广东省汕头市澄海区2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试题

2024-2025学年度第一学期期末质量监测 高一级数学科试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2．答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上． 4．考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管． 第一部分（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑。 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在同一直角坐标系中的函数与的图象可能是（ ） A． B． C． D． 4．的值为（ ） A． B． C． D． 5．下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（ ） A． B． C． D． 6．已知，，，比较a，b，c的大小为（ ） A． B． C． D． 7．下列函数中，值域为的是（ ） A． B． C． D． 8．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y均大于0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ） A．9 B．16 C．25 D．36 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若为第二象限角，则下列正确的有（ ） A．， B．， C．， D．， 10．若，且，则（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，，则（ ） A．若函数有3个零点，则 B．函数有4个零点 C．，函数的零点个数都不为4 D．，使得函数有6个零点 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分（其中第14题第一空2分，第二空3分）．把答案填在答题卡相应横线上． 12．求值：________． 13．函数的图象恒过定点A，且A在幂函数的图象上，则________． 14．设是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，________；在R上，关于x的不等式的解集为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 温馨提示：考生请注意在答题卡规定区域内用黑色笔作答，超出指定区域答题不给分． 15．（本小题满分13分）已知函数的定义域为A，当时，函数的值域为B． （1）求，； （2）若不等式的解集为C，且，求实数m的取值范围． 16．（本小题满分15分）在中，设． （1）若，求的值． （2）若，求的值． 17．（本小题满分15分）已知一次函数满足，且，函数． （1）求的解析式； （2）用定义法证明函数在单调递减； （3）证明：． 18．（本小题满分17分）某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件： ①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元； ③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择： 模型A：； 模型B：； 模型C： （1）结合条件帮助该公司选择一个最合适的模型（不用说明理由），并求出函数解析式； （2）根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题： ①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ ②总奖金能否超过销售利润的五分之一？ （参考关系：函数在单调递减） 19．（本小题满分17分）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质．例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有，并且，就称函数为“倒函数”． （1）判断函数是不是倒函数，并说明理由； （2）若是定义在R上的倒函数，且当时，，则当时，求的解析式，并判断方程是否有正整数解？并说明理由； （3）已知函数是定义在R上的倒函数，且在R上单调递增，设函数 ，证明：对任意实数，，当时，总有． 澄海区2024~2025学年度第一学期期末质量监测 高一级数学科试题参考答案 一、单项选择题答案（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 单选 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A C D C C B 1．【答案】B 【解析】因为，所以， 又，所以．故选B． 2．【答案】A 【解析】，，故是的充分不必要条件．故选A． 3．【答案】A 【解析】当时，函数在上单调递减； 函数在R上单调递减，且当时，，故A正确，C错误； 当时，函数在上单调递增； 函数在R上单调递减，且当时，，故B、D错误．故选A． 4．【答案】C 【解析】 ，故选C． 5．【答案】D 【解析】函数的定义域为，在上为减函数． A选项，在上为增函数，不符合； B选项，的定义域为，不符合； C选项，定义域为R，不符合； D选项，的定义域为，在上为减函数，符合．故选D． 6．【答案】C 【解析】因为函数在上单调递增，所以，又，所以； 又因为函数在上单调递增，所以，所以． 综上．故选C． 7．【答案】C 【解析】A：，在上递减，在上递增，值域为，错误； B：在上递增，值域为，错误； C：在取等号， 结合对勾函数性质知，在上的值域为，正确； D：在上递增，值域为，错误．故选C． 8．【答案】B 【解析】因a，b，x，，则，当且仅当时等号成立，又，即， 于是，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为16．故选B． 二、多项选择题答案（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 多选题 9 10 11 答案 BC ABD AC 9．【答案】BC 【解析】若为第二象限角，则，，． 所以，为第二象限角或或．故选BC． 10．【答案】ABD 【解析】对于A中，由，可得，因为，可得，所以A正确；对于B中，由，所以，所以B正确； 对于C中，因为，且，可得， 则，所以C错误； 对于D中，因为，且，可得，所以， 所以D正确．故选ABD． 11．【答案】AC 【解析】函数的图象如下图所示： A：令， 当函数有3个零点时，函数与直线有三个不同的交点， 由图象可知．，故A正确； B：由函数的图象可知：， 令，可解，舍去， 当时，由图象可知有三个实数解，故B错误； C：由， 令，则， 当时，即或， 当时，有两个不同的实根，当时，有三个不同的实根， 所以此时函数有五个零点， 当时，，或，或， 由图象可知此时时函数一共有七个零点， 当时，，或，或， 由图象可知函数此时一共有6个零点， 当时，，或， 由图象可知函数此时一共有3个零点， 当时，，即，此时不等式的解集为空集， 综上所述：，函数的零点个数都不为4，故C正确； D：当函数有6个零点时，此时有，， 当时，即， 当时，， 由图象可知，函数与直线最多有三个不同的交点， 因此要想有函数有6个零点，必有，故D错误． 故选AC． 三、填空题答案（本大题共3小题，每小题5分，满分15分；其中第14题第一空2分，第二空3分） 题序 12 13 14 答案 3 ； 12．【答案】3 【解析】，故答案为3． 13．【答案】 【解析】对于函数，令，解得，此时， 所以函数的图象恒过定点， 设营函数，， 代入可得，解得，则，所以，故答案为． 14．【答案】； 【解析】当时，，故 又是定义在上的奇函数，， 从而时，； ∵当时，， 又是奇函数，∴当时，，而当时， ∴当时，因为，此时不满足； 当时，要使，只需， 即，令， 则在R上单调递增，且， 而，解得，即的解集为． 故答案为；． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）依题意，由，解得，∴， 3分 又∵函数在R上是增函数，且，， ∴ 6分 ∴， 8分 （2）∵，∴，即 10分 ∴ 11分 ∵，且，，即m的取值范围是． 13分 16．解：（1）∵依题意可知， ∴由可知为锐角 1分 ∴由 3分 解得； 5分 ∴ 7分 （2）∵ ∴两边平方得，即． 9分 ∴， 11分 ∵，∴， 12分 ∴由，可得， 13分 ∴，故． 15分 17．（1）解：设， 1分 由可得， 2分 又∵， ∴，解得， 4分 ∴． 5分 （2）证明：∵由（1）知 ∴设，且， 6分 ∴ 9分 ∵ ∴，， 10分 ∴，即 11分 ∴函数在单调递减 12分 （3）证明：∵． 14分 又∵∴，即． 15分 18．解：（1）选择模型C最合适． 1分 ∴依题意可得，即解得， 4分 ∴ 5分 （2）①∵如果总奖金不少于9万元，则， ∴， 7分 即，解得， 9分 所以至少应完成销售利润210万元． 10分 ②设，即，即， 12分 ∵函数在单调递减 ∴当时，，即 13分 ∵当时，，故 ∴不成立 16分 ∴总奖金不会超过销售利润的五分之一． 17分 19．（1）解：函数的定义域为R，1分 ∵对任意的，， 2分 ∴函数为倒函数． 3分 （2）解：当时，则，由倒函数的定义可得， 5分 ∵当时，函数均为增函数， ∴函数在上为增函数， 7分 又∵，． 9分 ∴不存在正整数使，即方程无正整数解． 10分 （3）证明：∵是定义在R上的倒函数，故，即 ∴ 12分 ∵对任意实数，，若，则 又在R上单调递增，故， 14分 同理可得， 15分 ∴，即 16分 ∴． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $$