精品解析：广东省汕头市澄海区2025-2026学年高一第一学期期末质量监测数学试题

2025—2026学年度第一学期期末质量监测 高一级数学科试题 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回，试卷考生自己保管. 一､单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知：两个三角形全等，：两个三角形面积相等，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的零点所在区间（ ） A. B. C. D. 4. 已知扇形弧长为5，弧所对圆心角为，则该扇形的半径为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C D. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 如图所示，在平面直角坐标系中，角与角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别是射线和射线，若射线与单位圆的交点为，射线与单位圆的交点为，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 酒驾是严重危害交通安全违法行为.根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）0.2毫克/毫升，小于0.8毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）0.8毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车.假设某驾驶员一天晚上喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到1毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他至少得等待（ ）小时后（结果取整数）开车才不构成酒驾（参考数据：）. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确是（ ） A. 是偶函数 B. 在上单调递减 C. 的值域为 D. 有四个零点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分（其中第13题第一空2分，第二空3分）.把答案填在答题卡相应横线上. 12. __________. 13. 幂函数的图象过点，则实数__________，不等式的解集为__________. 14. 对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如.若函数，则函数的值域为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.温馨提示：考生请注意在答题卡规定区域内用黑色笔作答，超出指定区域答题不给分. 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （2）求函数的解析式. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）若在上有两个零点，求的取值范围. 18. 某生态基地种植某中药材的年固定成本为200万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润销售额-成本）为万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为200万元. （1）求出的值； （2）求年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式； （3）当年产量为多少时，所获年利润最大？最大年利润是多少？ 19. 定义：已知函数，对给定的正整数，若在其定义域内存在实数，使得，则称函数为“性质函数”. （1）判断函数是否为“性质函数”？说明理由； （2）若函数为“2性质函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数与的图象有公共点，求证：为“1性质函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末质量监测 高一级数学科试题 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回，试卷考生自己保管. 一､单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义求解即可. 【详解】因为，所以，故D正确. 故选：D 2. 已知：两个三角形全等，：两个三角形的面积相等，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】运用充分条件和必要条件的概念判断即可. 【详解】由若两个三角形全等，则两个三角形大小，形状一样，则这两个三角形的面积相等，即p是q的充分条件.取两直角边长分别为4，1与2，2的直角三角形，面积均为2，但两三角形不全等，即p是q的不必要条件，故p是q的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数的零点所在区间（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的单调性，利用零点存在性定理即可判断. 【详解】是上的减函数， 由，根据零点存在性定理，能确定零点不在区间内， 由，根据零点存在性定理，能确定在区间内存在唯一零点， 由， 根据零点存在性定理，确定零点不在区间内， 由， 根据零点存在性定理，确定零点不在区间内， 故选：B 4. 已知扇形弧长为5，弧所对圆心角为，则该扇形的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将角度转化为弧度，再利用弧长公式求解即可. 【详解】由题意得，设该扇形的半径为， 由弧长公式得，故D正确 故选：D 5. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数、对数函数单调性，结合中间值“1”比较大小即可. 【详解】因为在定义域内单调递减， 则，即； 又因为在定义域内单调递减， 则，即； 综上所述：. 故选：C. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数单调性可知在区间上单调递减，解不等式即可． 【详解】在上单调递减， 又函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减， ，解得． 7. 如图所示，在平面直角坐标系中，角与角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别是射线和射线，若射线与单位圆的交点为，射线与单位圆的交点为，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角的终边与单位圆的交点坐标可得，利用和诱导公式化简求值，再进行弦切互化求值即可. 【详解】由题意可知：，则，解得， 即，且； 易得，则， 则. 故选：A. 8. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）0.2毫克/毫升，小于0.8毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）0.8毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车.假设某驾驶员一天晚上喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到1毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他至少得等待（ ）小时后（结果取整数）开车才不构成酒驾（参考数据：）. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设他至少得等待小时后开车才不构成酒驾,根据酒精含量减少速度列出不等式，利用参考数据解不等式即可求得结果. 【详解】设他至少得等待小时后开车才不构成酒驾， 依题意可知，即， 所以，即，所以可得， 即，因此， 又因为，所以他至少得等待8小时后开车才不构成酒驾. 故选：B 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】对于A，，，即，故A正确； 对于B，，，即，故B正确； 对于C，，不妨取时，，故C错误； 对于D，， ，，即， ，则，故D正确． 故选：ABD． 10. 下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正切函数性质可得A正确，画出函数的图象可判断B正确，由余弦函数性质可判断C错误，易知，其周期为，因此可判断D错误. 【详解】对于A，易知函数的最小正周期为，且在区间上单调递增， 当时，可得函数在上单调递增，故A正确； 对于B，函数的图象可由正弦函数在轴下方的图象向上翻折（在轴上方图象不变）得到. 作出其图象，可知函数以为最小正周期，且在区间上单调递增，故B正确； 对于C，易知的最小正周期为，且当时，， 而函数在区间上单调递减，故在上单调递减，故C错误； 对于D，易知，其最小正周期为，故D错误. 故选：AB 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在上单调递减 C. 的值域为 D. 有四个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断A；根据复合函数的单调性、值域判断BC；根据函数零点的定义求解判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，故是偶函数，A正确； 对于B，由， 因为在上为减函数，且在定义域上为减函数， 故在上单调递增，B错误； 对于C，当时，，则， ，又函数为偶函数，故的值域为，C正确； 对于D，令，由，可得，解得， 由可得，可得， 因为，方程有两个不同的解， 由可得，可得， 因为，方程有两个不同的解， 又方程与方程的解都不相同，所以有四个零点，D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分（其中第13题第一空2分，第二空3分）.把答案填在答题卡相应横线上. 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】化简得到，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得. 故答案为：. 13. 幂函数的图象过点，则实数__________，不等式的解集为__________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用图象经过点得到解析式，再根据单调性列不等式求解即可. 【详解】因为图象经过点， 所以，解得，所以， 因为是定义在上单调递减，则由得， 解得，故原不等式的解集为， 故答案为：，； 14. 对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如.若函数，则函数的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，得到，转化为，利用二次函数性质求得函数的值域为，得到函数的值域为，结合的定义，即可求解. 【详解】令，因为，可得，即， 则原函数，可转化为， 由二次函数的开口向上，对称轴为， 所以，， 所以函数的值域为，即函数的值域为， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得， 所以函数的值域为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.温馨提示：考生请注意在答题卡规定区域内用黑色笔作答，超出指定区域答题不给分. 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求得集合,再根据交集和并集的定义求解即可. （2）根据集合的包含关系列不等式求解即可. 【小问1详解】 集合， 解得 所以. 当时，， 所以， . 【小问2详解】 ，， 要使，必须满足, ，解得 所以实数的取值范围. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （2）求函数的解析式. 【答案】（1）在上单调递增，证明见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）设出后判断的正负并依据函数的增减性即可得解； （2）设，则，将代回解析式后依据函数的奇偶性即可得解. 【小问1详解】 设，则 ， 由，可得，，则，即， 故在上单调递增. 【小问2详解】 设，则，， 又函数是定义在上的奇函数，则，且， . 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）若在上有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先化简函数，结合最小正周期公式和单调区间计算即可； （2）把问题转化为方程有两个不同的解，根据正弦型函数的值域求解参数的范围； 【小问1详解】 最小正周期， 因为，所以， 所以单调递减区间 【小问2详解】 若在上有两个零点， 等价于在上有两个不同的解， ，此时，结合函数的图象和单调性 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 因此要使在上有两个不同的解， 18. 某生态基地种植某中药材的年固定成本为200万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润销售额-成本）为万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为200万元. （1）求出的值； （2）求年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式； （3）当年产量为多少时，所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当年产量为吨时，所获年利润最大，最大年利润万元 【解析】 【分析】（1）由基地产出该中药材40吨时，年利润为200万元，列出方程，即可求解； （2）根据第（1）问求出的值和利润销售额-成本，即可求解； （3）当时，求得万元；当，时，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 当基地产出该中药材40吨时，年成本为万元， 利润为，解得； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以当时，； 当时，， 所以； 【小问3详解】 由（2）可知当时，， 对称轴为轴，所以函数在上单调递增， 故当时，， 当时， 当且仅当，即时取得等号， 又，所以当年产量为吨时，所获年利润最大，最大年利润是万元. 19. 定义：已知函数，对给定的正整数，若在其定义域内存在实数，使得，则称函数为“性质函数”. （1）判断函数是否为“性质函数”？说明理由； （2）若函数为“2性质函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数与的图象有公共点，求证：为“1性质函数”. 【答案】（1）函数“性质函数”，理由见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据函数为“性质函数”的定义判断函数满足定义即可； （2）根据对数函数定义域要求可知；利用整理可得方程：，分别在和两种情况下令方程有根，从而求得的范围. （3）由函数与的图象有公共点可得存在使，令，可证明，从而可得结论. 【小问1详解】 因为， 故，，， 令可得，，又， 所以， 所以存在实数，使得， 所以函数是“性质函数”； 【小问2详解】 且，， 由题意得：存在，使得， ，即：， 整理得：， 当时，，满足题意， 当时，由得：，即， 解得：且， 综上所述：. 【小问3详解】 由条件存在使， 所以， ，，， 令，则， ， ， 为“1性质函数” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $