精品解析：湖南省株洲市醴陵市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025年下学期八年级期末学业质量监测试卷 数学 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式，据此可得答案． 【详解】解：由分式的定义可知，四个式子中，只有式子是分式， 故选：C． 2. 多项式的最大公因式是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求多项式的最大公因式，找最大公因式的要点是：（1）最大公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，多项式的最大公因式是， 故选：D． 3. 如图是便携式折叠凳及其侧面示意图，其凳面的宽可伸缩长短，若，则折叠凳的宽不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．确定第三边的取值范围是解题的关键．根据三角形三边关系即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴折叠凳的宽不可能为． 故选：A． 4. 如图，已知，要使，不能添加的条件是（ ） A. 平分 B. 平分 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，全等三角形的判定方法有：、、、、，注意：用判定全等时，角必须是两边的夹角，、不能判定全等；熟练掌握并灵活运用适当的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理逐一判定即可得答案． 【详解】解：A．添加平分，则，利用不能使，故该选项符合题意， B．添加平分，则，利用能使，故该选项不符合题意， C．添加，利用能使，故该选项不符合题意， D．添加，利用能使，故该选项不符合题意． 故选：A． 5. 如图，公路和互相垂直，点和的中点被一个湖泊隔开，若公路的长为千米，则B，D两点之间的距离为（ ） A. 10千米 B. 8千米 C. 6千米 D. 5千米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解B和D之间的距离即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D是的中点，千米， ∴千米． 故选：D． 6. 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键；通过估算的范围，利用不等式性质加1得到的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在2和3之间， 故选：C． 7. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧相交于点，直线交于点，连接．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查作图﹣基本作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键；根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案． 【详解】解：在中，，， ， 由作图知，垂直平分线段， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，是一个可调节平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，当且平分时，则点到的距离是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质．过点分别作的垂线，垂足分别为，根据勾股定理求得，等面积法求得，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：D． 9. 近日，太原市为推进城市更新，提升城市品质，迎泽西大街、新建路维修改造工程全面开工．其中一段长的道路工程由某工程队单独来做，原计划每天完成xm，实际上……根据题意可列方程为．根据方程可得文中省略的内容为（ ）． A. 每天多完成100m，结果提前2天完成 B. 每天少完成100m，结果推迟2天完成 C. 每天多完成100m，结果推迟2天完成 D. 每天少完成100m，结果提前2天完成 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要查了分式方程的应用．根据方程 ， 表示原计划天数， 表示实际天数，方程表明原计划天数比实际天数多2天，即实际提前2天完成，且实际每天完成量比原计划多100m． 【详解】解：∵ 原计划每天完成米，总路程4000m， ∴ 原计划天数为天． ∵ 实际每天完成m， ∴ 实际天数为天． ∵ 方程表示原计划天数减实际天数等于2， ∴ 实际比原计划提前2天完成，且实际每天多完成100m． ∴ 文中省略的内容为“每天多完成100m，结果提前2天完成”． 故选A 10. 数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（ ） A. 124824 B. 241248 C. 122448 D. 482124 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键．先对多项式 进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到 ，代入 和 ，计算各因式的值，得到 12、24、48；密码由这三个数字按任意顺序拼接成六位数，列出所有可能组合，与选项对比即可判断． 【详解】解：∵ ， 且，， ∴ ， ， ， ∴ 因式值为 12、24、48， 可能密码有：122448、124824、241248、244812、481224、482412 选项A（124824）、B（241248）、C（122448）均符合， 选项D（482124）无法拆分为12、24、48的任意排列， ∴ 密码不可能为D． 故选：D． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 化简_____． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2025． 12. 华为搭载的华为麒麟芯片应该达到或者接近7纳米工艺制程．7纳米也就是米，用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 14. 因式分解：x2﹣49=________． 【答案】（x﹣7）（x+7） 【解析】 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式．根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解） 【详解】解：可以直接用平方差分解为：﹣49=（x﹣7）（x+7）． 故答案为：（x﹣7）（x+7） 15. 体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 本题根据三角形的外角性质，得到，然后即可求解． 【详解】解：根据三角形外角性质得：， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，则当双翼完全收起时，通过闸机的物体的最大宽度是______． 【答案】58 【解析】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．掌握此性质是解题的关键． 作于点，于点，得，再利用含角的直角三角形的性质，求出的值，即可求出通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：作于点，于点，得， ，， ，， 通过闸机的物体的最大宽度是． 故答案为58． 三、解答题（共8个小题，满分72分，解答时要有文字说明、解题步骤与证明过程） 17. 计算： 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，用到了算术平方根的运算规则、零指数幂、负指数幂运算法则，熟练掌握这些计算法则是解题的关键．根据算术平方根的运算规则、零指数幂、负指数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 【答案】6分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出关系式是关键． 先求出当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内经过的时间，即可求解地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内经过的时间． 【详解】解：依题意，当地面时间经过10分钟即600秒时，， 飞船内经过的时间为秒，即6分钟 答：当地面经过10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了6分钟． 19. 如图，在四边形中，，、相交于点．若，试求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定定理和垂直平分线的判定与性质，掌握“两边相等且夹角为的三角形是等边三角形”、“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”等知识点是解题的关键． 先由题意推出是等边三角形，得到，再由，推出是的垂直平分线，即可求解． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 垂直平分， 是中点， ， 答：的长为． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把对应分式的分子和分母分解因式，接着约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，恰好（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得． （1）求证：； （2）请求出的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， 又， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）由，，根据同角的余角相等即可求解； （2）证明，由全等三角形的性质得，最后由线段和差即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中： ， ， ， ， ． 23. 野生木耳是本市著名特产之一，某土特产专卖店经销，两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） x 销售（元/袋） 80 100 （1）第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，请结合表中的数量关系，求，两种品牌野生木耳的进价． （2）第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进，两种品牌共180袋，销售时、两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 【答案】（1）A品牌野生木耳的进价为60元，B品牌野生木耳的进价为76元； （2）至少购进B品牌100袋． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程与一元一次不等式是解此题的关键． （1）根据“该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同”，列出分式方程，解分式方程即可得出结果； （2）设购进B品牌为m袋，A品牌为袋，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【小问1详解】 解：根据题意可得：， 解得． 经检验：是原方程的解． （元）． 答：A品牌野生木耳的进价为60元，B品牌野生木耳的进价为76元； 【小问2详解】 解：设购进B品牌为m袋，A品牌为袋， 由题意，得， 解得． 答：至少购进B品牌100袋． 24. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 【答案】 （1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）千米； （3）8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【详解】（1）略 （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； （3）解：如图， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期八年级期末学业质量监测试卷 数学 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 多项式的最大公因式是（ ） A. B. C. 3 D. 3. 如图是便携式折叠凳及其侧面示意图，其凳面的宽可伸缩长短，若，则折叠凳的宽不可能为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，要使，不能添加的条件是（ ） A. 平分 B. 平分 C. D. 5. 如图，公路和互相垂直，点和的中点被一个湖泊隔开，若公路的长为千米，则B，D两点之间的距离为（ ） A. 10千米 B. 8千米 C. 6千米 D. 5千米 6. 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 7. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧相交于点，直线交于点，连接．则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是一个可调节平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，当且平分时，则点到的距离是(　　) A. B. C. D. 9. 近日，太原市为推进城市更新，提升城市品质，迎泽西大街、新建路维修改造工程全面开工．其中一段长的道路工程由某工程队单独来做，原计划每天完成xm，实际上……根据题意可列方程为．根据方程可得文中省略的内容为（ ）． A. 每天多完成100m，结果提前2天完成 B. 每天少完成100m，结果推迟2天完成 C. 每天多完成100m，结果推迟2天完成 D. 每天少完成100m，结果提前2天完成 10. 数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（ ） A. 124824 B. 241248 C. 122448 D. 482124 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 化简_____． 12. 华为搭载的华为麒麟芯片应该达到或者接近7纳米工艺制程．7纳米也就是米，用科学记数法表示为__________． 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 14. 因式分解：x2﹣49=________． 15. 体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则___________． 16. 图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，则当双翼完全收起时，通过闸机的物体的最大宽度是______． 三、解答题（共8个小题，满分72分，解答时要有文字说明、解题步骤与证明过程） 17. 计算： 18. 根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 19. 如图，在四边形中，，、相交于点．若，试求的长． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 22. 小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，恰好（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得． （1）求证：； （2）请求出的长． 23. 野生木耳是本市著名特产之一，某土特产专卖店经销，两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） x 销售（元/袋） 80 100 （1）第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，请结合表中的数量关系，求，两种品牌野生木耳的进价． （2）第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进，两种品牌共180袋，销售时、两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 24. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $