分布列，进一步计算可得期望， 【小问1详解】 记事件A：产品的评分为优秀，事件B：产品的评分为良好 根据统计学原理，可以用样本来估计总体， 由统计表得，， 因为A，B互斥，所以可以估计这件产品评分为良好或优秀的概率为. 【小问2详解】 由（1）知，评分为优秀的概率为，由题意得，的可能值为， 则， ，， ，， . 所以的分布列为 X 0 1 2 3 4 P . 19. 给定有穷数列、、、，定义数列的绝对差分数列、、、，其中．若数列是单调不减的，即，则称数列是数列． （1）直接写出下面两个数列的绝对差分数列，并判断其是否为数列： ①、、、； ②、、、； （2）已知各项均为整数的数列、、、满足，并且其差分数列是等差数列，若，，求的所有可能值； （3）已知数列、、、是、、、、的一个排列，若其差分数列、、、满足，求的所有可能值． 【答案】（1）①、、，不是数列；②、、，是数列 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）写出两个数列的绝对差分数列，结合题中定义判断即可得出结论； （2）设数列数列的差分数列为、、、，并且其公差，分析可得，对的取值进行分类讨论，求出的表达式，结合累加法可得出的值； （3）分、、、几种情况讨论，在第一种情况下，利用题中定义推出矛盾，在第二、三种情况下，结合特例可得出结论，在时，利用题中的定义推导其不成立，综合可得出结论. 【小问1详解】 解：①数列的绝对差分数列为、、，不是数列； ②数列的绝对差分数列为 、、，是数列． 【小问2详解】 解：设数列数列的差分数列为、、、，并且其公差， 因为， 所以，其差分数列满足， 因为数列各项均为整数，所以，数列的各项也均为整数， 累加得， 当时，，即，所以，， 考虑，所以，或者， 若，，则，， 若，，则，． 【小问3详解】 解：当时，，因此不成立； 当时，数列，数列，满足题意； 当时，数列，数列，满足题意； 当时，考虑， 又因为且， 所以，数列有以下三种可能：或或， 当数列为时，因为各项不同，因此数列的前项为公差为或的等差数列， 若公差为，则有，且或， 与的整数连续性矛盾，与的互异性矛盾， 类似地，可证明若公差为的情况； 类似地，可以证明或也不可能， 因此时不成立， 综上，或． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义问题，解题的关键在于紧扣题中定义，利用特例以及逻辑推理进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省智研联盟 2025-2026学年度上学期1月份第一次联合考试 高三年级数学学科试卷 本试卷共150分，共4页.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2. 选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔记清楚. 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效. 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数（为虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. 5 D. 2. 设a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣1）﹣ax2，给出以下结论：（1）f（x）存在唯一零点与a的取值无关；（2）若a=e﹣2，则f（x）存在唯一零点；（3）若a＜e﹣2，则f（x）存在两个零点.其中正确的个数是 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知抛物线，、分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知偶函数的定义域为且，，则函数的零点个数为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知正四棱锥的所有棱长都相等，是的中点，则，所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在是单调的；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”.若函数存在“倍值区间”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为π B. 的单调递增区间为， C. 的图象向左平移个单位后的函数是偶函数 D. 在上有3个零点 10. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（    ） A. 以线段为直径的圆与轴相切 B. C. D. 当时，的面积为 11. 已知函数，则下列结论中错误的有（ ） A. 一定有极大值 B. 当时，有极小值 C. 当时，可能无零点 D. 若在区间上单调递增，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列{an}的公差为2，若a4是a2，a8的等比中项，则数列{an}的前5项和S5＝________． 13. 若，则等于___________. 14. 7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙两人必须相邻，则有_______种不同的排法（用数字作答）；若要求甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，则有_________种不同的排法.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量 ，，且的最小正周期为 （1）求的值； （2）若，解方程； （3）在中，为原点，，，且为锐角，求实数m的取值范围． 16. 设函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的极小值． 17. 如图，在圆台中，四边形为轴截面，上、下底面半径分别为1，3，高为4，位于圆上，，为上的点，连接． （1）若成等比数列． ①求证：平面； ②求平面与平面夹角的余弦值； （2）若为的中点，求三棱锥的外接球半径． 18. 某大型企业生产的产品细分为10个等级，为了解这批产品的等级分布情况，从流水线上随机抽取了1000件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分：检测到1级到3级的评为优秀，检测到4级到6级的评为良好，检测到7级到9级的评为合格，检测到10级的评为不合格.以下把频率视为概率，现有如下检测统计表： 等级 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 10 90 100 150 150 200 100 100 50 50 （1）从这1000件产品中随机抽取1件，请估计这件产品评分为良好或优秀的概率； （2）从该企业的流水线上随机抽取4件产品，设这一件产品中评分为优秀的产品个数为，求的分布列、期望. 19. 给定有穷数列、、、，定义数列的绝对差分数列、、、，其中．若数列是单调不减的，即，则称数列是数列． （1）直接写出下面两个数列的绝对差分数列，并判断其是否为数列： ①、、、； ②、、、； （2）已知各项均为整数的数列、、、满足，并且其差分数列是等差数列，若，，求的所有可能值； （3）已知数列、、、是、、、、的一个排列，若其差分数列、、、满足，求的所有可能值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $